一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2}，则（∁UA）∩B等于（　　）

A．{1，2}    B．[1，3}    C．{1，2，5}    D．{1，2，3}

2．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上单调递减的是（　　）

A．y=x﹣1    B．y=（）x    C．y=x3    D．

3．（5分）用系统抽样方法从编号为1，2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，则第5段中被抽中的学生编号为（　　）

A．48    B．62    C．76    D．90

4．（5分）如图所示为某城市去年风向频率图，图中A点表示该城市去年有的天数吹北风，点表示该城B市去年有10%的天数吹东南风，下面叙述不正确的是（　　）

A．去年吹西北风和吹东风的频率接近

B．去年几乎不吹西风

C．去年吹东风的天数超过100天

D．去年吹西南风的频率为15%左右

5．（5分）已知函数f（x）=|lnx﹣|，若a≠b，f（a）=f（b），则ab等于（　　）

A．1    B．e﹣1    C．e    D．e2

6．（5分）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的频率是（　　）

A．    B．    C．    D．

7．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98，63，则输出的a为（　　）

A．0    B．7    C．14    D．28

8．（5分）已知函数y=ax（a＞0且a≠1）是减函数，则下列函数图象正确的是（　　）

A．    B．    C．    D．

9．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（ 5）+f（7 ）+f（ 9）=（　　）

A．0    B．4    C．8    D．16

10．（5分）矩形ABCD中，AB=2，AD=1，在矩形ABCD的边CD上随机取一点E，记“△AEB的最大边是AB”为事件M，则P（M）等于（　　）

A．2﹣    B．﹣1    C．    D．

11．（5分）元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》一书，是中国古代数学的重要著作之一，共分卷首、上卷、中卷、下卷四卷，下卷中《果垛叠藏》第一问是：“今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贯一文，问底子每面几何？”据此，绘制如图所示程序框图，求得底面每边的果子数n为（　　）

A．7    B．8    C．9    D．10

12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣，1）    B．（，1）    C．（，1）    D．（﹣1，）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为　   　．

14．（5分）空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．AQI数值越小，说明空气质量越好．某地区1月份平均AQI（y）与年份（x）具有线性相关关系．下列最近3年的数据：

15．（5分）已知f（x）=x3+（a﹣1）x2是奇函数，则不等式f（ax）＞f（a﹣x）的解集是　   　．

16．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是　   　．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（10分）已知集合A={x|x＜﹣2或x＞0}，B={x|（）x≥3}

（Ⅰ）求A∪B

（Ⅱ）若集合C={x|a＜x≤a+1}，且A∩C=C，求a的取值范围．

18．（12分）已知函数f（x）=，（x＞0且a≠1）的图象经过点（﹣2，3）．

（Ⅰ）求a的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；

（Ⅱ）若f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求m的取值范围．

19．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择．

方案一：从装有4个红球和2个白球的不透明箱中，随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖；

方案二：掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖．（注：骰子（或球）的大小、形状、质地均相同）

（Ⅰ）有顾客认为，在方案一种，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于．你认为正确吗？请说明理由；

（Ⅱ）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由．

20．（12分）下面给出了2010年亚洲一些国家的国民平均寿命（单位：岁）

21．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=kax（k＞0，a＞1）与y=px+q（p＞0）可供选择．

（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

（Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．

（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）

22．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g（x）是h（x）=ex的反函数．

（1）求函数g（f（x））的单调区间；

（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1

（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．

2020-2020学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2}，则（∁UA）∩B等于（　　）

A．{1，2}    B．[1，3}    C．{1，2，5}    D．{1，2，3}

【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，

集合A={3，4}，B={1，2}，

则∁UA={1，2，5}，

∴（∁UA）∩B={1，2}．

故选：A．

2．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上单调递减的是（　　）

A．y=x﹣1    B．y=（）x    C．y=x3    D．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A、y=x﹣1=，是奇函数，且其在（0，+∞）上单调递减，符合题意；

