考试时间120分钟，总分120分
一、选择题
1．从下列四张卡片中任取一张，卡片上的图形既是轴对称又是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
2．方程（x﹣1）（x+2）=x﹣1的解是（ ）
A．﹣2 B．1，﹣2 C．﹣1，1 D．﹣1，3
3．由二次函数y=3（x﹣4）2﹣2，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣4
C．其最小值为2 D．当x＜3时，y随x的增大而减小
4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y=bx+c在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠ACD=30°，则∠CAB=（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线于点F，若S△DEC=9，则S△BCF=（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
8．某市2015年国内生产总值（GDP）比2014年增长了10%，由于受到国际金融危机的影响，预计2016年比2015年增长6%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（ ）
A．10%+6%=x% B．（1+10%）（1+6%）=2（1+x%）
C．（1+10%）（1+6%）=（1+x%）2 D．10%+6%=2•x%
9．二次函数y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=33，则m的值为（ ）
A．5 B．﹣3 C．5或﹣3 D．以上都不对
10．在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足，设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④AC2=AE•AB；⑤CB∥GD，其中正确的结论是（ ）
A．①③⑤ B．②④⑤ C．①②⑤ D．①③④
12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，系列结论：（1）4a+b=0；（2）4a+c＞2b；（3）5a+3c＞0；（4）若点A（﹣2，y1），点B（，y2），点C（，y2）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若m≠2，则m（am+b）＞2（2a+b），其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为 ．
14．PA，PB分别切⊙O于A，B两点，点C为⊙O上不同于AB的任意一点，已知∠P=40°，则∠ACB的度数是 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共分）
17．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ；
（3）△A2B2C2的面积是 平方单位．
18．某中学举行演讲比赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．
（1）请直接写出九年级同学获得第一名的概率是 ；
（2）用列表法或是树状图计算九年级同学获得前两名的概率．
19．某商场试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=60时，y=50；x=70时，y=40．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
20．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，6）．双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是边上一点，且△BCF∽△EBD，求直线FB的解析式．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC=4，AC=6时，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
22．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
2016-2017学年山东省日照市五莲县九年级（上）期末数学试卷
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一、选择题（本大题共12小题，其中1-8小题每小题3分，9-12小题每小题3分，共40分）
1．从下列四张卡片中任取一张，卡片上的图形既是轴对称又是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【考点】概率公式；轴对称图形；中心对称图形．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵四张卡片中任取一张既是轴对称又是中心对称图形的有2张，
∴卡片上的图形既是轴对称又是中心对称图形的概率是=，
故选：B．
2．方程（x﹣1）（x+2）=x﹣1的解是（ ）
A．﹣2 B．1，﹣2 C．﹣1，1 D．﹣1，3
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：移项得：（x﹣1）（x+2）﹣（x﹣1）=0，
（x﹣1）[（x+2）﹣1]=0，
x﹣1=0，x+2﹣1=0，
x=1或﹣1，
故选C．
3．由二次函数y=3（x﹣4）2﹣2，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣4
C．其最小值为2 D．当x＜3时，y随x的增大而减小
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，可求得答案．
【解答】解：
∵y=3（x﹣4）2﹣2，
∴抛物线开口向上，故A不正确；
对称轴为x=4，故B不正确；
当x=4时，y有最小值﹣2，故C不正确；
当x＜3时，y随x的增大而减小，故D正确；
故选D．
