四川省成都市金堂中学2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．
1．（5分）设A={﹣1，1，2}，B={1，3}，则A∪B=（）
A． {1} B． {﹣1，1，1，2，3} C． {﹣1，1，2，3} D． ∅
2．（5分）下列关系式正确的是（）
A． ∈Q B． {a，b}={b，a} C． {2}={x|x2=2x} D． ∅∈{2014}
3．（5分）已知集合A={x|y=x}，B={y|y=x2}，则A∩B=（）
A． {x|x≥0} B． {0，1} C． {（0，1）} D． {（0，0），（1，1）}
4．（5分）下列四个图象中，是函数图象的是（）
A． （1） B． （1）、（3）、（4） C． （1）、（2）、（3） D． （3）、（4）
5．（5分）在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）
A． B．
C． D．
6．（5分）如果f：a→b，称b是a的象，a是b的原象．给定映射f：（x，y）→（，x2+y3），则点（6，﹣3）的象为（）
A． （，9） B． （﹣，9） C． （﹣，9）或（，9） D． （6，﹣3）或（3，1）
7．（5分）若f（x+2）=，则f（﹣1）=（）
A． 0 B． 1 C． ﹣1 D． ﹣
8．（5分）等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于（）
A． 20﹣2x（0＜x≤10） B． 20﹣2x（0＜x＜10） C． 20﹣2x（5≤x≤10） D． 20﹣2x（5＜x＜10）
9．（5分）若一个函数y=f（x）的图象关于y轴对称，则称这个函数为偶函数，设偶函数y=f（x）的定义域为，若当x∈时，函数y=f（x）的图象如下图，则f（x）＜0解集是（）
A． （﹣2，0）∪（2，5] B． （﹣5，﹣2）∪（2，5） C． ∪（2，5] D．
10．（5分）集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x﹣1∉A且x+1∉A，则称x为A的一个“孤独元素”．集合B是S的一个子集，B中含4个元素且B中无“孤独元素”，这样的集合B共有（）个．
A． 6 B． 7 C． 5 D． 4
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应题号后横线上）
11．（5分）设全集U={1，2，3}，A={1，2}，则∁UA=．
12．（5分）函数的定义域是 ．
13．（5分）设集合A={x|x＞1}，集合B={x|x＞a}，且A⊆B，则实数a的取值范围为．
14．（5分）设集合A={1，3}，B={x|x⊆A}，则AB（选符号“∈、⊆、⊇”中的一个填空）
15．（5分）给出下列说法：
①函数y=与y=x是同一函数；
②空集是任何集合的真子集；
③集合{y|y=x2+1}与集合{（x，y）|y=x2+1}不相等；
④集合{x∈N|x=，a∈N*}中只有四个元素；
其中正确答案的序号是．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax﹣2=0}，若A∪B=A，求实数a的值所组成的集合．
17．（12分）设函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=的定义域为B，求A∩B，A∪B，∁RB．
18．（12分）设集合A={x|（x﹣3）（x﹣a）=0，a∈R}，B={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，求A∪B，A∩B．
19．（12分）已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）﹣f（x）=2x．
（1）求f（x）；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
20．（13分）已知集合A={x|ax2+bx+1=0，a∈R，b∈R}，求：
（1）当b=2时，A中至多只有一个元素，求a的取值范围；
（2）当b=﹣2时，A中至少有一个元素，求a的取值范围；
（3）当a、b满足什么条件时，集合A为非空集合．
21．（14分）已知抛物y=x2﹣2mx﹣（m2+2m+1）
（1）求证：不论m取何值，抛物线必与x轴交于两点；
（2）若函数的定义域为{x|﹣1≤x≤1}，求函数的值域．
四川省成都市金堂中学2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷
参与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．
1．（5分）设A={﹣1，1，2}，B={1，3}，则A∪B=（）
A． {1} B． {﹣1，1，1，2，3} C． {﹣1，1，2，3} D． ∅
考点： 并集及其运算．
专题： 集合．
分析： 利用并集的性质求解．
解答： 解：∵A={﹣1，1，2}，B={1，3}，
∴A∪B={﹣1，1，2，3}．
故选：C．
点评： 本题考查并集的求法，是基础题，解题时要注意并集性质的合理运用．
2．（5分）下列关系式正确的是（）
A． ∈Q B． {a，b}={b，a} C． {2}={x|x2=2x} D． ∅∈{2014}
考点： 集合的相等．
专题： 集合．
分析： 分别利用集合的定义以及集合元素之间的关系进行判断．
解答： 解：A．是无理数，Q表示有理数，所以A错误．
B．两个集合的元素都是a，b，根据元素的无序性和集合相等的定义可知，B正确．
C．{x|x2=2x}={0，2}≠{2}，C错误；
D．集合和集合之间的关系不能用“属于”号，所以D错误．
故选B．
点评： 本题考查集合的定义以及集合之间的关系，属于基础题．
3．（5分）已知集合A={x|y=x}，B={y|y=x2}，则A∩B=（）
