注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数

能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）

A ．4a m

B ．2a m +

C ．2a m m +

D ．42a m m

+ 2．复数432i z i +=

-的虚部为（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2-

3．已知集合{}

}242{60M x x N x x x =-<<=--<，则M N ⋂= A ．}{43x x -<<

B ．}{42x x -<<-

C ．}{22x x -<<

D ．}{23x x << 4．已知1sin 243απ⎛⎫+=

⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ） A ．79- B ．29-

C ．29

D ．79 5．二项式52x

⎫⎪⎭

的展开式中，常数项为（ ） A ．80- B ．80 C ．160- D ．160

6．复数()

()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( ) A ．i B ．﹣2i C ．2i D ．﹣i

7．给出以下四个命题：

①依次首尾相接的四条线段必共面；

②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；

③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；

④垂直于同一直线的两条直线必平行.

其中正确命题的个数是（ ）

B ．1

C ．2

D ．3

8．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是

A ．函数()f x 在区间20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增

B ．直线8x π

=需是函数()y f x =图象的一条对称轴

C ．点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭

是函数()y f x =图象的一个对称中心 D ．将函数()y f x =图象向左平移需8

π个单位，可得到2sin 2y x =的图象 9．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18 B ．14 C ．16 D ．12

10．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）

A ．23

B ．21

C ．35

D ．32

11．为得到的图象，只需要将的图象（ ） A ．向左平移个单位 B ．向左平移个单位

C ．向右平移个单位

D ．向右平移个单位

12．函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜

2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2

π对称，则函数f(x)的解析式为（ ） A ．f(x)＝sin(2x ＋3

π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6

π) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()1ln 1x f x ax

-=-为奇函数，则a =______. 14．已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02

x f x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______.

15．变量,x y 满足约束条件101030x x y x y -≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩

，则目标函数2z x y =-+的最大值是____．

16．已知正四棱柱的底面边长为3cm

，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是____3cm ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=.

(1)求sin 2A C B +⎛⎫+ ⎪⎝⎭

的值； (2)

若b =c a -的取值范围.

18．（12分）设函数()22f x x x a =-+-．

（1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；

（2）当()2f x x a =-+时，求实数x 的取值范围．

19．（12分）设抛物线2

:2(0)C y px p =>

过点(0)m m >.

（1）求抛物线C 的方程；

（2）F 是抛物线C 的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若2BF FA =，求||AB 的值.

20．（12分）已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C ．

（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？

（2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，则是否存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠？若存在，求出直线m 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.

21．（12分）为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表.

（1）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在[)10,20的概率：

（2）从参加公益劳动时间[)25,30的学生中抽取3人进行面谈，记X 为抽到高中的人数，求X 的分布列； （3）当5x =时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长.（直接写出结果）

22．（10分）已知在平面四边形ABCD 中，3,,1,4ABC AB AD AB ABC π∠=

⊥=的面积为12. （1）求AC 的长；

（2）已知172

CD =，ADC ∠为锐角，求tan ADC ∠.

参

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D

【解题分析】

由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101

x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值．

【题目详解】

解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即0101x y <<⎧⎨<<⎩

， 对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，

若两个正实数,x y 能与1构成钝角三角形三边，则有22110101

x y x y x y ⎧+<⎪+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩， 其面积142S π=-；则有142a m π=-，解得42a m m

π+= 故选：D ．

【题目点拨】

本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.

2、D

【解题分析】

根据复数的除法运算，化简出z ，即可得出虚部.

【题目详解】 解：432i z i +=-=()()()()

43251012225i i i i i i +++==---+-， 故虚部为-2.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查复数的除法运算和复数的概念.

3、C

【解题分析】

本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【题目详解】 由题意得，{}{}

42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．

【题目点拨】

不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

4、A

【解题分析】

由余弦公式的二倍角可得，27cos()12sin 2249

παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，再由诱导公式有 cos()sin 2παα+=-，所以7sin 9

α=- 【题目详解】 ∵1sin 243απ⎛⎫+= ⎪⎝

⎭ ∴由余弦公式的二倍角展开式有

27cos()12sin 2249

παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭ 又∵cos()sin 2π

αα+=- ∴7sin 9

α=-

故选：A

【题目点拨】

本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题 5、A

【解题分析】

求出二项式5

2x ⎫⎪⎭

的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果. 【题目详解】

解：二项式52x ⎫⎪⎭

展开式的通式为()()55225215512r r r r r r r r r T C x C x ---+-+=-=-， 令5202

r r --+=，解得1r =， 则常数项为()11451280C -=-.