对于B、y=（）x是指数函数，不是奇函数，不符合题意；

对于C、y=x3是幂函数，是奇函数但其在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；

对于D、y=是对数函数，不是奇函数，不符合题意；

故选：A．

3．（5分）用系统抽样方法从编号为1，2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，则第5段中被抽中的学生编号为（　　）

A．48    B．62    C．76    D．90

【解答】解：因为是从700名学生中抽出50名学生，

组距是14，

∵第2段中编号为20的学生被抽中，

∴第5组抽取的为20+3×14=62号，

故选B．

4．（5分）如图所示为某城市去年风向频率图，图中A点表示该城市去年有的天数吹北风，点表示该城B市去年有10%的天数吹东南风，下面叙述不正确的是（　　）

A．去年吹西北风和吹东风的频率接近

B．去年几乎不吹西风

C．去年吹东风的天数超过100天

D．去年吹西南风的频率为15%左右

【解答】解：根据风向频率图，可知去年吹西南风的频率为5%左右，

故选D．

5．（5分）已知函数f（x）=|lnx﹣|，若a≠b，f（a）=f（b），则ab等于（　　）

A．1    B．e﹣1    C．e    D．e2

【解答】解：∵函数f（x）=|lnx﹣|，a≠b，f（a）=f（b），

∴|lna﹣|=|lnb﹣|，

∴lna﹣=lnb﹣或lna﹣=，

即lna=lnb或ln（ab）=1，

解得a=b（舍）或ab=e．

∴ab=e．

故选：C．

6．（5分）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的频率是（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：满足条件的数分别是1，3，5，7，9，

共1，3，5，7；1，3，5，9；1，3，7，9；1，5，7，9；3，5，7，9 共 5种密码，

最多输入2次就能开锁的频率是p=，

故选：C．

7．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98，63，则输出的a为（　　）

A．0    B．7    C．14    D．28

【解答】解：由程序框图可知：a=98＞63=b，

∴a←35=98﹣63，b←28=63﹣35，

∴a←7=35﹣28，b←21←28﹣7，

a←14=21﹣7，b←7=21﹣14，

a←7=14﹣7，

则a=b=7，

因此输出的a为7．

故选：B．

8．（5分）已知函数y=ax（a＞0且a≠1）是减函数，则下列函数图象正确的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：函数y=ax（a＞0且a≠1）是减函数，是指数函数，a∈（0，1），

函数y=xa的图象为：

所以A不正确；

y=x﹣a，第一象限的图象为：第三象限也可能有图象．

所以B不正确；

y=logax，是减函数，所以选项C不正确；

y=loga（﹣x），定义域是x＜0，是增函数，所以D正确．

故选：D．

9．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（ 5）+f（7 ）+f（ 9）=（　　）

A．0    B．4    C．8    D．16

【解答】解：∵f（x）=ln（1﹣）+1，

则f（﹣7）=ln9﹣ln7+1，

f（﹣5 ）=ln7﹣ln5+1，

f（﹣3）=ln5﹣ln3+1，

f（﹣1）=ln3+1，

f（3 ）=﹣ln3+1，

f（5）=ln3﹣ln5+1，

f（7 ）=ln5﹣ln7+1，

f（ 9）=ln7﹣ln9+1，

则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=8，

故选：C．

10．（5分）矩形ABCD中，AB=2，AD=1，在矩形ABCD的边CD上随机取一点E，记“△AEB的最大边是AB”为事件M，则P（M）等于（　　）

A．2﹣    B．﹣1    C．    D．

【解答】解：分别以A、B为圆心，AB为半径作弧，交C、D于P1，P2，

当E在线段P1P2间运动时，能使得△ABE的最大边为AB，

∵在矩形中ABCD中，AB=2，AD=1，

∴AP1=BP2=2，∴CP1=DP2=2﹣，

∴P1P2=2﹣2（2﹣）=2﹣2，

∴△ABE的最大边是AB的概率：p==﹣1

故选：B．

11．（5分）元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》一书，是中国古代数学的重要著作之一，共分卷首、上卷、中卷、下卷四卷，下卷中《果垛叠藏》第一问是：“今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贯一文，问底子每面几何？”据此，绘制如图所示程序框图，求得底面每边的果子数n为（　　）