4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y=bx+c在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知a＜0，再由函数图象经过原点可知c=0，利用排除法即可得出正确答案．
【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴反比例函数y=的图象必在二、四象限，故A、C错误；
∵二次函数的图象经过原点，
∴c=0，
∴一次函数y=bx+c的图象必经过原点，故B错误．
故选D．
5．如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠ACD=30°，则∠CAB=（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠CDA，根据∠CDA=∠CBA，再根据直径的性质得∠ACB=90°，由此即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACD=30°，CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA==75°，
∴∠ABC=∠ADC=75°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°﹣∠B=15°，
故选A．
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线于点F，若S△DEC=9，则S△BCF=（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△DEF∽△BCF，由已知条件求出△DEF的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴=， =（）2，
∵E是边AD的中点，
∴DE=AD=BC，
∴=，
∴△DEF的面积=S△DEC=3，
∴S△BCF=12；
故选D．
7．如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【考点】圆周角定理；轴对称-最短路线问题．
【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．
【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，
∴=，
∵∠AMN=30°，
∴∠A′ON=60°，∠BON=30°，
∴∠A′OB=90°，
过O作OQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′OQ中，OA′=2，
∴A′B=2A′Q=2，
即PA+PB的最小值2．
故选B．
8．某市2015年国内生产总值（GDP）比2014年增长了10%，由于受到国际金融危机的影响，预计2016年比2015年增长6%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（ ）
A．10%+6%=x% B．（1+10%）（1+6%）=2（1+x%）
C．（1+10%）（1+6%）=（1+x%）2 D．10%+6%=2•x%
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据平均增长率：a（1+x）n，可得答案．
【解答】解：由题意，得
（1+10%）（1+6%）=（1+x%）2，
故选：C．
9．二次函数y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=33，则m的值为（ ）
A．5 B．﹣3 C．5或﹣3 D．以上都不对
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】二次函数解析式令y=0得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系表示出两根之和与两根之积，已知等式变形后代入求出m的值即可．
【解答】解：令y=0，得到x2+（2m﹣1）x+m2﹣1=0，
∵二次函数图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=33，
∴x1+x2=﹣（2m﹣1），x1x2=m2﹣1，△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）≥0，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=（2m﹣1）2﹣2（m2﹣1）=33，
整理得：m2﹣2m﹣15=0，即（m﹣5）（m+3）=0，
解得：m=5或m=﹣3，
当m=5时，二次函数为y=x2+9x+24，此时△=81﹣96=﹣15＜0，与x轴没有交点，舍去，
则m的值为﹣3，
故选B
10．在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足，设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】先利用线段垂直平分线的性质得到AD=CD=y，AH=CH=AC=2，∠CHD=90°，再证明△CDH∽△ACB，则利用相似比可得到y=（0＜x＜4），然后利用反比例函数的图象和自变量的取值范围对各选项进行判断．
【解答】解：∵DH垂直平分AC，
∴AD=CD=y，AH=CH=AC=2，∠CHD=90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCH=∠BAC，
∴△CDH∽△ACB，
∴=， =，
∴y=（0＜x＜4）．
故选B．
11．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④AC2=AE•AB；⑤CB∥GD，其中正确的结论是（ ）
A．①③⑤ B．②④⑤ C．①②⑤ D．①③④
【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；射影定理．
