《数学模型》课程设计

渔业资源的开发

院（系）名称   信息工程学院     

专  业 班 级  06普本信计1班    

学        号     060111048      

学  生 姓 名      范锡杰        

指  导 教 师      王爱苹        

2008年 6月21日

  数学模型  课程设计评阅书

2007—2008学年第二学期

专业班级：  06普本信计1班   学号：  060111048  姓名：  范锡杰  

课程设计名称：    数学模型     

设计题目：     渔业资源的开发   

完成期限：自 2008 年 6 月 16 日至 2008 年 6月21 日共 1 周

设计依据、要求及主要内容：

一、设计目的                                                         

    渔业生物资源是捕捞和养殖生产的物质基础。加强渔业生物资源开发与利用的研究，掌握高效合理的开发技术，是我国渔业生产持续发展的重要保障。我们可以通过对一定规模的渔场运用变分法、数学模型相关知识建立数学模型来分析如何科学开发渔业资源。                                          

二、设计要求                                                         

    1．渔场的选取要有很好的代表性，要能够体现整个渔业资源的性质。    

    2．利用变分法等相关知识对渔场渔业资源特性进行分析。              

    3．能够对所建立的渔场数学模型给出定性定量的模型求解。            

    4．字数在三千字以上。                                                  

三、参考文献                                                         

    [1] 戴朝寿,孙世良.MATLAB数学建模简明教程[M].北京:高等教育出版,2007.                                                             

    [2] 丁同仁,李承治.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.         

    [3] 常庚哲,史怀济. 数学分析教程[M].北京:高等教育出版社,2006.                                                            

计划答辩时间：2008年6月21日

工作任务与工作量要求：查阅文献资料不少于3篇，课程设计报告1篇不少于3000字。

指导教师（签字）：                  教研室主任（签字）：              

批准日期：       年   月    日

渔业资源的开发

摘    要

在许多工程实际问题中，除了需要确定某一函数的极大值和极小值问题外，还需求另一类特殊的量即所谓泛函的极大值和极小值。所谓泛函就是函数的函数，这个概念其实并不陌生。通过建立数学模型，运用变分法思想分析渔业资源的开发这一课题，对如何更好开发利用渔业资源有了进一步的认识。 

关键词：变分法，数学模型，渔业资源，开发

目    录

1  数学模型的背景    1

2  数学建模的现实意义    1

3  建模的整个过程    1

3.1  课题描述    1

3.2  模型假设    2

3.3  模型建立及模型求解    2

3.4  模型分析    5

3.5  模型的应用    5

总结    6

参考文献    8

1  数学模型的背景

众所周知,人类已经进入了以计算机网络数码光纤多媒体为主要标志的信息时代。定量话和数字化技术得到了迅速发展，并应用于诸多领域。不仅已有的数学成果和数学技术得到了大量的应用，而且又面临了许多有待进一步研究解决的新问题。一提到数学，人们首先想到的是他的高度抽象性和难懂，以及他的严密的推理和证明，也正是由于数学的高度抽象性，才决定了它也具有广泛的应用性。事实上，数学的许多重大发现是顺应实际应用的需要而出现的。随着社会的发展科学技术的更新，特别是计算机技术的飞速发展和广泛应用，使得数学的应用越来越广泛数学的应用正在向一切领域渗透。经过十几年的实践，人们已经深刻意识到，数学应该成为全民族科学素质的一个重要组成部分；数学应该成为人才发展人才可持续发展的一种重要的能力。

要运用数学方法解决实际问题，不仅这个问题来自工程经济金融还是社会生命科学领域，都必须设法在数学与实际问题之间建立一座桥梁，首先要将这个实际问题化为一个相应的数学问题，其次对这个数学问题进行相应的分析与计算，最后将所得的解答回归现实，看能否有效地回答原有的实际问题。一句话，现实与数学之间的这座桥梁，就是数学模型，而架设桥梁的过程，就称为数学建模，即为所考察的实际问题建立数学模型。[1]

2  数学建模的现实意义

数学建模是数学走向应用的必经之路，在应用数学学科中占有重要的地位。特别在今天,应用数学正迅速地从传统的应用数学进入现代应用数学阶段，一个突出的标志是数学的应用范围空前扩展。数学建模不仅进一步突出了它的重要性，而且已成为现代应用数学的一个重要组成部分，并为现代应用数学乃至整个数学科学的发展提供了进一步的机遇和无限的生机。

