精品解析：2023年高考全国乙卷数学(文)真题(解析版)_动视

精品解析：2023年高考全国乙卷数学(文)真题(解析版)

2025-10-02 04:37:11 责编:小OO

点击下载本文 文档为doc格式

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

文科数学

一、选择题

232i 2i ++=

（）

A.1

B.2

D.5

【答案】C 【解析】

【分析】由题意首先化简232i 2i ++，然后计算其模即可.【详解】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-，

则232i 2i 12i ++=-==.故选：C.

2.设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（）

{}

0,2,4,6,8 B.

{}

0,1,4,6,8 C.

{}

1,2,4,6,8 D.U

【答案】A 【解析】

【分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ⋃ð即可.【详解】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选：A.

3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（

）

A.24

B.26

C.28

D.30

【答案】D

【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，

则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D -去掉长方体11ONIC LMHB -之后所得的几何体，

该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=.故选：D.

4.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C π

=，则B ∠=（）

π B.

π C.

310

π D.

π【答案】C 【解析】

【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得A ∠的值，最后利用三角形内角和定理可得A ∠的值.

【详解】由题意结合正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A A B A B B A -=+=+，整理可得sin cos 0B A =，由于()0,πB ∈，故sin 0B >，据此可得πcos 0,2

A A ==

，则ππ3πππ2510

B A

C =--=-

-=.

5.已知e ()e 1

ax x f x =-是偶函数，则=a （

）

A.2-

B.1

- C.1

D.2

【答案】D 【解析】

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

【详解】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1

a x x x x ax ax ax x x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-=

=---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选：D.

6.正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=

（）

B.3

C. D.5

【答案】B 【解析】

【分析】方法一：以{}

,AB AD 为基底向量表示,EC ED uu u r uu u r

，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，

利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos DEC ∠，进而根据数量积的定义运算求解.

【详解】方法一：以{}

,AB AD

为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，

则11,22

EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uu

u r uuu r ，

所以22

111143224EC ED AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu

u r uuu r ；

方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，

则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r

，

所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r

；

方法三：由题意可得：2ED EC CD ===，

在CDE 中，由余弦定理可得2223

cos

DE CE DC DEC DE CE +-∠=

==⋅，

所以3

cos 35

EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .

故选：B.

7.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}

2,14x y x

y ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA

的倾斜角不大于

的概率为（）

18 B.

【答案】C 【解析】

【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域

(){}2

2,|14x y x

y ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，

则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4

MON ∠=，结合对称性可得所求概率13π143π4

P ⨯

=.故选：C.

8.函数()3

2f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（

）

()

,2-∞- B.

()

,3-∞- C.

()4,1-- D.

()

3,0-【答案】B 【解析】

【分析】写出2()3f x x a '=+，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.【详解】3()2f x x ax =++，则2()3f x x a '=+，

若()f x 要存在3个零点，则()f x 要存在极大值和极小值，则a<0，令2()30f x x a '=+=，解得3a x -=3

a -，且当,,33a a

x ⎛⎫--∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭

时，()0f x '>，

当33a a x ⎛--∈ ⎝，()0f x '<，故()f x 的极大值为3f a ⎛ -⎝，极小值为

3f a -，若()f x 要存在3个零点，则0303a f a f ⎧⎛-->⎪ ⎪⎝⎨-⎪<⎪⎩，即2033

320333a a a a a a ⎧-->⎪⎪⎨---⎪++<⎪⎩，解得3a <-，

故选：B.

9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（

）

【答案】A 【解析】

【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.

【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：

乙

甲

123456

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)

(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)

(5,4)(5,5)(5,6)6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

共有36个不同结果，它们等可能，

其中甲乙抽到相同结果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6个，因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率305366

P ==.故选：A

10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫

⎪⎝⎭

单调递增，直线π6x =和2π

3x =为函数()y f x =的图像

的两条相邻对称轴，则5π12f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

（）

A. B.12

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入5π

x =-即可得到答案.【详解】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫

⎪⎝

⎭单调递增，所以

2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π

2w T ==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ

22π62

k ϕ⋅+=-，Z k ∈，

则5π2π6k ϕ=-

，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛

⎫=- ⎪⎝⎭

，

则5π5π3sin 1232f ⎛⎫⎛⎫

=-= ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

，故选：D.

11.已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）

A.1

B.4

C.1+

D.7

【答案】C 【解析】

【分析】法一：令x y k -=，利用判别式法即可；法二：通过整理得()()2

219x y -+-=，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设x y k -=，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令x y k -=，则x k y =+，代入原式化简得()2

2240y k y k k +-+--=，

因为存在实数y ，则0∆≥，即()()

22440k k k --⨯--≥，

化简得22170k k --≤，解得11k -≤≤+

故x y -的最大值是1+，

法二：224240x y x y +---=，整理得()()2

219x y -+-=，

令3cos 2x θ=+，3sin 1y θ=+，其中[]

0,2πθ∈，

则π3cos 3sin 114x y θθθ⎛⎫

-=-+=+

+ ⎪⎝

⎭

，[]0,2θπ∈ ，所以ππ9π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π2π4θ+=，即74

θ=时，x y -

取得最大值1，

法三：由224240x y x y +---=可得22(2)(1)9x y -+-=，设x y k -=，则圆心到直线x y k -=

的距离3d =

≤，

解得11k -≤≤+故选：C

12.设A ，B 为双曲线2

y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）

A.()1,1

()

1,2- C.