A．7    B．8    C．9    D．10

【解答】解：由S0=2，Sn+1=Sn+×（n+2），

∴S9=2+++＞1320，

故选：C．

12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣，1）    B．（，1）    C．（，1）    D．（﹣1，）

【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，

∵当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，∴f（﹣x）=|﹣x﹣1|=|x+1|，

∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=|x+1|，

则f（x）=，即，

由f（x）=得，f2（x）=x+a，

画出函数y=x+a与y=f2（x）的图象，如图所示：

由图知，当直线y=x+a过点A时有三个交点，

且A（1，1），此时a=1，

当直线y=x+a相切与点P时有三个交点，

由图知，y=f2（x）=（x+1）2=x2+2x+1，

则y′=2x+2，令y′=2x+2=1得x=，则y=，

此时切点P（，），代入y=x+a得a=，

∵方程f（x）=有4个不相等的实根，

∴函数y=x+a与y=f2（x）的图象有四个不同的交点，

由图可得，实数a的取值范围是（，1），

故选B．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为　85　．

【解答】解：由茎叶图得：

学习小组6名同学的英语口试成绩从小到大为：

76，81，84，86，87，90，

∴这些成绩的中位数为：．

故答案为：85．

14．（5分）空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．AQI数值越小，说明空气质量越好．某地区1月份平均AQI（y）与年份（x）具有线性相关关系．下列最近3年的数据：

【解答】解：=2020，=，

故=﹣14×2020+a，

解得：a=14×2020+，

故2020年1月份该地区的平均AQI为：

y=﹣14×2020+14×2020+=36，

故答案为：36．

15．（5分）已知f（x）=x3+（a﹣1）x2是奇函数，则不等式f（ax）＞f（a﹣x）的解集是　{x|x＞}　．

【解答】解：若f（x）=x3+（a﹣1）x2是奇函数，

则a﹣1=0，即a=1，此时f（x）=x3，在R递增，

则不等式f（ax）＞f（a﹣x），

即x＞1﹣x，解得：x＞，

故不等式的解集是：{x|x＞}，

故答案为：{x|x＞}．

16．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是　[1，2]　．

【解答】解：当﹣1≤x≤k时，函数f（x）=log2（1﹣x）+1为减函数，

且在区间左端点处有f（﹣1）=2，

令f（x）=0，解得x=，

令f（x）=x|x﹣1|=2，解得x=2，

∵f（x）的值域为[0，2]，

∴k≤，

当k≤x≤a时，f（x）=x|x﹣1|=，

∴f（x）在[k，]，[1，a]上单调递增，在[，1]上单调递减，

从而当x=1时，函数有最小值，即为f（1）=0

函数在右端点的函数值为f（2）=2，

∵f（x）的值域为[0，2]，

∴1≤a≤2

故答案为：[1，2]

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（10分）已知集合A={x|x＜﹣2或x＞0}，B={x|（）x≥3}

（Ⅰ）求A∪B

（Ⅱ）若集合C={x|a＜x≤a+1}，且A∩C=C，求a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）∵，且函数在R上为减函数，

∴x≤﹣1．

∴A∪B={x|x＜﹣2或x＞0}∪{x|x≤﹣1}={x|x≤﹣1或x＞0}；

（Ⅱ）∵A∩C=C，∴C⊆A，

∴a+1＜﹣2或a≥0，

解得a＜﹣3或a≥0．

18．（12分）已知函数f（x）=，（x＞0且a≠1）的图象经过点（﹣2，3）．

（Ⅰ）求a的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；

（Ⅱ）若f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求m的取值范围．

【解答】本题满分（12分）．

解：（Ⅰ）∵函数的图象经过点（﹣2，3），∴a﹣2﹣1=3，解得，

∴

其图象如图所示：

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（﹣∞，0），（2，+∞），

∴m+1≤0或m≥2或，

∴m的取值范围为m≤﹣1或0≤m≤1或m≥2．

19．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择．

方案一：从装有4个红球和2个白球的不透明箱中，随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖；

方案二：掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖．（注：骰子（或球）的大小、形状、质地均相同）

