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高等数学试卷
一、选择题 （每小题2 分，共50 分）
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，故选C．
2．（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【解析】，故选D．
3．点是函数的（ ）
A．连续点 B．跳跃间断点 C．可去间断点 D．第二类间断点
【答案】
【解析】，，故选B．
4．下列极限存在的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，其他三个都不存在，应选B．
5．当时，是比的（ ）
A．低阶无穷小 B．高阶无穷小
C．等价无穷小 D．同阶但不等价无穷小
【答案】D
【解析】时，，，故选D．
6．设函数，则（ ）
A．在处连续，在处不连续
B．在处连续，在处不连续
C．在处均连续
D．在处均不连续
【答案】A
【解析】，，在处连续；，，在处不连续，应选A．
7．过曲线上的点处的法线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，法线的斜率，法线方程为，即，故选D．
8．设函数在处满足，，且，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【解析】，应选C．
9．若函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，
，故选B．
10．设函数由参数方程确定，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】， ，，故选D．
11．下列函数中，在区间上满足罗尔定理条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】验证罗尔定理得条件，只有满足，应选C．
12．曲线的拐点是（ ）
A． B． C．无拐点 D．
【答案】B
【解析】，，令，得，当时，，当时，，故拐点为，应选B．
13．曲线（ ）
A．只有水平渐进线
B．既有水平渐进线，又有垂直渐近线
C．只有垂直渐近线
D．既无水平渐进线，又无垂直渐近线
【答案】B
【解析】，曲线有水平渐近线；，曲线有垂直渐近线，故选B．
14．如果的一个原函数是，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，应选D．
15．（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，应选A．
16．设，则I的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因，，根据定积分的估值性质，有，故选B．
17．下列广义积分收敛的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】D项中，故收敛．
18．（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，故选D．
19．若是可导函数，，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对两边求导有，即
，从而．
由初始条件，代入得，应选A．
20．若函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
从而，得，故，应选C．
21．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，令，则，故选C．
22．直线与平面的位置关系是（ ）
A．斜交 B．垂直 C．L在内 D．
【答案】D
【解析】直线的方向向量，平面的法向量，由得，而点不在平面内，故平行，应选D．
23．（ ）
A．2 B．3 C．1 D．不存在
【答案】A
【解析】，故选A．
24．曲面在点处的切平面方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，，，，得切平面方程为，即，故选A．
25．设函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，应选B．
26．如果区域D被分成两个子区域，且，，则（ ）
A．5 B．4 C．6 D．1
【答案】C
【解析】根据二重积分的可加性，，应选C．
27．如果L是摆线上从点到点的一段弧，则曲线积分（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因，从而此积分与路径无关，取直线段，x从变成0，则
．
28．通解为（C为任意常数）的微分方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，从而，故选B．
29．微分方程的特解形式应设为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】特征方程为，特征根为，，是特征方程的单根，应设，应选A．
30．下列四个级数中，发散的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，故级数发散，应选B．
二、填空题 （每小题 2分，共 30分）
31．的________条件是．
【答案】充分必要（或充要）
【解析】显然为充分必要（或充要）．
32．函数在区间内单调________，其曲线在区间内的凸凹性为________的．
【答案】增加（或递增），凹
【解析】在内单调增加，在内大于零，应为凹的．
33．设方程（为常数）所确定的隐函数为，则________．
【答案】
【解析】，则，，故．
34．________．
【答案】
【解析】令，则，
．
35．________．
【答案】0
【解析】在区间上是奇函数，故．
36．在空间直角坐标系中以点，，为顶点的面积为________．
【答案】
【解析】，，，
故的面积为．
37．方程在直角坐标系下的图形为________．
【答案】两条平行直线
【解析】椭圆柱面与平面的交线，为两条平行直线．
38.函数的驻点________．
【答案】
【解析】由，可得驻点为，．
39．若，则________．
【答案】0
【解析】．
40．________．
【答案】
【解析】．
41．直角坐标系下二重积分（其中D为环域）化为极坐标形式为________．
【答案】
【解析】．
42．以为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为________．
【答案】
【解析】由通解可知，有二重特征根，从而微分方程为．
43．等比级数，当________时级数收敛；当________时级数发散．
【答案】，
【解析】级数是等比级数，当时，级数收敛，当时，级数发散．
44．函数展开成x的幂级数________．
【答案】，
【解析】
，．
45．是敛散性为________的级数．
【答案】发散
【解析】，级数发散．
三、计算题（每小题5 分，共40 分）
46．求．
【答案】
【解析】．
47．．
【答案】
【解析】．
48．已知，求．
【答案】
【解析】．
49．计算．
【答案】
【解析】
．
50．求函数的全微分．
【答案】
【解析】，，故
．
51． 计算，其中D为由，，所围成的区域．
【答案】
【解析】根据积分区域的特征，应在直角坐标系下计算积分，且积分次序为先积x后积y，交点坐标为，，，故．
52．求微分方程满足初始条件的特解．
【答案】
【解析】，，则通解为，
又，所以，特解为．
53．求级数的收敛半径与收敛区间（考虑端点）．
【答案】
【解析】，收敛半径．
当时，级数为，该级数发散；当时，级数为，该级数收敛，
故收敛域为．
四、应用题 （每小题7 分，共 14 分）
54．过曲线上一点，作切线L，D是由曲线，切线L及x轴所围成的平面图形．求：
（1）平面图形D的面积；
（2）平面图形D绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）曲线在处的切线斜率为2，过M点的切线方程为，切线与x轴的交点为，则平面图形D的面积
．
（2）平面图形D绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积为
．
55．一块铁皮宽24厘米，把它的两边折上去，做成一个正截面为等腰梯形的槽（图略），要使等腰梯形的面积A最大，求腰长x和它对底边的倾斜角．
【答案】
【解析】由题意知梯形的上、下底分别为，．
故，
，
，
令，，联立解得，在定义域内唯一驻点，，
故当，时正截面面积A最大．
五、证明题 （6 分）
56．证明方程在区间内仅有一个实根．
【解析】令，显然在上连续，且
，，
由零点定理得，在内至少存在一个，使得．
又，在内，所以在内单调减少．
综上所述，方程在区间内仅有一个实根．下载本文