()

1,3 D.

()

1,4--【答案】D 【解析】

【分析】根据点差法分析可得9AB k k ⋅=，对于A 、B 、D ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.

【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫

⎪⎝⎭

，可得12

12121212

122,2

y y y y y y k k x x x x x x +-+==

=+-+，因为,A B 在双曲线上，则2

211

2221919

y x y x ⎧-=⎪⎪⎨

⎪-=⎪⎩

，两式相减得()2222

121209y y x x ---=，所以22

9AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =-，

联立方程229819y x y x =-⎧⎪

⎨-=⎪⎩

，消去y 得272272730x x -⨯+=，

此时()2

272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得92,2AB k k =-=-

，则95:22

AB y x =--，联立方程2

29522

19y x y x ⎧

=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩

，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()2

24544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x

=由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：94,4AB k k ==

，则97

:44

AB y x =-，联立方程2

29744

19y x y x ⎧

=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩

，消去y 得2631261930x x +-=，此时212631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D.

二、填空题

13.

已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______.【答案】94

【解析】

【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为5

x =-，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.

【详解】由题意可得：

21p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，

准线方程为54x =-

，点A 到C 的准线的距离为59144

⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：

.14.若π10,

,tan 22

⎛⎫∈= ⎪⎝

⎭θθ，则sin cos θθ-=________．【答案】55

-【解析】

【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.

【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，则sin 0,cos 0θθ>>，

又因为sin 1

tan cos 2

θθθ=

=，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得5

sin 5θ=

或5sin 5

θ=-（舍去），

所以sin cos sin 2sin sin 5

-=-=-=-

θθθθθ.

故答案为：5

.15.若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪

+≤⎨⎪+≥⎩

，则2z x y =-的最大值为______.

【答案】8【解析】

【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.【详解】作出可行域如下图所示：

2z x y =-，移项得2y x z =-，

联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩

，

设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距z -最小，则z 最大，代入得8z =，

故答案为：

16.已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上，ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则

SA =________．

【答案】2【解析】

【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.【详解】如图，将三棱锥S ABC -转化为直三棱柱SMN ABC -，设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，

则

2sin 3

AB r ACB =

=∠

，可得r =，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，连接1,OA OO ，则11

2,2

OA OO SA ==

，因为2

11OA OO O A =+，即2

1434

SA =+

，解得2SA =.故答案为：

【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法

（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；

（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；

（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；

（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．

三、解答题

17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：试验序号i 123456710伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率i

y 536

527

543

530

560

533

522

550

576

536

记()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ．（1）求z ，2s ；

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果

z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）

【答案】（1）11z =，261s =；

（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】

【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出,x y ，再得到所有的i z 值，最后计算出方差即可；

（2）根据公式计算出的值，和z 比较大小即可.

【小问1详解】

545533551522575544541568596548552.310x +++++++++=

=，536527543530560533522550576536541.310

y +++++++++==，552.3541.311z x y =-=-=，

i i i z x y =-的值分别为:9,6,8,8,15,11,19,18,20,12-，故222222222

(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s -+-+-+--+-++-+-+-+-==【小问2详解】

由（1）知:11z =

，==

，故有z ≥所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求数列{}

n a 的前n 项和n T ．

【答案】（1）152n a n =-（2）2214,71498,8

n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩【解析】

【分析】（1）根据题意列式求解1,a d ，进而可得结果；

（2）先求n S ，讨论n a 的符号去绝对值，结合n S 运算求解.

【小问1详解】

设等差数列的公差为d ，由题意可得211011*********a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩

，即1111298a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1132a d =⎧⎨=-⎩，所以()1321152n a n n =--=-，

【小问2详解】

因为()

213152142n n n S n n +-==-，

令1520n a n =->，解得152

n <，且*n ∈N ，当7n ≤时，则0n a >，可得2121214n n n n T a a a a a a S n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==-；

当8n ≥时，则0n a <，可得()()

121278n n n T a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+()()()222777221477141498n n S S S S S n n n n =--=-=⨯---=-+；

综上所述：2214,71498,8

n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩.19.如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =

PB PC ==

,,BP AP BC 的

中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．

（1）求证：EF //平面ADO ；

（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥-P ABC 的体积．

【答案】（1）证明见解析

（2）26

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）作出并证明PM 为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.

【小问1详解】

连接,DE OF ，设AF tAC =，则(1)BF BA AF t BA tBC =+=-+ ，12

AO BA BC =-+ ，BF AO ⊥，则2211[(1)]()(1)4(1)4022

BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=-+⋅-+=-+=-+= ，

解得12t =

，则F 为AC 的中点，由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点，于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==，即,//DE OF DE OF =，则四边形ODEF 为平行四边形，

//,EF DO EF DO =，又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO ，

所以//EF 平面ADO .

