数学试卷（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1、答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目.
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案填在答题卡相应的位置上.
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.
5、参考公式：
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若集合，，则=（ ）
A． B. C. D.
2．双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为( )
A． B． C． D．
4．“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如右图所示的程序框图，若输出的是，则①可以为 ( )
A． B．
C． D．
6. 已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为125π则该球的半径为( )
A． B．１０ C． D．
7．已知函数满足：，＝3，
则＋＋＋ 的值等于( )
A．36 B．24 C．18 D．12
8． 在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：
对于任意两个向量当且仅当“”或“”．
按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
①若,则；
②若,则；
③若,则对于任意,；
④对于任意向量，,若，则.
其中真命题的序号为（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题：（本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按第14小题给分，共30分）
2 3
3 1 4 2
1 1 4
0 9
比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是 .
甲 乙 甲
2 3
2 3 4 5
6 3 4 0
2
9． 复数的模为____________
10．如图是某赛季CBA广东东莞银行队甲乙两名篮球运动员每场
比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是 .
11．已知,,则 .
12．已知点在直线上，则的最小值为 .
13．在数列中, .则
（1）数列的前项和 ；（3分） （2）数列的前项和 .（2分）
温馨提示：答此题前，请仔细阅读卷首所给的参考公式。
选做题：以下两题任选一道作答，两题都答的按第14题正误给分.
14．（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线C的参数方程为为参数），则曲线C上的点到直线的距离的最大值为
15. （几何证明选做题）如图，已知是⊙O外一点，为⊙O的切线，为切点，
割线经过圆心，若，，
则⊙O的半径长为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的值域;
（2）在△中，角所对的边分别为，若，且，求的值
17. (本小题满分13分)
在平面直角坐标系上，设不等式组表示的平面区域为，记内的整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，.求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式.
18.（本小题满分13分）
在我市“城乡清洁工程”建设活动中，社会各界掀起净化美化环境的热潮.某单位计划在小区内种植四棵风景树，受本地地理环境的影响，两棵树的成活的概率均为，另外两棵树为进口树种，其成活概率都为，设表示最终成活的树的数量.
（1）若出现有且只有一颗成活的概率与都成活的概率相等，求的值；
（2）求的分布列（用表示）；
（3）若出现恰好两棵树成活的的概率最大，试求的取值范围.
19.（本小题满分14分）
如图所示，圆柱底面的直径长度为，为底面圆心，正三角形的一个顶点在上底面的圆周上，为圆柱的母线，的延长线交于点， 的中点为.
（1）
求证：平面⊥平面；
（2）求二面角的正切值.
20.（本小题满分14分）
已知椭圆的左、右焦点分别是、，
离心率为，椭圆上的动点到直线的最小距离为2，
延长至使得，线段上存在异于的点满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）求点的轨迹的方程；
（3）求证：过直线上任意一点必可以作两条直线
与的轨迹相切，并且过两切点的直线经过定点.
21.（本小题满分14分）
已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为， 并且与平行.
（1）求的值；
（2）已知实数t∈R，求函数的最小值；
（3）令，给定，对于两个大于1的正数，
存在实数满足：，，并且使得不等式
恒成立，求实数的取值范围.
茂名市2012年第二次高考模拟考试
数学试试卷（理科）参和评分标准
一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 答案 | A | C | C | A | C | Ｄ | B | B |
6、因为球的半径为Ｒ＝，所以有，所以球的半径Ｒ
为。
8、（1）①显然正确
（2）设
由,得“”或“”
由,得“”或“”
,则
若“”且“”,则,所以
若“” 且“”,则,所以
若“” 且“”,则,所以
综上所述，若,则 所以②正确
（3）设，则
由,得“”或“”
若，则,所以
若，则,所以
综上所述，若,则对于任意,所以③正确
（4）
由得 “”或“”
由得 “”或“”
若“”且“”，则,
所以 所以
所以④不正确 综上所述，①②③正确，选B
二、填空题（本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按第14小题给分，共30分）
9. 1 10. 58 11. 12.
13. (1)，（3分） (2) （2分）
14. 15. 4
部分试题提示：
11.
