一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）的相反数为（ ）

A． B．5 C． D．

2．（3分）如图所示几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D．

3．（3分）下列计算正确的是（ ）

A． B．

C． D．

4．（3分）如图，是的外角的平分线，，，则的度数（ ）

A． B． C． D．

5．（3分）反比例函数的图象位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．（3分）如图，在中，，，则的值是（ ）

A． B．1 C． D．

7．（3分）如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．

8．（3分）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）

A． B．且 C． D．

9．（3分）如图，在四边形中，，，，与交于点，，则的值是（ ）

A． B． C． D．

10．（3分）如图，，是反比例函数图象上的两点，过点，分别作轴的平行线交轴于点，，直线交轴正半轴于点．若点的横坐标为5，，，则的值为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11．（3分）因式分解：　 　．

12．（3分）2018年国家级经济开发区成为经济发展重要增长点，实现进口总额62000亿元，用科学记数法表示为　　元．

13．（3分）一个长方形的长和宽分别为和，则这个长方形的面积为　　．

14．（3分）在一次青年歌手演唱比赛中，10位评委给某位歌手的打分分别是：9.5，9.8，9.4，9.5，9.6，9.3，9.6，9.4，9.3，9.4，则这组数据的众数是　　．

15．（3分）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，母线长为5，该圆锥的底面半径为　　．

16．（3分）如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，当点到达点时，点，同时停止运动．连接，，设点运动的时间为，若是以为底的等腰三角形，则的值为　　．

17．（3分）如图，是等边三角形，点为边上一点，，以点为顶点作正方形，且，连接，．若将正方形绕点旋转一周，当取最小值时，的长为　　．

18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作的垂线交轴于点，此时点与原点重合，连接交轴于点，得到第1个△；过点作轴的垂线交于点，过点作轴的平行线交于点，连接与交于点，得到第2个△按照此规律进行下去，则第2019个△的面积是　　．

三、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（10分）先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解．

20．（10分）一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数，2，，4．

（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为　　．

（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．

四、解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

21．（12分）为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调査（问卷调査表如图1所示），并根据调查结果绘制了图2、图3两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答下列问题．

（1）本次接受问卷调查的学生有　　名．

（2）补全条形统计图．

（3）扇形统计图中类节目对应扇形的圆心角的度数为　　．

（4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数．

22．（12分）如图，，两市相距，国家级风景区中心位于市北偏东方向上，位于市北偏西方向上．已知风景区是以点为圆心、为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接，两市的高速公路，高速公路是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：

五、解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

23．（12分）如图，在平行四边形中，，垂足为点，以为直径的与边相切于点，连接交于点，连接．

（1）求证：．

（2）若，求的值．

24．（12分）某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量与时间第天之间的函数关系式为，为整数），销售单价（元与时间第天之间满足一次函数关系如下表：

时间第

（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

六、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

25．（14分）如图1，在中，，，点是的中点，连接，点是线段延长线上一点，且，连接交于点．将射线绕点逆时针旋转交线段的延长线于点．

（1）找出与相等的角，并说明理由．

（2）如图2，，求的值．

（3）在（2）的条件下，若，求线段的长．

七、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线过点，，与轴交于点，连接，，将沿所在的直线翻折，得到，连接．

（1）用含的代数式表示点的坐标．

（2）如图1，若点落在抛物线的对称轴上，且在轴上方，求抛物线的解析式．

（3）设的面积为，的面积为，若，求的值．

2019年辽宁省营口市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）的相反数为（ ）

A． B．5 C． D．

【考点】14：相反数

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．

【解答】解：的相反数是5，

故选：．

【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2．（3分）如图所示几何体的俯视图是（ ）

A． B． C． D．

【考点】：简单组合体的三视图

【分析】注意几何体的特征，主视图与左视图的高相同，主视图与俯视图的长相等，左视图与俯视图的宽相同．

【解答】解：根据俯视图的特征，应选．

故选：．

【点评】本题考查了几何体的三视图，正确理解主视图与左视图以及俯视图的特征是解题的关键．

3．（3分）下列计算正确的是（ ）

A． B．

C． D．

【考点】：整式的混合运算

【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．

【解答】解：，故选项错误；

，故选项错误；

，故选项正确；

，故选项错误；

故选：．

【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．

4．（3分）如图，是的外角的平分线，，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．

【考点】：三角形的外角性质；：三角形内角和定理；：平行线的性质

【分析】根据平行线的性质求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形的外角性质计算即可．

【解答】解：，

，

是的外角的平分线，

，

是的外角，

，

故选：．

【点评】本题考查的是平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

5．（3分）反比例函数的图象位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】：反比例函数的图象；：反比例函数的性质