（Ⅰ）有顾客认为，在方案一种，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于．你认为正确吗？请说明理由；

（Ⅱ）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）将4个红球分别记为a1，a2，a3，a4，2个白球分别记为b1，b2，

则从箱中随机摸出2个球有以下结果：

{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，a4}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，a3}，

{a2，a4}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，a4}，{a3，b1}，{a3，b2}，

{a4，b1}，{a4，b2}，{b1，b2}，总共15种，

其中2个都是红球的有{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，a4}，{a2，a3}，{a2，a4}，{a3，a4}共6 种，

所以方案一中奖的概率为，

所以顾客的想法是错误的．

（Ⅱ）抛掷2颗骰子，所有基本事件共有36种，

其中出现的点数至少有一个4的基本事件有（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（5，4），（6，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（4，6）共11种，

所以方案二中奖的概率为，

所以应该选择方案一．

20．（12分）下面给出了2010年亚洲一些国家的国民平均寿命（单位：岁）

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，计算[63.0，67.0）的频数是6，频率是=0.15；

[67.0，71.0）的频数是11，频率是=0.275，补齐频率分布表如下；

b==0.04375；

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，

以上所有国家的国民平均寿命的平均数约为

=61×0.05+65×0.15+69×0.275+73×0.225+77×0.175+81×0.125=71.8；

根据统计思想，估计亚洲人民的平均寿命大约为71.8岁．

21．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=kax（k＞0，a＞1）与y=px+q（p＞0）可供选择．

（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

（Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．

（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）

【解答】本小题满分（12分）．

解：（Ⅰ）两个函数y=kax（k＞0，a＞1），在（0，+∞）上都是增函数，随着x的增加，函数y=kax（k＞0，a＞1）的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢．

由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y=kax（k＞0，a＞1）适合要求．

由题意可知，x=2时，y=24；x=3时，y=36，所以

解得

所以该函数模型的解析式是（x∈N*）．

（Ⅱ） x=0时，，

所以元旦放入凤眼莲面积是，

由得，

所以，

因为，所以x≥6，

所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．

22．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g（x）是h（x）=ex的反函数．

（1）求函数g（f（x））的单调区间；

（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1

（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．

【解答】解：（1）函数g（x）是h（x）=ex的反函数，

可得g（x）=lnx；

函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，

只能是f（﹣1）=8或f（2）=8，

即有1﹣a=8或4+2a=8，

解得a=2（﹣7舍去），

函数g（f（x））=ln（x2+2x），

由x2+2x＞0，可得x＞0或x＜﹣2．

由复合函数的单调性，可得

函数g（f（x））的单调增区间为（0，+∞）；

单调减区间为（﹣∞，﹣2）；

（2）证明：由（1）得：f（x）=x2+2x，即φ（x）=f（x）h（x）﹣，（x＞0），

设0＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴＜0，

∵f（x）在（0，+∞）递增且f（x）＞0，

∴f（x2）＞f（x1）＞0，

∵＞＞0，∴f（x1）＜f（x2），

∴φ（x1）﹣φ（x2）=f（x1）﹣f（x2）+＜0，

即φ（x1）＜φ（x2），∴φ（x）在（0，+∞）递增；

∵φ（）=﹣2＞﹣2=0，

φ（）=﹣e＜﹣e＜0，

即φ（）φ（）＜0，

∴函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有1个零点x0，且x0∈（，），

∴（+2x0）﹣=0，即=，

∴h（x0）﹣g（x0）=﹣lnx0=﹣lnx0，

∵y=﹣lnx在（0，）上是减函数，

∴﹣lnx0＞﹣ln=+ln2＞+0.6=1，

即g（x0）＜h（x0）﹣1，

综上，函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1．下载本文