【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，据此推理可得①正确，②错误；通过推理可得∠ACE=∠CAP，得出AP=CP，再根据∠PCQ=∠PQC，可得出PC=PQ，进而得到AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，故P为Rt△ACQ的外心，即可得出③正确；连接BD，则∠ADG=∠ABD，根据∠ADG≠∠BAC，∠BAC=∠BCE=∠PQC，可得出∠ADG≠∠PQC，进而得到CB与GD不平行，可得⑤错误．
【解答】解：∵在⊙O中，点C是的中点，
∴=，
∴∠CAD=∠ABC，故①正确；
∵≠，
∴≠，
∴AD≠BC，故②错误；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠ABC，
又∵C为的中点，
∴=，
∴∠CAP=∠ABC，
∴∠ACE=∠CAP，
∴AP=CP，
∵∠ACQ=90°，
∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠PQC=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CE⊥AB
∴根据射影定理，可得AC2=AE•AB，故④正确；
如图，连接BD，则∠ADG=∠ABD，
∵≠，
∴≠，
∴∠ABD≠∠BAC，
∴∠ADG≠∠BAC，
又∵∠BAC=∠BCE=∠PQC，
∴∠ADG≠∠PQC，
∴CB与GD不平行，故⑤错误．
故答案为：D．
12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，系列结论：（1）4a+b=0；（2）4a+c＞2b；（3）5a+3c＞0；（4）若点A（﹣2，y1），点B（，y2），点C（，y2）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若m≠2，则m（am+b）＞2（2a+b），其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据对称轴可判断（1）；根据当x=﹣2时y＜0可判断（2）；由图象过点（﹣1，0）知a﹣b+c=0，即c=﹣a+b=﹣a﹣4a=﹣5a，从而得5a+3c=5a﹣15a=﹣10a，再结合开口方向可判断（3）；根据二次函数的增减性可判断（4）；根据函数的最值可判断（5）．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=﹣=2，
∴b=﹣4a，即4a+b=0，故（1）正确；
由图象知，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＜0，
∴4a+c＜2b，故（2）错误；
∵图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，即c=﹣a+b=﹣a﹣4a=﹣5a，
∴5a+3c=5a﹣15a=﹣10a，
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
则5a+3c=﹣10a＞0，故（3）正确；
由图象知抛物线的开口向下，对称轴为x=2，
∴离对称轴水平距离越远，函数值越小，
∴y1＜y2＜y3，故（4）错误；
∵当x=2时函数取得最大值，且m≠2，
∴am2+bm+c＜4a+2b+c，即m（am+b）＜2（2a+b），故（5）错误；
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为 5 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】易证△BAD∽△BCA，然后运用相似三角形的性质可求出BC，从而可得到CD的值．
【解答】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴=．
∵AB=6，BD=4，
∴=，
∴BC=9，
∴CD=BC﹣BD=9﹣4=5．
故答案为5．
14．PA，PB分别切⊙O于A，B两点，点C为⊙O上不同于AB的任意一点，已知∠P=40°，则∠ACB的度数是 70°或110° ．
【考点】切线的性质．
【分析】连接OA、OB，可求得∠AOB，再分点C在上和上，可求得答案．
【解答】解：
如图，连接OA、OB，
∵PA，PB分别切⊙O于A，B两点，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°，
当点C1在上时，则∠AC1B=∠AOB=70°，
当点C2在上时，则∠AC2B+∠AC1B=180°，
∴∠AC2B=110°，
故答案为：70°或110°．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为 ﹣ ．
【考点】扇形面积的计算；中心对称图形．
【分析】阴影部分的面积=三角形的面积﹣扇形的面积，根据面积公式计算即可．
【解答】解：由旋转可知AD=BD，
∵∠ACB=90°，AC=，
∴CD=BD，
∵CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=∠CBD=60°，
∴BC=1，
∴阴影部分的面积=﹣，
故答案为：﹣．
16．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为 2 ．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】设M点坐标为（a，b），而M点在反比例函数图象上，则k=ab，即y=，由点M为矩形OABC对角线的交点，根据矩形的性质易得A（2a，0），C（0，2b），B（2a，2b），利用坐标的表示方法得到D点的横坐标为2a，E点的纵坐标为2b，而点D、点E在反比例函数y=的图象上（即它们的横纵坐标之积为ab），可得D点的纵坐标为b，E点的横坐标为a，利用S矩形OABC=S△OAD+S△OCE+S四边形ODBE，得到2a•2b=•2a•b+•2b•a+6，求出ab，即可得到k的值．
【解答】解：设M点坐标为（a，b），则k=ab，即y=，
∵点M为矩形OABC对角线的交点，
∴A（2a，0），C（0，2b），B（2a，2b），
∴D点的横坐标为2a，E点的纵坐标为2b，
又∵点D、点E在反比例函数y=的图象上，
∴D点的纵坐标为b，E点的横坐标为a，
∵S矩形OABC=S△OAD+S△OCE+S四边形ODBE，