3  建模的整个过程

3.1  课题描述

我国拥有丰富的水域资源，东、南面临渤海、黄海、东海和南海，海岸线长达1.8万km，四个海域总面积达482.7万km2，孕育了丰富的水生生物资源，据资料显示，中国已知的海洋渔业资源种类，鱼类2000多种、海兽类40多种，虾类300多种、蟹类800多种、贝类3000多种、海藻类约1000种左右，为我国的渔业发展提供了重要的基础条件。尤其是改革开放以来，我国的水产业取得了举世瞩目的成就。到2003年我国水产品产量已达4700多万吨，水产品出口创汇额在农业内部一直排第一位。随着我国经济的快速发展，水域生态环境污染和破坏日趋严重，渔业水域面临生态荒漠化的严重威胁，渔业水域生态环境恶化已成为新时期我国渔业可持续发展的制约因素。虽然我国的渔业产量呈现持续快速发展的势头，但渔业产量的提高却是以牺牲渔业环境资源为代价的。如何“既满足当代人的需求，又不对后代人满足其需要的能力构成危害”，走近海渔业可持续发展之路，还存在众多不可忽视的问题。[2]

本课题利用变分法思想对于常渔业资源进行分析，探讨如何更加有效开发渔业资源以使可持续发展，具有一定的实际应用意义。 

3.2  模型假设

渔场渔量的自然增长服从Logistic规律，[1]单位时间捕捞量取决于渔场鱼量大小，记作,于是在捕捞条件下满足

                               (1)

                                  (2)

是固有增长率和最大容量。

折扣因子为,鱼的单价为，在渔场渔量为的水平下，单位捕捞量的费用是,是减函数。

3.3  模型建立及模型求解

模型的目标函数应该是开发渔业资源的长期效益，因为单位时间捕捞量是在折扣因子下单位时间的利润为,所以长期效益可以表示为的泛函[3]

                       (3)

将方程(1)代入(3)式得

                    (4)

问题归结为求使达到最大，并由此可确定单位时间最优捕捞量最优解应满足欧拉方程[2]，即

化简后可得

                            (5)

当给定费用函数并将(2)式的代入(5)式以后，(5)式是关于的代数方程，故由此求得的最优解是一个常数，从而单位时间捕捞量也为常值，即我们得到的是持续最优产量。

为了对(5)式确定的最优解给出经济学上的边际解释，记

                              (6)

则(5)式可以表示为

                                (7)

又因为所以(5)式等价于

                              (8)

可以看出，当最优解为常数时，，(6)式定义的是单位时间利润，而则是渔场鱼量增加一个单位引起的损失。故(8)式左端是按折扣因子折算到后的边际损失。(8)式显然是单位捕捞量所得利润，即边际得益(8)式表明最优解在边际损失被边际得益平衡时取得。

捕捞过度模型Ⅰ：过度开发造成资源枯竭使再生资源面临的严重问题，本课题研究的是长期效益引入折扣因子，这就提出了捕捞过度带来的资源枯竭问题。下面给出费用函数的具体形式，来讨论达到最优持续产量的渔场鱼量水平及可能出现的资源枯竭，在模型Ⅰ中，假设单位捕捞量的费用与渔场鱼量水平成反比，记作 

                                      (9)

即渔场鱼量越少捕捞越困难费用越高在捕捞量与成正比的情况下，恰是单位捕捞强度的费用。将(9)和(2)代入(5)式化简后的得到关于的二次方程

方程正根

                 (11)

记

, ,                           (12)

是渔场鱼量最优水平是费用—价格比，可设<1，是折扣因子与鱼的固有增长率之必称生物经济增长率，他们都是无量纲量(11)式可记作

                     (13)

考察几个特殊情况：

1. 当即以(12)式代入知；

2. 当变大时减小当时；

3. 若，即则如果又有即，则表明当捕捞费用极低而贷款实际利益又很高时将诱使经营者竭泽而渔转而投资其他产业或存入银行生息。

捕捞过度模型Ⅱ：实际上，费用不会趋向零，同时关于的假设也不尽合理因为按照这个假设。当时将导致现将它修正为

                                   (14)

其中表示资源将要枯竭时单位捕捞量的费用在这个假设下不必像模型Ⅱ那样将代入(5)以求解的表达式(11)而可以直接证明如下结论。

1. 若即鱼的售价小于最高成本，则在最大效益下不会导致资源枯竭,只须证明方程(5)有的解 记

                                 (15)