故选：A.

【题目点拨】

本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题. 6、B

【解题分析】

复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出a ，即得z .

【题目详解】

∵()

()()2

11z a a i a R =-+-∈为纯虚数，

∴21010

a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得1a =-. 2z i ∴=-. 故选：B . 【题目点拨】

本题考查复数的分类，属于基础题. 7、B 【解题分析】

用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断. 【题目详解】

①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.

②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确. ③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么 这两个角相等或互补，故③错误.

④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误. 故选：B 【题目点拨】

本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想. 8、D 【解题分析】

利用辅助角公式化简函数得到())4

f x x π

=-，再逐项判断正误得到答案.

【题目详解】

()sin 2cos 2)4

f x x x x π

=-=-

A 选项，132(,)4413

220,

x x ππππ⎛⎫

∈⇒ ⎪

⎝

⎭

-∈-函数先增后减，错误

B 选项，208

4

x x π

π

=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，24

4

4

x x π

π

π

=

⇒-

=

，不是对称中心，错误

D 选项，图象向左平移需8

π

个单位得到2sin(2())2sin 284y x x ππ=+-=，正确

故答案选D 【题目点拨】

本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键. 9、B 【解题分析】

甲同学所有的选择方案共有12

2412C C =种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有1

33C =种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率31

124

P =

=，故选B ． 10、B 【解题分析】

根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号. 【题目详解】

随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46，，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，，63，21，…其中落在编号01，02，…，39，40内的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重复的第5个编号为21. 故选：B 【题目点拨】

本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题. 11、D 【解题分析】

试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平

移个单位；故选D ． 考点：三角函数的图像变换． 12、D

【解题分析】

由函数的周期求得2w =，再由平移后的函数图像关于直线2

x π=对称，得到22

3

π

π

ϕ⨯

+-

2

k π

π=+

，由此求得满

足条件的ϕ的值，即可求得答案. 【题目详解】

分析：由函数的周期求得ω2=，再由平移后的函数图像关于直线πx 2=对称，得到πππ

2φk π232

⨯+-=+，由此求得满足条件的φ的值，即可求得答案.

详解：因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，

所以

2π

πω

=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π

6

个单位后，

得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

， 由此函数图像关于直线π

x 2

=

对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即π

φk π,k Z 6

=-∈，

取k 0=，得πφ6=-，满足π

φ2

<，

所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛

⎫

=- ⎪⎝

⎭

，故选D. 【题目点拨】

本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得到

sin(2)3

y x π

ϕ=+-，再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1- 【解题分析】

利用奇函数的定义得出()()f x f x -=-，结合对数的运算性质可求得实数a 的值. 【题目详解】 由于函数()1ln

1x f x ax -=-为奇函数，则()()f x f x -=-，即111ln ln ln 111

x x ax

ax ax x ----=-=+--，

1111

x ax

ax x ---∴

=+-，整理得22211x a x -=-，解得1a =±.

当1a =时，真数1

11x x

-=

=--，不合乎题意； 当1a =-时，()1ln 1x f x x -=+，解不等式

1

01

x x ->+，解得1x <-或1x >，此时函数()y f x =的定义域为()(),11,-∞-+∞，定义域关于原点对称，合乎题意.

