滤波技术是信号处理中的一项基本方法和技术，尤其数字滤波技术使用广泛，数字滤波理论的研究及其产品的开发一直受到很多国家的重视。滤波可分为经典滤波和现代滤波，经典滤波要求已知信号和噪声的统计特性，如维纳滤波和卡尔曼滤波，现代滤波则不要求已知信号和噪声的统计特性。自适应滤波属于现代滤波，它的研究始于20世纪50年代末[1]，所谓自适应滤波就是当输入过程的统计特性未知时或统计特性变化时，滤波器能够自动调整自己的参数，以满足某种最佳准则的要求。自适应滤波具有很强的自学习、自跟踪能力，适用于平稳和非平稳随机信号的检测和估计。自适应滤波器必须满足某种最佳准则要求，不同的准则，可以产生不同的自适应算法，其中最常用的研究最多的是在最小均方准则下的LM S自适应滤波算法[2]。
1.自适应滤波器
自适应滤波器[3]由参数可调的数字滤波器（或称为自适应处理器）和自适应算法两部分组成，如图1所示。参数可调的数字滤波器可以是FIR数字滤波器或者IIR数字滤波器，也可以是格型数字滤波器。输入信号x(n)通过参数可调数字滤波器后产生输出信号(或响应)y(n)，将其与参考信号(或称期望信号)d(n)进行比较，形成误差信号e(n)。e(n)有时还要利用x(n)通过某种自适应算法对滤波器参数进行调整，最终使e(n)的均方值最小。因此，实际上自适应滤波器是一种能够自动调整本身参数的特殊维纳滤波器，在设计时不需要事先知道关于输入信号和噪声的统计特性的知识，它能够在自己的工作过程中逐渐“了解”或估计出所需的统计特性，并以此为依据自动调整自己的参数，以达到最佳滤波效果。一旦输入信号的统计特性发生变化，它又能够跟踪这种变化，自动调整参数，使滤波器性能重新达到最佳。
图1自适应滤波器原理图图2自适应线性组合器原理图FIR结构的参数可调的数字滤波器由于具有非递归结构形式，它的分析和实现比较简单，在大多数自适应信号处理系统中得到广泛应用，此滤波器称之为自适应线性组合器。图2为自适应线性组合器的一般形式。输入信号矢量x(n)的L+1个元素，既可以通过在同一时刻n对L+1个不同信号源取样得到，也可以通过对同一信号源在n以前L+1个时刻取样得到。前者称为多输入情况，后者称为单输入情况，这两种情况下输入信号矢量都用x(n)表示。对于一组固定的权系数来说，线性组合器的输出y(n)等于输入矢量x(n)的各元素的线性加权和。然而实际上权系数是可调的，调整权系数的过程叫做自适应过程。在自适应过程中，各个权系数不仅是误差信号e(n)的函数，而且还可能是输入信号x(n)的函数，因此，自适应线性组合器的输出就不再是输入信号的线性函数。
输入信号和输出信号之间的关系式为
y(n)=
L
k=0
Σw k(n)x k(n)(1)自适应线性组合器的L+1个权系数构成一个权系数矢量，即权矢量，用w(n)表示，则
w(n)=[w0(n)w1(n)…w L(n)]T(2)
式(1)可表示为：
y(n)=x T(n)w(n)=w T(n)x(n)(3)则
e(n)=d(n)-y(n)=d(n)-x(n)T w(n)=d(n)-w(n)T x(n)(4)自适应线性组合器按照误差信号均方值最小的准则，即
ξ(n)=E[e2(n)]=m in(5)来自动调整权矢量。
2.LMS自适应算法原理
选择什么信号作为参考响应，要根据不同的应用要求来确定。在输入信号和参考响应都是平稳随机信号的情况下，自适应线性组合器的均方误差性能曲面ξ是权系数的二次函数，ξ的函数图形是L+2维空间中一个中间下凹的超抛物面，有唯一的最低点ξm in。但在许多实际应用中，性能曲面的参数，甚至解析表达式都是未知的，因此，只能根据已知的测量数据，采用某种算法自动地对性能曲面进行搜索，寻找最低点，从而得到最佳权矢量。牛顿法和最陡下降法是搜索性能曲面的两种著名方法。最陡下降法在工程上比较容易实现，有很大的实用价值。
最陡下降法是沿性能曲面最陡方向向下搜索曲面的最低点。曲面的最陡下降方向是曲面的负梯度方向。这是一个迭代搜索过程。首先从曲面上某个初始点(对应于初始权矢量w(0))出发，沿该点负梯度方向搜索至第1点(对应的权矢量为w(1))，w(1)等于初始值w(0)加上一个正比于负梯度的增量。用类似的方法，一直搜索到w*(对应曲面最低点)为止。最陡下降法迭代计算权矢量的公式为