A． {x|x≥0} B． {0，1} C． {（0，1）} D． {（0，0），（1，1）}
考点： 交集及其运算．
专题： 集合．
分析： 由集合A={x|y=x}=R，B={y|y=x2}={y|y≥0}，能求出A∩B．
解答： 解：∵集合A={x|y=x}=R，B={y|y=x2}={y|y≥0}，
∴A∩B={x|x≥0}．
故选：A．
点评： 本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题．
4．（5分）下列四个图象中，是函数图象的是（）
A． （1） B． （1）、（3）、（4） C． （1）、（2）、（3） D． （3）、（4）
考点： 函数的图象与图象变化．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数的定义可知函数须满足“自变量x的任意性”，“函数值y的唯一性”，据此可得函数图象的特征，由此可得答案．
解答： 解：由函数的定义可知，对定义域内的任意一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，
故函数的图象与直线x=a至多有一个交点，
图（2）中，当a＞0时，x=a与函数的图象有两个交点，不满足函数的“唯一性”，故（2）不是函数的图象，
故选：B．
点评： 本题考查函数的定义及其图象特征，准确理解函数的“任意性”和“唯一性”是解决该题的关键．
5．（5分）在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）
A． B．
C． D．
考点： 判断两个函数是否为同一函数．
专题： 计算题．
分析： 两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域、对应关系．考查各个选项中的2个函数是否具有相同的定义域和对应关系，从而得出结论．
解答： 解：由于函数y=1的定义域为R，而函数y=的定义域为{x|x≠0}，这2个函数的定义域不同，
故不是同一个函数，故排除A．
由于函数的定义域为{x|x＞1}，而的定义域为{x|1＜x 或x＜﹣1}，
这2个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除B．
由于函数y=x与函数 y=具有相同的定义域、对应关系、值域，故是同一个函数．
由于函数y=|x|的定义域为R，而函数 y= 的定义域为{x|x≥0}，这两个函数的定义域不同，
故不是同一个函数，故排除D．
故选C．
点评： 本题主要考查函数的三要素，两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系．
6．（5分）如果f：a→b，称b是a的象，a是b的原象．给定映射f：（x，y）→（，x2+y3），则点（6，﹣3）的象为（）
A． （，9） B． （﹣，9） C． （﹣，9）或（，9） D． （6，﹣3）或（3，1）
考点： 映射．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 利用f：a→b，称b是a的象，a是b的原象，即可得出结论．
解答： 解：∵映射f：（x，y）→（，x2+y3），
∴点（6，﹣3）代入可得（，9），
故选：B．
点评： 本题考查映射的概念，考查学生的计算能力，比较基础．
7．（5分）若f（x+2）=，则f（﹣1）=（）
A． 0 B． 1 C． ﹣1 D． ﹣
考点： 函数的值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由已知得f（﹣1）=f（﹣3+2）==﹣1．
解答： 解：∵f（x+2）=，
∴f（﹣1）=f（﹣3+2）==﹣1．
故答案为：﹣1．
点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
8．（5分）等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于（）
A． 20﹣2x（0＜x≤10） B． 20﹣2x（0＜x＜10） C． 20﹣2x（5≤x≤10） D． 20﹣2x（5＜x＜10）
考点： 函数解析式的求解及常用方法．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据条件建立方程关系，然后表示成函数关系即可．
解答： 解：∵等腰三角形的周长是20，
∴y+2x=20，
即y=﹣2x+20，
由y=﹣2x+20＞0得，0＜x＜10，
又y＜2x，即﹣2x+20＜2x，
解得x＞5，即5＜x＜10
即y=﹣2x+20＞0，（5＜x＜10），
故选：D．
点评： 本题主要考查函数解析式的求法，根据周长关系直接建立方程关系即可，注意函数的定义域，比较基础．
9．（5分）若一个函数y=f（x）的图象关于y轴对称，则称这个函数为偶函数，设偶函数y=f（x）的定义域为，若当x∈时，函数y=f（x）的图象如下图，则f（x）＜0解集是（）
A． （﹣2，0）∪（2，5] B． （﹣5，﹣2）∪（2，5） C． ∪（2，5] D．
考点： 奇偶函数图象的对称性．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由当x∈时，函数y=f（x）的图象，先求出当x∈时，f（x）＜0的解集，再根据函数图象的对称性，求出当x∈时，f（x）＜0的解集，综合讨论结果，可得答案．
解答： 解：∵函数y=f（x）的图象关于y轴对称，
当x∈时，若函数y=f（x）＜0，
则x∈（2，5]，
故当x∈时，若函数y=f（x）＜0，
则x∈，
故选：D
点评： 本题考查的知识点是奇偶函数图象的对称性，难度不大，属于基础题．
10．（5分）集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x﹣1∉A且x+1∉A，则称x为A的一个“孤独元素”．集合B是S的一个子集，B中含4个元素且B中无“孤独元素”，这样的集合B共有（）个．