∴2a•2b=•2a•b+•2b•a+6，
∴ab=2，
∴k=2．
故答案为2．
三、解答题（本大题共6小题，共分）
17．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 （2，﹣2） ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 （1，0） ；
（3）△A2B2C2的面积是 10 平方单位．
【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．
【分析】（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．
【解答】解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；
故答案为：（2，﹣2）；
（2）如图所示：C2（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．
故答案为：10．
18．某中学举行演讲比赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛．
（1）请直接写出九年级同学获得第一名的概率是 ；
（2）用列表法或是树状图计算九年级同学获得前两名的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）根据概率公式可得；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）九年级同学获得第一名的概率是=，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
∴九年级同学获得前两名的概率为=．
19．某商场试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=60时，y=50；x=70时，y=40．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据总利润=单件利润×销售量列出函数解析式，再结合自变量的取值范围，依据二次函数的性质可得函数的最值情况．
【解答】解：（1）根据题意得，
解得：，
∴一次函数的表达式为y=﹣x+110；
（2）W=（x﹣50）（﹣x+100）=﹣x2+160x﹣5500，
∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，即50≤x≤50×（1+40%），
∴50≤x≤70，
∵当x=﹣=80时不在范围内，
∴当x=70时，W最大=800元，
答：销售单价定为70元时，商场可获得最大利润，最大利润是800元．
20．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，6）．双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是边上一点，且△BCF∽△EBD，求直线FB的解析式．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）由条件可先求得点D的坐标，代入反比例函数可求得k的值，又由点E的位置可求得E点的横坐标，代入可求得E点坐标；
（2）由相似三角形的性质可求得CF的长，可求得OF，则可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线FB的解析式．
【解答】解：
（1）在矩形OABC中，
∵B（4，6），
∴BC边中点D的坐标为（2，6），
∵又曲线y=的图象经过点（2，6），
∴k=12，
∵E点在AB上，
∴E点的横坐标为4，
∵y=经过点E，
∴E点纵坐标为3，
∴E点坐标为（4，3）；
（2）由（1）得，BD=2，BE=3，BC=4，
∵△FBC∽△DEB，
∴=，即=，
∴CF=，
∴OF=，即点F的坐标为（0，），
设直线FB的解析式为y=kx+b，而直线FB经过B（4，6），F（0，），
∴，解得，
∴直线BF的解析式为y=x+．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC=4，AC=6时，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）连接OM，如图1，先证明OM∥BC，再根据等腰三角形的性质判断AE⊥BC，则OM⊥AE，然后根据切线的判定定理得到AE为⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，利用等腰三角形的性质得到BE=CE=BC=2，再证明△AOM∽△ABE，则利用相似比得到=，然后解关于r的方程即可；
（3）作OH⊥BE于H，如图，易得四边形OHEM为矩形，则HE=OM=，所以BH=BE﹣HE=，再根据垂径定理得到BH=HG=，所以BG=1．
【解答】（1）证明：连接OM，如图1，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠OBM=∠CBM，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∴∠CBM=∠OMB，
∴OM∥BC，
∵AB=AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵AB=AC=6，AE是∠BAC的平分线，
∴BE=CE=BC=2，
∵OM∥BE，
∴△AOM∽△ABE，
∴=，即=，解得r=，
即设⊙O的半径为；
（3）解：作OH⊥BE于H，如图，
∵OM⊥EM，ME⊥BE，
∴四边形OHEM为矩形，
∴HE=OM=，
∴BH=BE﹣HE=2﹣=，
∵OH⊥BG，
∴BH=HG=，
∴BG=2BH=1．
22．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定．
【分析】方法一：
（1）先把C（0，4）代入y=ax2+bx+c，得出c=4①，再由抛物线的对称轴x=﹣=1，得到b=﹣2a②，抛物线过点A（﹣2，0），得到0=4a﹣2b+c③，然后由①②③可解得，a=﹣，b=1，c=4，即可求出抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；