w(n+1)=w(n)+μ(-荦(n))(6)式中，μ是控制搜索步长的参数称为自适应增益常数，或收敛参数；荦(n)是曲面上各点的梯度。
最陡下降法每次迭代都需要知道性能曲面上某点的梯度值，而实际上梯度只能根据观测数据进行估计。LM S算法是一种很有用且很简单的估计梯度的方法，这种算法自60年代初提出以后很快得到广泛应用，它的突出优点是计算量小、易于实现，且不要求脱线计算[3]。只要自适应线性组合器每次迭代运算时都知道输入信号和参考响应，那么，选用LM S算法就很合适的。
LM S算法的最核心思想是用平方误差代替均方误差。这样，
荦(n)≈荦^(n)=-2e(n)x(n)(7)实际上，荦^(n)只是单个平方误差序列的梯度，荦(n)是多个平方误差序列统计平均的梯度，所以LM S算法就是用前者作为后者的近似。将式(7)代入式(6)，得到LM S算法的基本关系式
w(n+1)=w(n)-μ荦^(n)=w(n)+2μe(n)x(n)(8)该式说明，LM S算法实际上是在每次迭代中使用很粗略的梯度估计值来代替精确值。不难预计，权系数的调整路径不可能准确地沿着理想的最陡下降的路径，因而权系数的调整过程是有“噪声”的。LM S算法按照式(8)调整权系数时不需要进行平方运算和统计平均运算，因而实现起来很简单。下一时刻权矢量w(n+1)等于当前权矢量w(n)加上一个修正量，该修正量等于误差信号e(n)的加权值，加权系数为2μx(n)，它正比于当前的输入信号。值得注意的是，对权矢量的所有分量来说，误差信号e(n)是相同的，并且LM S算法得到的权矢量的期望值与最陡下降法得到的权矢量本身都服从相同的迭代计算规律，当收敛的必要条件满足时，随着迭代次数趋进于无穷，权矢量的期望值将趋近于最佳权矢量。
对于横向自适应滤波器来说，输入信号的自相关矩阵的迹可用输入信号功率表示为
t r[R]=(L+1)E[x2(n)]=(L+1)P in(9)式中，P in是输入信号功率。因此，收敛的条件
LMS自适应滤波算法原理与仿真
陕西理工学院物理系井敏英张超赵娜
［摘要］在对自适应滤波器相关理论研究的基础上，重点研究了LMS自适应滤波算法，并借用Matlab仿真平台，给出了在一定信
噪比条件下，LMS算法的滤波结果。通过分析仿真可以看出，LMS算法计算量小，可以达到较好的滤波效果，容易实现，有很高的实
用价值。
［关键词］LMS算法自适应滤波Matlab
仿真
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——
可表示为：
0<μ<[(L+1)P in ]-1(10)这是工程上用起来很方便的公式，因为输入信号功率P in 很容易根据输入信号取样值来估计。
最后需要说明的是，前面所作的关于输入信号是平稳随机信号的假设对于LM S 算法的收敛不是必需的。
3.LMS 自适应滤波算法仿真
图3有用信号和观测
图4有用信号和滤波后的
信号的比较估计信号的比较
借用M ATLAB 软件编写程序对LM S 滤波算法进行仿真。
参数可调的数字滤波器为100阶的自适应线形组合器，假设有用信号和噪声都具有高斯白噪声的特性，应用LM S 算法(满足式中收敛的条件)对其进
行自适应滤波，即在观测信号中提取有用信号。
仿真结果如图3和图4。由图知，LM S 滤波算法在一定信噪比条件下，具有较好的滤波效果，噪声几乎被完全滤除。
4.结论
自适应滤波器的应用范围很广，主要可将其归纳为以下几个方面[3]：自适应系统模拟和辨识；自适应逆滤波；自适应干扰抵消；自适应预测等。LM S 算法由于其突出的优点，计算量小，易于实现而得到了广泛的
应用。因此，
对LM S 自适应滤波算法的研究有重要的理论与现实意义。参考文献
［1］Widrow B.Adaptive Signal Processing ［M ］.Englewood Cliffs(New J ersey):Prentice-Hall,1985.
［2］吕振肃,熊景松.一种改进的变步长LMS 自适应算法［J ］.信号处理，2008，1(24):144-146.
［3］姚天任,孙洪.现代数字信号处理［M ］.武汉:华中科技大学出版社,1999,45-
122.
