数 学（理科）

第卷（选择题共55分）

一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列函数中，反函数是其自身的函数为（    ）

A．        B． 

C．        D． 

2．设均为直线，其中在平面内，则“”是“且”的（   ） 

A．充分不必要条件                 B．必要不充分条件

C．充分必要条件                    D．既不充分也不必要条件

3．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D． 

4．若为实数，，则等于（    ）

A．            B．        C．        D． 

5．若，则的元素个数为（    ）

A．0            B．1            C．2            D．3

6．函数的图象为，

①图象关于直线对称；

②函数在区间内是增函数；

③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象．

以上三个论断中，正确论断的个数是（    ）

A．0            B．1            C．2            D．3

7．如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（    ）

A．        B．        C．        D． 

8．半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离为（    ）

A．    B．    C．        D． 

9．如图，和分别是双曲线

的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与

该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双

曲线的离心率为（    ）

第9题图

A．                    B．            

C．                    D． 

10．以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于（    ）

A．            B． 

C．                    D． 

11．定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期．若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（    ）

A．0            B．1            C．3            D．5

2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数 学（理科）

第Ⅱ卷（非选择题  共95分）

注意事项：

    请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．

12．若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于          ．

13．在四面体中，为的中点，为的中点，则        （用表示）．

14．如图，抛物线与轴的正半轴交于点，

将线段的等分点从左至右依次记为，

过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为

，从而得到个直角三角形

．当时，这些三角形

第14题图

的面积之和的极限为           ．

15．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是              （写出所有正确结论的编号）．

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；

④每个面都是等边三角形的四面体；

⑤每个面都是直角三角形的四面体．

三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知为的最小正周期，，且．求的值．

17．（本小题满分14分）

如图，在六面体中，四边形是边长为

2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面

，平面，．

（Ⅰ）求证：与共面，与共面．

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求二面角的大小（用反三角函数值表示）．

第17题图

18．（本小题满分14分）

设，．

（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；

（Ⅱ）求证：当时，恒有．

19．（本小题满分12分）

如图，曲线的方程为．以原点为圆心．以为半径的圆分别与曲线和轴的正半轴相交于点与点．直线与轴相交于点．

（Ⅰ）求点的横坐标与点的横坐标

的关系式

（Ⅱ）设曲线上点的横坐标为，

求证：直线的斜率为定值．

第19题图

20．（本小题满分13分）

在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以表示笼内还剩下的果蝇的只数．

（Ⅰ）写出的分布列（不要求写出计算过程）；

（Ⅱ）求数学期望；

（Ⅲ）求概率．

21．（本小题满分14分）

某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，．以表示到第年末所累计的储备金总额．

（Ⅰ）写出与的递推关系式；

（Ⅱ）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列．

2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（理科）试题参

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分55分．

1．Ｄ        2．Ａ        3．Ｂ        4．Ｂ        5．Ｃ        

6．Ｃ        7．Ａ        8．Ｃ        9．Ｄ        10．Ｂ        11．Ｄ

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

12．7                    13． 

14．                    15．①③④⑤ 

三、解答题

16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分．

解：因为为的最小正周期，故．

因，又．

故．

由于，所以

．

17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．

解法1（向量法）：

以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，

则有．

（Ⅰ）证明：

．

．

与平行，与平行，

于是与共面，与共面．

（Ⅱ）证明：，

，

，．

与是平面内的两条相交直线．

平面．

又平面过．

平面平面．

（Ⅲ）解：．

设为平面的法向量，

，．

于是，取，则，．

设为平面的法向量，

，．

于是，取，则，．

．

二面角的大小为．

解法2（综合法）：

（Ⅰ）证明：平面，平面．

，，平面平面．

于是，．

设分别为的中点，连结，

有．

，

于是．

由，得，

故，与共面．

过点作平面于点，

则，连结，

于是，，．

，．

，．

所以点在上，故与共面．

（Ⅱ）证明：平面，，

又（正方形的对角线互相垂直），

与是平面内的两条相交直线，

平面．

又平面过，平面平面．

（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，

根据三垂线定理，有．

过点在平面内作于，连结，

则平面，

于是，

所以，是二面角的一个平面角．

根据勾股定理，有．

，有，，，．

，，

二面角的大小为．

18．本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．

（Ⅰ）解：根据求导法则有，

故，

于是，

列表如下：

（Ⅱ）证明：由知，的极小值．

于是由上表知，对一切，恒有．

从而当时，恒有，故在内单调增加．

所以当时，，即．

故当时，恒有．

19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分．

解：（Ⅰ）由题意知，．

因为，所以．

由于，故有．　（1）

由点的坐标知，

直线的方程为．

又因点在直线上，故有，

将（1）代入上式，得，

解得．

（Ⅱ）因为，所以直线的斜率为

．

所以直线的斜率为定值．

20．本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分．

解：（Ⅰ）的分布列为：

（Ⅲ）所求的概率为．

21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．

解：（Ⅰ）我们有．

（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得

  ，                ①

在①式两端同乘，得

            ②

②①，得

            ．

即．

如果记，，

则．

其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．下载本文