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绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用．理解、掌握绝对值应注意以下几个方面：
1．脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点．
脱去绝对值符号常用到相关法则、分论讨论、数形结合等知识方法．
2．恰当地运用绝对值的几何意义
从数轴上看表示数a的点到原点的距离；表示数a、数b的两点间的距离．
3．灵活运用绝对值的基本性质
①; ②; ③; ④;
⑤； ⑥
例1 (1)，设a、b是有理数，则有最大值还是最小值？其值是多少？
(2)是有最大值还是最小值？其值是多少？
解： (1) 因为a、b为有理数，所以，所以，又当a+b = 0即a = – b时，．所以有最小值，其最小值为9．
(2) 因为a、b为有理数，所以，所以，而当即a=b时
所以有最大值，其最大值为．
例2 若，化简．
解： 因为x＜0,所以x–3＜0,从而，
，，因此，原式=．
例3 设，且，试化简．
解：因为a＜0, ,所以．即x≤－1，
所以，，因此=
例4 已知，其中，那么y的最小值
为 ．
试一试 结合已知条件判断每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号．
例5 式子的所有可能的值有( ) ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
试一试 根据a、b的符号所有可能情况，去掉绝对值符号，这是解本例的关键．
例6 (1)已知，
求的值．
（2）设a、b、c为整数，且|a – b| + |c – a| = 1，求|c – a| + |a – b| + |b – c|的值
试一试 对于(1)，由非负数的性质先导出a、b的值；对于(2)写成两个非负整数的和的形式又有几种可能？这是解(2)的突破口．
例7 阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式，可令x+1=0和x－2=0，分别求和，分别求得(称-1，2分别为与得零点值)．在有理数范围内，零点值x=－1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏如下3种情况：
(1) (2);(3) ．
从而化简代数式可分成3种情况：
1．当x＜－1时，原式=；
2．当时，原式=；
3．当时，原式=，即原式=通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)分别求出和得零点值；
(2)化简代数式．
(3)求的最小值．
例8 数a、b在数轴上对应的点如图所示，试化简．
解：由图可知a＜0，b＞0，而且由于a 点离原点的距离比b点离远点的距离大，因此a+b＜0．我们有=
== b．下载本文