（2）假设存在满足条件的点F，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．设点F的坐标为（t，﹣t2+t+4），则FH=﹣t2+t+4，FG=t，先根据三角形的面积公式求出S△OBF=OB•FH=﹣t2+2t+8，S△OFC=OC•FG=2t，再由S四边形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC，得到S四边形ABFC=﹣t2+4t+12．令﹣t2+4t+12=17，即t2﹣4t+5=0，由△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0，得出方程t2﹣4t+5=0无解，即不存在满足条件的点F；
（3）先运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+4，再求出抛物线y=﹣x2+x+4的顶点D（1，），由点E在直线BC上，得到点E（1，3），于是DE=﹣3=．若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ，设点P的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4）．分两种情况进行讨论：①当0＜m＜4时，PQ=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，解方程﹣m2+2m=，求出m的值，得到P1（3，1）；②当m＜0或m＞4时，PQ=（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）=m2﹣2m，解方程m2﹣2m=，求出m的值，得到P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．
方法二：
（1）略．
（2）利用水平底与铅垂高乘积的一半，可求出△BCF的面积函数，进而求出点F坐标，因为，所以无解．
（3）因为PQ∥DE，所以只需PQ=AC即可，求出PQ的参数长度便可列式求解．
【解答】方法一：
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点C（0，4），
∴c=4 ①．
∵对称轴x=﹣=1，
∴b=﹣2a ②．
∵抛物线过点A（﹣2，0），
∴0=4a﹣2b+c ③，
由①②③解得，a=﹣，b=1，c=4，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；
（2）假设存在满足条件的点F，如图所示，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．
设点F的坐标为（t，﹣t2+t+4），其中0＜t＜4，
则FH=﹣t2+t+4，FG=t，
∴S△OBF=OB•FH=×4×（﹣t2+t+4）=﹣t2+2t+8，
S△OFC=OC•FG=×4×t=2t，
∴S四边形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC=4﹣t2+2t+8+2t=﹣t2+4t+12．
令﹣t2+4t+12=17，
即t2﹣4t+5=0，
则△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0，
∴方程t2﹣4t+5=0无解，
故不存在满足条件的点F；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+n（k≠0），
∵B（4，0），C（0，4），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．
由y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣1）2+，
∴顶点D（1，），
又点E在直线BC上，则点E（1，3），
于是DE=﹣3=．
若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ，
设点P的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4）．
①当0＜m＜4时，PQ=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，
由﹣m2+2m=，
解得：m=1或3．
当m=1时，线段PQ与DE重合，m=1舍去，
∴m=3，P1（3，1）．
②当m＜0或m＞4时，PQ=（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）=m2﹣2m，
由m2﹣2m=，
解得m=2±，经检验适合题意，
此时P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．
综上所述，满足题意的点P有三个，分别是P1（3，1），P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．
方法二：
（1）略．
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴lBC：y=﹣x+4，
过F点作x轴垂线，交BC于H，设F（t，﹣t2+t+4），
∴H（t，﹣t+4），
∵S四边形ABFC=S△ABC+S△BCF=17，
∴（4+2）×4+（﹣t2+t+4+t﹣4）×4=17，
∴t2﹣4t+5=0，
∴△=（﹣4）2﹣4×5＜0，
∴方程t2﹣4t+5=0无解，故不存在满足条件的点F．
（3）∵DE∥PQ，
∴当DE=PQ时，以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∵y=﹣x2+x+4，
∴D（1，），
∵lBC：y=﹣x+4，
∴E（1，3），
∴DE=﹣3=，
设点F的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4），
∴|﹣m+4+m2﹣m﹣4|=，
∴m2﹣2m=或m2﹣2m=﹣，
∴m=1，m=3，m=2+，m=2﹣，
经检验，当m=1时，线段PQ与DE重合，故舍去．
∴P1（3，1），P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．