（上接第545页）1.一个新的高维余弦定理
近期文献[1,2]从不同角度得出单形的两个高维余弦定理，称之为高
维余弦定理1与高维余弦定理2，
先给出这两个高维余弦定理。第一余弦定理[1]设在由n 个共始点P 0的线性无关的向量p 1,p 2,…,p n 生成的n 维单形中，顶点P i (i=0,1,…,n)所对的n-1维面为f i ，其n-1维
体积为F i ，
f i ，f j 所夹的内角为 l =n j=0,j ≠l ΣF 2 j -2 n 0≤i F i F j cos 其中l =0,1,2,…,n 。杨路，张景中在文献[2]中利用E n 中基本图形的度量方程建立了E n 中的第二余弦定理，即第二余弦定理[2]n 维欧氏空间E n 中由点集{P i i=0,1,2,…,n)生成的n 维单形,单形的侧面记为f i (i=0,1,…,n)，两个侧面f i ，f j 的夹角记为θij (i,j=0,1,2,…,n)，则 cos θij =-P ij P ii P jj 姨记Gram (p 1,p 2,…,p n )=P=p 1·p 1 p 1·p 2…p 1·p n ··…· p n ·p 1p n ·p 2…p n ·p n 其中P ij (i,j=1,2,…,n)为P 中元素p i ·p j (i,j=0,1,2,…,n)的代数余子式。下面建立一个关于高维超平行体的余弦定理。 假设n 维超平行体由n 个线性无关的向量p 1,p 2,…,p n 生成,显然,这个维超平行体有2n 个顶点,2n -1条体对角线,n2n -1条棱共分成n 组每组2n -1条平行且相等。从每个顶点发出n 个线性无关的向量,且这2n 个顶点中不同的顶点发出的n 个线性无关的向量要么相等要么互为相反的向量,即n 个线性无关的向量p 1,p 2,…,p n 与-p 1,-p 2,…,-p n 生成相同的超平行体,每个向量p i 前可带正负号,这样共有2n 个不同的组合,恰好表示从n 维超平行体2n 个不同顶点发出的生成超平行体的一组向量,注意到它们的代数和p 1+p 2+…-p i +…+p n 表示该超平行体的一条体对角线向量,共有2n 种,注意到各p i 符号完全相反的表达式表示的体对角线向量是同一条但方向相反的体对角线,故n 维超平行体2n -1条不同的体对角线向量可由生成该超平行体的n 个线性无关的向量来表示,则有下面的定理: 高维余弦定理3由n 个线性无关的向量p 1,p 2,…,p n 生成的n 维超平行体和向量组p 1,p 2,…,p n 对应的超平行体的体对角线的长度平方为 p 1+p 2+…+p n 2 =(1,1,...,1)G(p 1,p 2,...,p n )(1,1, (1) T (1) 其中G(p 1,p 2,…,p n )=p 1·p 1p 1·p 2…p 1·p n ··…·p n ·p 1p n ·p 2…p n ·p n 姨姨 表示向量p 1,p 2,…,p n 的Gram 矩阵,显然,就一个n 维超平行体而言,这样的表达式共有2n 个。 证明该定理的证明是简单的,左边直接展开即可。2.阿波罗尼奥斯(Apollonius)定理的证明 为了证明阿波罗尼奥斯(Apollonius)定理,先给出一个引理。 引理两个n 个线性无关的向量组,若其中只有一个向量互为反向量,其余n-1个向量均相同,相同的向量用省略号标记,符号相反的向量记为p i ,则二者Gram 矩阵的和为 G(…,p i ,…)+G(…,-p i ,…)=2G(…,0,…)+2p i 2 E i (2)其中0表示零向量,E i 表示主对角线上第i 个元素为1其余元素全为零的n 阶方阵。 证明由矩阵的加法可直接证明的。 阿波罗尼奥斯(Apollonius)定理n(n ≥2)维超平行体的所有体对角线长的平方和等于其所有棱长的平方和。 证明由n 个线性无关的向量p 1,p 2,…,p n 生成的n 维超平行体的2n -1 条体对角线向量可表示为: p 1+p 2+…+p i +…+p n ,p 1+p 2+…+p i +…-p n ,…,p 1-p 2-…-p i -…-p n 由高维余弦定理3得它们长度平方和为p 1+p 2+…+p i +…+p n 2 + p 1+p 2+…+p i +…-p n 2 +…+p 1-p 2-…-p i -…-p n 2 =(1,1,…,1)(G(p 1,p 2,…,p n )+G(p 1,p 2,…,-p n )+…+G(p 1,-p 2,…,-p n ))(1,1,…,1)T 连续应用引理,上式等于 =(1,1,…,1)(2G(p 1,p 2,…,p n -1,0)+2p n 2 E n +2G(p 1,p 2,…,-p n -1,0)+2p n 2 E n +…+G(p 1,…,-p n -2,p n -1,p n )+G(p 1,…,-p n -2,p n -1,-p n )+…+G(p 1,-p 2,…,-p n ))(1,1,…,1)T =…=(1,1,…,1)(2n -1p 1 2 E 1+2n -1p 2 2 E 2+…+2n -1p n 2 E n )(1,1,…,1)T =2n -1(p 12 +p 22 +…+p n 2 )故定理得证。 显然,这种方法较文献[1]中的证法简单。 参考文献［1］沈文选.单形论导引.长沙：湖南师范大学出版社，2000,86［2］杨路，张景中.关于有限点集的一类几何不等式.数学学报，1980（5）740-749一个新的高维余弦定理及应用 安徽财经大学信息工程学院 殷红彩 ［摘要］本文利用凸体几何的理论与方法，建立一个关于超平行体新的高维余弦定理,并应用它给出了阿波罗尼奥斯(Apollonius)定理一种新的简单的证法。［关键词］高维余弦定理阿波罗尼奥斯(Apollonius)定理 546——下载本文