【小问2详解】

过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M ，

因为,PB PC O =是BC 中点，所以PO BC ⊥，

在Rt PBO △中，12PB BO BC =

==，

所以2PO ===，

因为,//AB BC OF AB ⊥，

所以OF BC ⊥，又PO OF O ⋂=，,PO OF ⊂平面POF ，

所以BC ⊥平面POF ，又PM ⊂平面POF ，

所以BC PM ⊥，又BC FM O = ，,BC FM ⊂平面ABC ，

所以PM ⊥平面ABC ，

即三棱锥-P ABC 的高为PM ，

因为120POF ∠=︒，所以60POM ∠=︒，

所以3sin 6022

PM PO =︒=⨯=，

又11222

ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△

所以11333P ABC ABC V S PM -=

⋅=⨯=△.

20.已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭

．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程．

（2）若函数()f x 在()0,∞+单调递增，求a 的取值范围．

【答案】（1）()ln 2ln 20x y +-=；

（2）1|2a a ⎧⎫≥

⎨⎬⎩⎭

.【解析】

【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；

（2）原问题即()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立，整理变形可得()()()21ln 10g x ax x x x =+-++≥在区间()0,∞+上恒成立，然后分类讨论110,,022a a a ≤≥

<<三种情况即可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】

当1a =-时，()()()11ln 11f x x x x ⎛⎫=-+>- ⎪⎝⎭

，则()()2111ln 111

x f x x x x ⎛⎫'=-⨯++-⨯ ⎪+⎝⎭，据此可得()()10,1ln 2f f '==-，

所以函数在()()

1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x -=--，即()ln 2ln 20x y +-=.【小问2详解】

由函数的解析式可得()()()2111=ln 111

f x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫'-+++⨯>- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，

满足题意时()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立.令()2111ln 101

x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+++≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax -++++≥，令()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++，原问题等价于()0g x ≥在区间()0,∞+上恒成立，

则()()2ln 1g x ax x '=-+，

当0a ≤时，由于()20,ln 10ax x ≤+>，故()0g x '

<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，不合题意;

令()()()2ln 1h x g x ax x '==-+，则()121h x a x -

'=+，当12a ≥，21a ≥时，由于111

x <+，所以()()0,h x h x '>在区间()0,∞+上单调递增，即()g x '在区间()0,∞+上单调递增，

所以()()>00g x g ''=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，满足题意.当102a <<

时，由()1201h x a x =-=+'可得1=12x a -，当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()0,h x h x '<在区间10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭

上单调递减，即()g x '单调递减，注意到()00g '=，故当10,

12x a ⎛

⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()00g x g ''<=，()g x 单调递减，由于()00g =，故当10,12x a ⎛

⎫∈- ⎪⎝⎭

时，()()00g x g <=，不合题意.综上可知：实数a 得取值范围是1|2a a ⎧

⎫≥

⎨⎬⎩⎭.【点睛】方法点睛：

（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法

①函数在区间(),a b 上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤)恒成立．

②函数在区间(),a b 上存在单调区间，实际上就是()0f x '≥(或()0f x '≤)在该区间上存在解集．

21.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是53

，点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程；

（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．

【答案】（1）22

194

y x +=（2）证明见详解

【解析】

【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ，进而可得结果；

（2）设直线PQ 的方程，进而可求点,M N 的坐标，结合韦达定理验证

M N y y +为定值即可.【小问1详解】由题意可得222253b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩

，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22

194

y x +=.【小问2详解】

由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，

联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()

222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ2349317280k k k k k k =+-++=->，解得0k <，

可得()()

2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++，

因为()2,0A -，则直线()11:22y AP y x x =++，

令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭

,同理可得2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭

，则()()1212121222232322222

y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()

12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949

k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++，所以线段MN 的中点是定点()0,3

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤

（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；

（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；

（3）得出结论．

【选修4-4】（10分）

22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为ππ2sin 42⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ρθθ，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩

（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；

（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.

【答案】（1）()[][]

2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）(

)()

,0-∞+∞

【解析】

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意,x y 的取值范围；

（2）根据曲线12,C C 的方程，结合图形通过平移直线y x m =+分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.

【小问1详解】

因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，

整理得()2211x y +-=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2

≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=-∈θθ，故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈.

【小问2详解】

因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩

（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；

若直线y x m =+，即0x y m -+=与2C

相切，则20m =>⎩

，解得m =，

若直线y x m =+与12,C C

均没有公共点，则m >或0m <，

即实数m 的取值范围(

)()

,0-∞+∞ .

【点睛】

【选修4-5】（10分）

23.已知()22f x x x =+-.

（1）求不等式()6f x x ≤-的解集；

（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+-≤⎩

所确定的平面区域的面积.【答案】（1）[2,2]-；

（2）8.

【解析】

【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.

（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.

【小问1详解】

依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩

，

不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，解2326x x x >⎧⎨-≤-⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，得20x -≤<，因此22x -≤≤，

所以原不等式的解集为：[2,2]

-【小问2详解】

作出不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+-≤⎩

表示的平面区域，如图中阴影ABC ，

由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩,解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ，所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =⨯-=-⨯--= .下载本文

显示全文

全部频道