【分析】根据题目中的函数解析式和的取值范围，可以解答本题．

【解答】解：反比例函数，，

该函数图象在第四象限，

故选：．

【点评】本题考查反比例函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．

6．（3分）如图，在中，，，则的值是（ ）

A． B．1 C． D．

【考点】：相似三角形的判定与性质

【分析】利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．

【解答】解：，

，

，

，

故选：．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

7．（3分）如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．

【考点】：圆周角定理

【分析】连接，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．

【解答】解：连接，如图，

是的直径，

，

，

．

故答案为．

故选：．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．

8．（3分）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）

A． B．且 C． D．

【考点】：根的判别式；：一元二次方程的定义

【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．

【解答】解：当时，△，

，

且，

当时，

此时方程为，满足题意，

故选：．

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，本题属于基础题型．

9．（3分）如图，在四边形中，，，，与交于点，，则的值是（ ）

A． B． C． D．

【考点】：平行线的性质；：解直角三角形

【分析】证明，得出，证出，得出，因此，在中，由三角函数定义即可得出答案．

【解答】解：，，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

在中，；

故选：．

【点评】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形相似是解题的关键．

10．（3分）如图，，是反比例函数图象上的两点，过点，分别作轴的平行线交轴于点，，直线交轴正半轴于点．若点的横坐标为5，，，则的值为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．

【考点】：解直角三角形；：一次函数图象上点的坐标特征；：反比例函数图象上点的坐标特征

【分析】由，设，，根据勾股定理求得，即可求得，得出，设，则，根据题意得出，，从而求得，则，，设点的纵坐标为，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，求得．

【解答】解：轴，

，

，

设，，

，

点的横坐标为5，

，则，

，

设，则，

，

，

，

，

，则，

，，

设点的纵坐标为，

，则，

，，

，是反比例函数图象上的两点，

，

解得，

故选：．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形以及勾股定理的应用，表示出、的坐标是解题的关键．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11．（3分）因式分解：　　．

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用

【分析】首先提取公因式，再运用平方差公式进行二次分解．

【解答】解：，

（提取公因式）

．（平方差公式）

故答案为：．

【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

12．（3分）2018年国家级经济开发区成为经济发展重要增长点，实现进口总额62000亿元，用科学记数法表示为　　元．

【考点】：科学记数法表示较大的数

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．

【解答】解：62000亿元元元，

故答案为：．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

13．（3分）一个长方形的长和宽分别为和，则这个长方形的面积为　　．

【考点】：二次根式的应用

【分析】长方形的面积计算公式为长乘以宽，所以将和相乘，按照二次根式乘法的运算法则计算，并化简成最简单二次根式即可．

【解答】解：长方形的长和宽分别为和

这个长方形的面积为：

故答案为：

【点评】本题考查了二次根式在长方形面积计算中的应用，明确二次根式乘法运算法则及如何化为最简二次根式是解题的关键．

14．（3分）在一次青年歌手演唱比赛中，10位评委给某位歌手的打分分别是：9.5，9.8，9.4，9.5，9.6，9.3，9.6，9.4，9.3，9.4，则这组数据的众数是　9.4　．

【考点】：众数

【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．

【解答】解：数据9.4出现了三次最多为众数．

故答案为：9.4．

【点评】考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

15．（3分）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，母线长为5，该圆锥的底面半径为　3　．

【考点】：圆锥的计算

【分析】设该圆锥的底面半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可．

【解答】解：设该圆锥的底面半径为，

根据题意得，解得．

故答案为3．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

16．（3分）如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，当点到达点时，点，同时停止运动．连接，，设点运动的时间为，若是以为底的等腰三角形，则的值为　　．