综上所述，1a =-. 故答案为：1-. 【题目点拨】

本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 14、,2π⎡⎫

-

+∞⎪⎢⎣⎭

【解题分析】

构造函数()()cos 2

x

g x f x =-，再根据条件确定()g x 为奇函数且在R 上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果. 【题目详解】 依题意，()()()cos cos 22

x x

f x f x --

=--+

， 令()()cos 2

x

g x f x =-

，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数 ()()()cos sin 022x x g x f x f x '⎡⎤''=-=+<⎢⎥⎣

⎦，故函数()g x 在R 上单调递减， 则()()()()()cos cos 0022

x x

f x f x f x f x πππ+++≤⇒+-

+-≤ ()()()()()0g x g x g x g x g x ππ⇔++≤⇔+≤-=-，即x x π+≥-，故2

x π

≥-

，则x 的取值范围为,2π⎡⎫

-

+∞⎪⎢⎣⎭

. 故答案为：,2π⎡⎫

-+∞⎪⎢⎣⎭

【题目点拨】

本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 15、5 【解题分析】

分析：画出可行域，平移直线2y x z =+，当直线2y x z =+经过()2,1A

-时，可得2z x y =-+有最大值415+=.

详解：

画出束条件101030x x y x y -≤⎧⎪

++≥⎨⎪-+≥⎩表示的可行性，如图，

由1030x y x y ++=⎧⎪⎨⎪-+=⎩可得21x y =-⎧⎪⎨⎪=⎩

， 可得()2,1A

-，

目标函数2z x y =-+变形为2y x z =+， 平移直线2y x z =+， 当直线2y x z =+经过()2,1A

-时，

可得2z x y =-+有最大值415+=， 故答案为5.

点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 16、54 【解题分析】

Aa 设正四棱柱的高为h 29356,h h +=⇒=故得到正四棱柱的体积为9654.V =⨯=

故答案为54.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、

(2)( 【解题分析】

（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果； （2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛

⎫

- ⎪⎝

⎭

，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果. 【题目详解】

（1）由正弦定理可得：2sin sin 2sin cos A C B C -=

A B C π++= ()sin sin A B C ∴=+

()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C C B C B C C B C ∴+-=+-=

即2cos sin sin B C C =

()0,C π∈ sin 0C ∴≠ 1cos 2

B ∴=

()0,B π∈ 3

B π∴= 23A

C π

∴+=

2sin sin 232A C B π+⎛⎫

∴+==

⎪⎝⎭

（2）由（1

）知：sin sin 3B π

==

2sin sin sin a c b

A C

B ∴==== 2sin c

C ∴=，2sin a A =

()2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin c a C A C B C C B C B C

∴-=-=-+=-

-2sin sin sin 2sin 3C C C C C C π⎛

⎫=-==- ⎪⎝

⎭

23A C π

+=

203

C π∴<< ,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭

(2sin 3C π⎛

⎫∴-∈ ⎪⎝

⎭，即c a -

的取值范围为(

【题目点拨】

本题考查解三角形知识的相关应用，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式和辅助角公式的应用、与三角函数值域有关的取值范围的求解问题；求解取值范围的关键是能够利用正弦定理将边长的问题转化为三角函数的问题，进而利用正弦型函数值域的求解方法求得结果.

18、 (1) (][),02,-∞⋃+∞ (2) 当4a ≤时，x 的取值范围为

22a x ≤≤；当4a >时，x 的取值范围为22

a x ≤≤． 【解题分析】

（1）当1a =时，分类讨论把不等式()3f x ≥化为等价不等式组，即可求解．

(2)由绝对值的三角不等式，可得()()222f x x a x x a ≥---=-+，当且仅当()()220x a x --≤时，取“=”，分类讨论，即可求解．

【题目详解】 （1）当1a =时，()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩

， 不等式()3f x ≥可化为33312x x -+≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或13122

x x +≥⎧⎪⎨<<⎪⎩或3332x x -≥⎧⎨≥⎩ ， 解得不等式的解集为(][),02,-∞⋃+∞．

(2)由绝对值的三角不等式，可得()()22222f x x x a x a x x a =-+-≥---=-+，

当且仅当()()220x a x --≤时，取“=”，

所以当4a ≤时，x 的取值范围为

22a x ≤≤；当4a >时，x 的取值范围为22a x ≤≤． 【题目点拨】

本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理应用绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

19、（1）24y x =（2）

92

【解题分析】

(1)

代入(m 计算即可.