A． 6 B． 7 C． 5 D． 4
考点： 子集与真子集．
专题： 集合．
分析： 由S={0，1，2，3，4，5}，结合x∈A时，若有x﹣1∉A，且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案．
解答： 解：∵S={0，1，2，3，4，5}，
其中不含“孤立元”的集合4个元素必须是：
共有{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个
那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是6个．
故选A．
点评： 本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，我们要根据定义列出满足条件列出所有不含“孤立元”的集合，及所有三元集的个数，进而求出不含“孤立元”的集合个数．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应题号后横线上）
11．（5分）设全集U={1，2，3}，A={1，2}，则∁UA={3}．
考点： 补集及其运算．
专题： 集合．
分析： 直接利用补集的定义写出结果即可．
解答： 解：全集U={1，2，3}，A={1，2}，则∁UA={3}．
故答案为：{3}．
点评： 本题考查结合的基本运算，基本知识的考查．
12．（5分）函数的定义域是 ．
考点： 集合的包含关系判断及应用．
专题： 集合．
分析： 由A={x|x＞1}，B=（a，+∞），且A⊆B，知a≤1．
解答： 解：∵A={x|x＞1}，B=（a，+∞），
且A⊆B，
∴a≤1，
故答案为：（﹣∞，1]．
点评： 本题考查集合的包含条件的应用，解题时要认真审题，注意不等式的性质的应用．
14．（5分）设集合A={1，3}，B={x|x⊆A}，则A∈B（选符号“∈、⊆、⊇”中的一个填空）
考点： 集合的包含关系判断及应用．
专题： 集合．
分析： 求出集合B，然后判断两个集合的关系．
解答： 解：集合A={1，3}，B={x|x⊆A}={∅，{1}，{3}{1，3}}，
显然集合A={1，3}是集合B的一个元素，
即A∈B．
故答案为：∈．
点评： 本题考查元素与集合的关系，集合的求法，考查计算能力．
15．（5分）给出下列说法：
①函数y=与y=x是同一函数；
②空集是任何集合的真子集；
③集合{y|y=x2+1}与集合{（x，y）|y=x2+1}不相等；
④集合{x∈N|x=，a∈N*}中只有四个元素；
其中正确答案的序号是④．
考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 简易逻辑．
分析： 直接利用函数的定义域与对应法则是否相同判断①的正误；空集的性质判断②的正误；集合的属性判断③的正误；求解集合看元素的多少判断④的正误．
解答： 解：对于①，函数y=与y=x，两个函数的定义域相同，对应法则不相同，不是同一函数，所以①不正确；
对于②，空集是任何非空集合的真子集，所以②不正确；
对于③，集合{y|y=x2+1}与集合{（x，y）|y=x2+1}不相等显然不正确，第一个集合是函数的值域是数集，第二个集合是点的坐标，是点的集合，两个集合元素属性不相同，不是相同的集合，所以③不正确；
对于④，集合{x∈N|x=，a∈N*}={1，2，3，6}中只有四个元素，所以④正确；
正确答案的序号是：④．
点评： 本题考查命题的真假的判断与应用，考查函数的定义域，空集的性质，集合相等等知识，考查基本知识的应用．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax﹣2=0}，若A∪B=A，求实数a的值所组成的集合．
考点： 集合关系中的参数取值问题．
专题： 计算题．
分析： 由条件可得B⊆A，分a=0和a≠0，分别求出B，再由B⊆A，求得a的值，即可得到实数a的值所组成的集合．
解答： 解：A={1，2}，由A∪B=A得：B⊆A．﹣﹣﹣﹣（3分）
①若a=0，则B=∅，满足题意．﹣﹣﹣﹣（6分）
②若a≠0，则，由B⊆A得：，
∴a=1或a=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
∴a的值所组成的集合为{0，1，2}．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
点评： 本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
17．（12分）设函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=的定义域为B，求A∩B，A∪B，∁RB．
考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 集合．
分析： 求出f（x）与g（x）的定义域确定出A与B，找出A与B的交集，并集，求出B的补集即可．
解答： 解：由f（x）=，得到﹣x2﹣4x+5≥0，即x2+4x﹣5≤0，
解得：﹣5≤x≤1，即A=，
由g（x）=，得到4﹣x2≥0，且x﹣1≠0，
解得：﹣2≤x≤2，且x≠1，即B=，
则A∩B=，∁RB=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）∪{1}．
点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
18．（12分）设集合A={x|（x﹣3）（x﹣a）=0，a∈R}，B={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，求A∪B，A∩B．
考点： 交集及其运算；并集及其运算．