【考点】：等腰三角形的性质；：矩形的性质；：勾股定理

【分析】如图，过点作于，可得，，由勾股定理可求的值．

【解答】解：如图，过点作于，

四边形是矩形，

，，

，，

，

，

故答案为：．

【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．

17．（3分）如图，是等边三角形，点为边上一点，，以点为顶点作正方形，且，连接，．若将正方形绕点旋转一周，当取最小值时，的长为　8　．

【考点】：等边三角形的性质；：三角形三边关系；：旋转的性质；：正方形的性质；：全等三角形的判定与性质

【分析】过点作于，由已知得出，得出，由等边三角形的性质得出，，得出，在中，由勾股定理得出，当正方形绕点旋转到点、、在同一条直线上时，，即此时取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由勾股定理即可得出．

【解答】解：过点作于，

，

，

，

是等边三角形，

，

，

，

，

在中，，

当正方形绕点旋转到点、、在同一条直线上时，，

即此时取最小值，

在中，，

在中，；

故答案为：8．

【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．

18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作的垂线交轴于点，此时点与原点重合，连接交轴于点，得到第1个△；过点作轴的垂线交于点，过点作轴的平行线交于点，连接与交于点，得到第2个△按照此规律进行下去，则第2019个△的面积是　　．

【考点】：一次函数图象上点的坐标特征；：规律型：点的坐标

【分析】根据一次函数解析式的求法和相似三角形的性质解答即可．

【解答】解：与轴交于点，与轴交于点，

，

在中，当时，，

，

设直线的解析式为：，

可得：，

解得：，

直线的解析式为：，

令，可得：，

，，

，

△△，

△△，

，

，

同理可得：，

△的面积，

故答案为：．

【点评】此题考查一次函数图象上的点的坐标特征，关键是利用一次函数解决三角形面积问题方法解答．

三、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（10分）先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解．

【考点】：分式的化简求值；：一元一次不等式组的整数解

【分析】先化简分式，然后将的整数解代入求值．

【解答】解：原式

，

解不等式得

，

不等式组的整数解为，

当时，

原式．

【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．

20．（10分）一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数，2，，4．

（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为　　．

（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．

【考点】：概率公式；：列表法与树状图法

【分析】（1）直接利用概率公式计算；

（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数，然后根据公式求解．

【解答】解：（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率；

故答案为；

（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8，

所以两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．

四、解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

21．（12分）为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调査（问卷调査表如图1所示），并根据调查结果绘制了图2、图3两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答下列问题．

（1）本次接受问卷调查的学生有　100　名．

（2）补全条形统计图．

（3）扇形统计图中类节目对应扇形的圆心角的度数为　　．

（4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数．

【考点】：条形统计图；：用样本估计总体；：扇形统计图

【分析】（1）根据的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数；

（2）根据（1）中的结果和图1中的数据可以将条形统计图补充完完整；

（3）根据条形统计图中的数据可以求得扇形统计图中类节目对应扇形的圆心角的度数；

（4）根据统计图中的数据可以求得该校最喜爱新闻节目的学生人数．

【解答】解：（1）本次接受问卷调查的学生有：（名，

故答案为：100；

（2）喜爱的有：（人，

补全的条形统计图如右图所示；

（3）扇形统计图中类节目对应扇形的圆心角的度数为：，

故答案为：；

（4）（人，

答：该校最喜爱新闻节目的学生有160人．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

22．（12分）如图，，两市相距，国家级风景区中心位于市北偏东方向上，位于市北偏西方向上．已知风景区是以点为圆心、为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接，两市的高速公路，高速公路是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：

【考点】：解直角三角形的应用方向角问题

【分析】过点作于点，设，则，，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，将其与50进行比较即可得出结论．

【解答】解：高速公路不穿过风景区．

过点作于点，如图所示．

根据题意，得：，，

在中，，

．

设，则，

在中，，

．

，

，

．

，

高速公路不穿过风景区．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，通过解直角三角形用的长表示出，的长是解题的关键．