12. ,当且仅当时等号成立
13．法一、
法2：
（1）
（2）
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16. （本小题满分12分）
解：（1） ……………………………………3分
∵，
∴ …………………………………………………………4分
∴ ……………………………………………………………5分
∴函数的值域为 …………………………………………………………6分
（2）， …………………………………………………………7分
∴，而， ∴. …………………………………………8分
在中，，， …………………………………………………9分
∴， 得 …………………………………………………10分
解得 ………………………………………………………………11分
∵， ∴. ……………………………………………12分
17. （本小题满分13分）
解：（1）由得 ，…………………………………………………………1分
所以平面区域为内的整点为点（3,0）或在直线上. …………2分
直线与直线交点纵坐标分别为
内在直线上的整点个数分别为4n+1和2n+1, ……………………………4分
…………………………………………5分
（2）由得 ……………………………………………6分
……………………………………………………9分
…………………………………………………………………10分
是以2为首项，公比为2的等比数列…………………………………………………11分
……………………………………………………12分
……………………………13分
18. （本小题满分13分）
解：（1）由题意，得，∴. ………………………………2分
（2）的所有可能取值为0,1,2,3,4. …………………………………………3分
……………… …………4分
…………………………5分
…………6分
…………………………………………7分
…………………………………………………………………………8分
得的分布列为： …………………………………………………………………………9分
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
∴ ……………………11分
……………………………………12分
由上述不等式解得的取值范围是.…………………………………………………13分
19. （本小题满分14分）
解：（1）证明： 正三角形中，为的中点， ∴⊥ ……………………1分
∵为圆柱的母线， ∴⊥平面，
而在平面内 ∴⊥ ………………………………………………2分
∵为的直径，∴°即 ⊥ ………………………………3分
，∴⊥平面， ………………………………………………4分
而在平面内, ∴⊥ ……………………………………5分
，∴⊥平面，…………………………………………………6分
而在平面内，∴平面⊥平面……………………………………7分
（2）由（1）知⊥，⊥，同理⊥，
而，可证≌，
∴……8分
以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系
则 ……………………………………………………9分
∵⊥平面，∴为平面的一个法向量……………………………10分
设平面的一个法向量，
则 即 ，令则 ……………………11分
设二面角的平面角为，
∴……………………………………………12分
∴， ……………………………………………………………………13分
所以二面角的正切值 ………………………………………14分
20. （本小题满分14分）
解：（1）依题意得， ………………………………………………………………2分
解得，∴ ……………………………………………………………3分
椭圆的方程为 …………………………………………………………………4分
（2）解法1：设点的坐标为.
当重合时，点坐标为和点， …………………………………………5分
当不重合时，由，得. …………………………………………6分
由及椭圆的定义，， ……………7分
所以为线段的垂直平分线，为线段的中点
在中，， ……………………………………………………………8分
所以有.
综上所述，点的轨迹的方程是. …………………………………………………9分
解法2：设点的坐标为.
当重合时，点坐标为和点， ………………………………………………5分
当不重合时，由，得. ………………………………6分
由及椭圆的定义，， ………………7分
所以为线段的垂直平分线，为线段的中点
设点的坐标为，则，
因此① ………………………………………………8分
由,得, ②
将 代入 ，可得.
综上所述，点的轨迹的方程式.③ ………………………………9分
（3）直线与相离，
过直线上任意一点可作圆的两条切线 …………10分
所以
所以四点都在以为直径的圆上， …………………………11分
其方程④ ………………………………………12分
为两圆的公共弦，③-④得：的方程为 ……………………13分
显然无论为何值，直线经过定点. …………………………14分
21. （本小题满分14分）
解: 图象与轴异于原点的交点，
图象与轴的交点，
由题意可得，即， ………………………………………………2分
∴， …………………………………………3分
（2）=…………………4分
令，在 时，，
∴在单调递增， …………………………5分
图象的对称轴，抛物线开口向上
①当即时， …………………………………6分
②当即时， ………………………………7分
③当即时，
……………… …………………8分
,
所以在区间上单调递增 ……………………………………………………………9分
∴时，
①当时，有，
，
得，同理， ………………………………………１０分
∴ 由的单调性知 、
从而有，符合题设. ………………………………11分
②当时，，
，
由的单调性知 ，
∴，与题设不符 ……………………………………12分
③当时，同理可得，
得，与题设不符. ……………………………………13分
∴综合①、②、③得 ……………………………………14分
说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.下载本文