专题： 计算题．
分析： 首先化简集合B，然后根据集合B分类讨论a的取值，再根据交集和并集的定义求得答案．
解答： 解：由B={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，得B={4，1}
当a=3时，A∪B={1，3，4}，A∩B=∅；
当a=1时，A∪B={1，3，4}，A∩B={1}；
当a=4时，A∪B={1，3，4}，A∩B={4}；
当a≠1，且a≠3，且a≠4时，A∪B={1，3，4，a}，A∩B=∅；
点评： 本题考查集合间的交、并、补的混合运算，这类题目一般与不等式、方程联系，难度不大，注意正确求解与分析集合间的关系即可．
19．（12分）已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）﹣f（x）=2x．
（1）求f（x）；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
考点： 二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．
专题： 计算题．
分析： （1）设f（x）=ax2+bx+c，则f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2ax+a+b，根据对应项的系数相等可分别求a，b，c．
（2）对函数进行配方，结合二次函数在上的单调性可分别求解函数的最值．
解答： 解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，
则f（x+1）﹣f（x）=a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2ax+a+b
∴由题恒成立
∴
∴f（x）=x2﹣x+1
（2）f（x）=x2﹣x+1=在单调递减，在单调递增
∴，f（x）max=f（﹣1）=3
点评： 本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，及二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意函数在所给区间上的单调性，一定不能直接把区间的端点值代入当作函数的最值．
20．（13分）已知集合A={x|ax2+bx+1=0，a∈R，b∈R}，求：
（1）当b=2时，A中至多只有一个元素，求a的取值范围；
（2）当b=﹣2时，A中至少有一个元素，求a的取值范围；
（3）当a、b满足什么条件时，集合A为非空集合．
考点： 函数的零点；元素与集合关系的判断．
专题： 计算题；函数的性质及应用；集合．
分析： （1）A为空集，表示方程无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，若A中只有一个元素，
则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）若A中只有一个元素，表示方程为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值，以及两个不同的实根，利用判别式大于0，即可得到．
（3）若集合A为空集，求出a的范围，再求补集即可得到答案．
解答： 解：（1）若A是空集，
则方程ax2+2x+1=0无解，
此时△=4﹣4a＜0即a＞1，
若A中只有一个元素，
则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，
当a=0时方程为一元一次方程，满足条件，
当a≠0，此时△=4﹣4a=0，解得：a=1．
∴a=0或a=1．
则a的取值范围是：a=0或a≥1；
（2）当b=﹣2时，A中至少有一个元素，
即ax2﹣2x+1=0有且只有一个实根和两个不同的实根，
则有a=0或a≠0，△=0或a≠0，△＞0，
即有a=0，或a=1或a≠0且a＜1．
则a的取值范围是：a=0或a≤1；
（3）若集合A为空集合，
则ax2+bx+1=0无实数解，
即有a=0，b=0，或a≠0，△＜0．
即有a=0，且b=0，或b2＜4a，
故当a、b满足a≠0或b≠0或a≠0时，b2≥4a，时，集合A为非空集合．
点评： 本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程根的情况，是解答本题的关键．
21．（14分）已知抛物y=x2﹣2mx﹣（m2+2m+1）
（1）求证：不论m取何值，抛物线必与x轴交于两点；
（2）若函数的定义域为{x|﹣1≤x≤1}，求函数的值域．
考点： 函数的零点；函数的值域．
专题： 计算题；证明题；分类讨论；函数的性质及应用．
分析： （1）由判别式化简配方，即可得证；
（2）求出对称轴x=m，讨论当m≤﹣1时，当m≥1时，当﹣1＜m＜0时，当0≤m＜1，区间和对称轴的关系，即可得到值域．
解答： （1）证明：由于y=x2﹣2mx﹣（m2+2m+1），
则判别式△=4m2+4（m2+2m+1）=4（2m2+2m+1）
=8（m+）2+2＞0，
则不论m取何值，抛物线必与x轴交于两点；
（2）解：函数f（x）的定义域为{x|﹣1≤x≤1}，
对称轴x=m，
当m≤﹣1时，在对称轴的右边，为增区间，
则函数的值域为即有；
当﹣1＜m＜1时，f（m）最小，且为﹣2m2﹣2m﹣1，
若m=0则f（﹣1）=f（1）=0，则值域为；
若0＜m＜1，则f（﹣1）＞f（1），则值域为；
若﹣1＜m＜0时，则f（﹣1）＜f（1），则值域为；
当m≥1时，在对称轴的左边，为减区间，
则函数的值域为即有．
综上，当m≤﹣1时，值域为；
当0≤m＜1，值域为；
当﹣1＜m＜0时，值域为；
当m≥1时值域为．
点评： 本题考查函数的值域，考查二次函数在闭区间上的值域，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．下载本文