五、解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

23．（12分）如图，在平行四边形中，，垂足为点，以为直径的与边相切于点，连接交于点，连接．

（1）求证：．

（2）若，求的值．

【考点】：平行四边形的性质；：全等三角形的判定与性质；：切线的性质；：圆周角定理；：解直角三角形

【分析】（1）证明，可得是的切线，由切线长定理得，同理，则；

（2）连接，相交于点，设，则，求得，，可求出，证得，求出，可证明，则可求出．

【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，

，

，

，

是的半径，

是的切线，

又是的切线，

，

同理可得，

，

．

（2）解：连接，相交于点，

四边形是平行四边形，

，．

，

设，则，

，，

在中，，

，

，是的两条切线，

，

，，

，

在中，，

，

，

，

，

，

．

【点评】此题属于圆的综合题．考查了圆周角定理、切线的性质、切线长定理、勾股定理、平行四边形的性质以及锐角三角函数的知识．注意准确作出辅助线、掌握方程思想的应用是解此题的关键．

24．（12分）某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量与时间第天之间的函数关系式为，为整数），销售单价（元与时间第天之间满足一次函数关系如下表：

时间第

（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

【考点】：二次函数的应用

【分析】（1）设销售单价（元与时间第天之间的函数关系式为：，将，解方程组即可得到结论；

（2）设每天获得的利润为元，由题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．

【解答】解：（1）设销售单价（元与时间第天之间的函数关系式为：，

将，代入得，，

解得：，

销售单价（元与时间第天之间的函数关系式为：；

（2）设每天获得的利润为元，

由题意得，

，

由最大值，

当时，最大，此时，，

答：第19天的日销售利润最大，最大利润是4761元．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象与性质是解题的关键．

六、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

25．（14分）如图1，在中，，，点是的中点，连接，点是线段延长线上一点，且，连接交于点．将射线绕点逆时针旋转交线段的延长线于点．

（1）找出与相等的角，并说明理由．

（2）如图2，，求的值．

（3）在（2）的条件下，若，求线段的长．

【考点】：几何变换综合题

【分析】（1）．由直角三角形的性质和旋转的性质推知即可；

（2）如图，过点作交于点．构造全等三角形和相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例求得的值．

（3）由（2）中相似三角形的性质和等量代换推知．故．易得．由（2）知，，则．故，．根据题意得到：，所以该相似三角形的对应边成比例：．将相关线段的长度代入求的值，所以．

【解答】解：（1）．

理由如下：，，

．

．

由旋转的性质知，．

；

（2）如图，过点作交于点．

，．

，点是的中点，

．

．

．

．

．

，

．

在与中，

．

．

．

．

，

．

．

设，则，．

在中，．

．

；

（3）如图，由（2）知．则．

．

．

，

．

．

．

．

由（2）知，，则．

，．

，．

．

．

，即．

解得，（舍去）．

．

【点评】考查了几何变换综合题．着重利用了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题过程中，注意方程思想在求相关线段长度时的灵活运用．

七、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线过点，，与轴交于点，连接，，将沿所在的直线翻折，得到，连接．

（1）用含的代数式表示点的坐标．

（2）如图1，若点落在抛物线的对称轴上，且在轴上方，求抛物线的解析式．

（3）设的面积为，的面积为，若，求的值．

【考点】：二次函数综合题

【分析】（1）抛物线的表达式为：，即可求解；

（2）证明，则，即可求解；

（3），，，而，即可求解．

【解答】解：（1）抛物线的表达式为：，

即，

则点；

（2）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交轴于点、交于点，

，，

，

设：，点，

，

，

，

其中：，，，，，，

将以上数值代入比例式并解得：，

，故，

故抛物线的表达式为：；

（3）如图2，连接交于点，则，

过点、分别作轴的垂线交于点、，

设：，

，

，而，

则，，

，则，

则，，

则，则，

则，

解得：（舍去正值），

，

解得：（不合题意值已舍去），

故：．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、图形的面积计算等，其中（3）用几何方法得出：，是本题解题的关键．下载本文