                           (16)

将(2)式表示的代入（15）式

                            (17)

是一条斜率大于零且的直线由条件即的表达式（14）知故存在使且当时又因为由（16）式可知

                     (18)

由此可画出的示意图

直线与曲线必相交，浇点的横坐标为方程（5）的根，而所以在最大效益下渔场的稳定鱼量恒大于零即资源不会枯竭。

2. 若且,则最大效益将导致资源枯竭。

结果表明鱼售价高贷款实际利率较高时，将诱使经营者肆意捕捞，导致资源枯竭。

3.4  模型分析

本课题提出的最大经济效益模型,以(4)式表示的为目标泛函,由于这个泛函极值问题欧拉方程蜕化为代数方程最优解为常数由(5)式确定于是捕捞量也是常数但并未讨论达到最大效益的捕捞测量。

捕捞过度导致资源枯竭问题与价格成本折扣因子等有关不同形式的成本函数的假设得到了相当简明的定量结果,与实际情况定性分析一样。

3.5  模型的应用

渔业生物资源是捕捞和养殖生产的物质基础。加强渔业生物资源开发与利用的研究，了解渔业生物资源的分布、洄游繁殖等生物学特性，掌握高效合理的开发技术，提高科学管理水平，是我国渔业生产持续发展的重要保障。本课题的研究为渔业组员的可持续发展提供了很好的理论证明。

总    结

这次课程设计让我把以前学习到的知识得到巩固和进一步的提高认识，对已有知识有了更进一步的理解和认识。另外，我在课程设计中碰到了很多的问题，我通过查阅相关书籍，资料，通过自己钻研，特别是得到了王爱苹老师的谆谆教导，王老师给予了我很大的帮助，不仅给了我思路上的开阔，还让我认识到了自己对以前所学知识的不足方面。

在海洋渔业自然资源利用问题上，我国经历了一个思想观念的转变过程。五、六十年代，我国渔业管理追求的是产量，强调“增船增网、多捞多捕”，基本上不考虑资源保护问题。在之后的近30年里，全国各地盲目扩大捕捞能力，机帆船拖网作业和定置作业在各地发展，而传统的有利于合理利用资源的流、钓作业多被淘汰，渔场作业由季节性生产转向常年追捕，产卵和越冬鱼群被大量捕捞，资源遭到严重破坏。改革开放后，渔业率先引入市场机制，捕捞生产单位进一步分散化。在渔民生计与渔区经济发展的内在动力下，资源掠夺性开发进一步加剧。80年代初我国采取了一系列资源保护措施，如实行渔业捕捞许可证制度，渔船的数量、主机功率、作业时间、作业区域、最小网目尺寸等；实行休渔期和休渔区制度，还有幼鱼比例检查和最小可捕标准等，渔业自然资源衰退的趋势得到一定程度的遏制。但是，在渔民生计与资源衰退这一对矛盾上，更多地还是考虑解决渔民生计问题，保护资源仍处于其次。这种认识直接导致了资源保护措施不到位，加之渔政执法机构先天不足，管理经费主要自筹自支，人员编制得不到保证，管理力度不到位，结果是船越造越多，越造越大，现代装备的渔捞队伍在海中布下了天罗地网，尤其是随着海水养殖业的崛起，养殖用饲料人工还不能完全复配，造成小鱼小虾也在劫难逃。长期来，盲目追求经济效益，无的一味滥捕，捕捞强度的膨胀速度大大超出了海洋生物的再生能力，更严重的是，海洋中的食物链也正遭受着严重的破坏。通过设计，我明白了渔业产量的提高不应是以牺牲渔业环境资源为代价的。如何“既满足当代人的需求，又不对后代人满足其需要的能力构成危害”，走近海渔业可持续发展之路，还存在众多不可忽视的问题。

当然，通过这次课程设计，我也发现了自身的很多不足之处，在以后的学习中，我会不断的完善自我，不断进取，能使自己在课程设计这方面有一个大的发展。

参考文献

[1] 戴朝寿,孙世良.MATLAB数学建模简明教程[M].北京:高等教育出版社,2007. 

[2] 丁同仁,李承治.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.

[3] 常庚哲,史怀济.数学分析教程[M].北京:高等教出版社,2006.下载本文