(2) 设直线AB 的方程为(1)y k x =-,再联立直线与抛物线的方程,消去x 可得y 的一元二次方程,再根据韦达定理与2BF FA =求解k ,进而利用弦长公式求解即可.

【题目详解】

解：

（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>

过点(m ,所以42m pm =,所以2p =,抛物线的方程为24y x =

（2）由题意知直线AB 的斜率存在,可设直线AB 的方程为(1)y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y .因为2BF FA =,所以

212y y =-,联立2(1)4y k x y x

=-⎧⎨=⎩,化简得2440y y k --=,所以124y y k +=,124y y =-,所以14y k =-,212y =,

解得k =±所以

9||2AB ===. 【题目点拨】

本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.

20、（1）24x ay =，抛物线；（2）存在，()(),11,-∞-+∞.

【解题分析】

（1）设(),Q x y

y a =+，化简即得； （2）利用导数几何意义可得()2,A a a ，要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=.

联立直线m 与抛物线方程，利用根与系数的关系即可解决.

【题目详解】

（1）设(),Q x y

y a =+，化简得2

4x ay =， 所以动圆圆心Q 的轨迹方程为2

4x ay =，

它是以F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线. （2）不妨设()2,04t A t t a ⎛⎫> ⎪⎝⎭

. 因为2

4x y a

=，所以2x y a '=， 从而直线PA 的斜率为2

402t a t a t a

+=-，解得2t a =，即()2,A a a ， 又()0,F a ，所以//AF x 轴.

要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=.

设直线m 的方程为y kx a =-，代入24x ay =并整理，

得22440x akx a -+=.

首先，()221610a k ∆=->，解得1k <-或1k >.

其次，设()11,M x y ，()22,N x y ，

则124x x ak +=，2124x x a =.

()()2112121212

FM FN x y a x y a y a y a k k x x x x -+---+=+= ()()()2112121212

2222x kx a x kx a a x x k x x x x -+-+==- 224204a ak k a ⋅=-

=. 故存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠，

此时直线m 的斜率的取值范围为()

(),11,-∞-+∞. 【题目点拨】

本题考查直线与抛物线位置关系的应用，涉及抛物线中的存在性问题，考查学生的计算能力，是一道中档题.

21、（1）512

（2）详见解析（3）初中生平均参加公益劳动时间较长 【解题分析】

（1）由图表直接利用随机事件的概率公式求解；

（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3.由古典概型概率公式求概率，则分布列可求；

（3）由图表直接判断结果.

【题目详解】

（1）100名学生有男生48名，

其有20人参加公益劳动时间在[)10,20，

设男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在[)10,20的事件为A ，

那么()2054812

P A ==； （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3.

∴()373127044C P X C ===；()125731221144C C P X C ===； ()21573127222C C P X C ===；()353121322

C P X C ===. ∴随机变量X 的分布列为：

（3）由图表可知，初中生平均参加公益劳动时间较长.

【题目点拨】

本小题主要考查古典概型的计算，考查超几何分布的分布列的计算，属于基础题.

22、（15（2）4. 【解题分析】

（1）利用三角形的面积公式求得BC ，利用余弦定理求得AC .

（2）利用余弦定理求得cos CAB ∠，由此求得sin DAC ∠，进而求得sin ADC ∠，利用同角三角函数的基本关系式求得tan ADC ∠.

【题目详解】

（1）在 ABC 中，由面积公式：

121sin 242

ABC S AB BC ABC BC =⨯⨯⨯∠=⨯= 2BC ∴=

在 ABC 中，由余弦定理可得：222

25AC AB BC AB BC cos ABC +⋅∠-⋅== 5AC ∴=

（2）在 ABC 中，由余弦定理可得：222252AB AC BC

cos CAB AB BC +-∠==⋅()2sin DAC sin DAB CAB sin CAB π⎛⎫∠=∠-∠=-∠ ⎪⎝⎭

255

sin DAC cos CAB ∴∠=∠=

在 ADC 中，由正弦定理可得:

sin sin AC CD ADC DAC =∠∠，sin ADC ∴∠= ADC ∠为锐角

cos 17

ADC ∴∠==. tan 4ADC ∴∠=

【题目点拨】

本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.下载本文