注意事项：

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)

1．已知二次函数y=a(x+1)2+b(a≠0)有最大值1，则a、b的大小关系为（  ）

A．a>b    B．a2．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）

A．对角线互相平分    B．对角线相等

C．对角线平分一组对角    D．对角线互相垂直

3．如图，在中，点D为AC边上一点，则CD的长为（    ）

A．1    B．    C．2    D．

4．在半径为3cm的⊙O中，若弦AB＝3，则弦AB所对的圆周角的度数为（　　）

A．30°    B．45°    C．30°或150°    D．45°或135°

5．在△中，∠，如果，，那么cos的值为（  ）

A．    B．

C．    D．

6．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（    ）

A．3    B．5    C．6    D．8

7．如果将抛物线y＝x2向上平移1个单位，那么所得抛物线对应的函数关系式是（　　）

A．y＝x2+1    B．y＝x2﹣1    C．y＝（x+1）2    D．y＝（x﹣1）2

8．如图，的半径等于，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离等于（  ）

A．    B．    C．    D．

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，CD是斜边AB上的高，则cos∠BCD的值为(　　)

A．    B．    C．    D．

10．如图，某物体由上下两个圆锥组成，其轴截面中，，.若下部圆锥的侧面积为1，则上部圆锥的侧面积为（   ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题(每小题3分,共24分)

11．如图，已知等边的边长为，顶点在轴正半轴上，将折叠，使点落在轴上的点处，折痕为.当是直角三角形时，点的坐标为__________．

12．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝3，AB＝5，OD⊥BC于点D，则OD的长为_____．

13．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：其中正确结论有_____．

①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a；⑤b＜c．

14．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________．

15．如图，的对角线交于O，点E为DC中点，AC=10cm，△OCE的周长为18cm，则的周长为____________．

16．某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“•青春梦”演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是_____．

17．如图，是的直径，点在上，且，垂足为，，，则__________．

18．如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为_____．

三、解答题(共66分)

19．（10分）如图，在中，， 点是边上一点，连接，以为边作等边.

如图1，若求等边的边长;

如图2，点在边上移动过程中，连接，取的中点，连接，过点作于点.

①求证:；

②如图3，将沿翻折得，连接，直接写出的最小值.

20．（6分）建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成.由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方.

（1）问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？

（2）在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？

21．（6分）我市某旅行社为吸引我市市民组团去长白山风景区旅游，推出了如下的收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为800元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于650元，某单位组织员工去长白山风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用21000元，请问该单位这次共有多少员工去长白山风景区旅游？

22．（8分）在△ABC中，∠C＝90°．

（1）已知∠A＝30°，BC＝2，求AC、AB的长；

（2）己知tanA＝，AB＝6，求AC、BC的长．

23．（8分）女本柔弱，为母则刚，说的是母亲对子女无私的爱，母爱伟大，值此母亲节来临之际，某花店推出一款康乃馨花束，经过近几年的市场调研发现，该花束在母亲节的销售量（束）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系，已知该花束的成本是每束100元．

（1）求出关于的函数关系式（不要求写的取值范围）；

（2）设该花束在母亲节盈利为元，写出关于的函数关系式：并求出当售价定为多少元时，利润最大？最大值是多少？

（3）花店开拓新的进货渠道，以降低成本．预计在今后的销售中，母亲节期间该花束的销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为200元，且销售利润不低于9900元的销售目标，该花束每束的成本应不超过多少元．

24．（8分）如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，与边AC交于E点，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于M点．

（1）求证：点M是CF的中点；

（2）若E是的中点，BC＝a，

①求的弧长；

②求的值．

25．（10分）定义：已知点是三角形边上的一点（顶点除外），若它到三角形一条边的距离等于它到三角形的一个顶点的距离，则我们把点叫做该三角形的等距点．

（1）如图1：中，，，，在斜边上，且点是的等距点，试求的长；

（2）如图2，中，，点在边上，，为中点，且．

①求证：的外接圆圆心是的等距点；②求的值．

26．（10分）为了创建文明城市，增弘环保意识，某班随机抽取了8名学生（分别为A，B，C，D，E，F，G，H），进行垃圾分类投放检测，检测结果如下表，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，

学生

（2）为进一步了解学生垃圾分类的投放情况，从检测结果是“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取2名进行访谈，求抽到学生A的概率．

参

一、选择题(每小题3分,共30分)

1、B

【解析】根据二次函数的性质得到a＜0，b=1，然后对各选项进行判断．

【详解】∵二次函数y=a（x-1）2+b（a≠0）有最大值1，

∴a＜0，b=1．

∴a故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值

2、B

【分析】根据正方形和菱形的性质逐项分析可得解.

【详解】根据正方形对角线的性质：平分、相等、垂直；菱形对角线的性质：平分、垂直，

故选B．

【点睛】

考点：1.菱形的性质；2.正方形的性质．

3、C

【解析】根据∠DBC=∠A，∠C=∠C，判定△BCD∽△ACB，根据相似三角形对应边的比相等得到代入求值即可.

【详解】∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，

∴△BCD∽△ACB，

∴ 

∴ 

∴CD=2.

故选:C.

【点睛】

主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

4、D

【分析】根据题意画出图形，连接OA和OB，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可．

【详解】解：如图所示，

连接OA，OB，

则OA＝OB＝3，

∵AB＝3，

∴OA2+OB2＝AB2，

∴∠AOB＝90°，

∴劣弧AB的度数是90°，优弧AB的度数是360°﹣90°＝270°，

∴弦AB对的圆周角的度数是45°或135°，

故选：D．

【点睛】

此题主要考查圆周角的求解，解题的关键是根据图形求出圆心角，再得到圆周角的度数.

5、A

【分析】先利用勾股定理求出AB的长度，从而可求.

【详解】∵∠，，

∴ 

∴ 

故选A

【点睛】

本题主要考查勾股定理及余弦的定义，掌握余弦的定义是解题的关键.

6、B

【分析】根据点（1，3）在反比例函数图象下方，点（3，2）在反比例函数图象上方可得出k的取值范围，即可得答案.

【详解】∵点（1，3）在反比例函数图象下方，

∴k>3，

∵点（3，2）在反比例函数图象上方，

∴<2，即k<6，

∴3故选：B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy是解题关键.

7、A

【分析】根据向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．

【详解】解：∵抛物线y＝x2向上平移1个单位后的顶点坐标为（0，1），

∴所得抛物线对应的函数关系式是y＝x2+1．

故选：A．

【点睛】

本题考查二次函数的平移，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.

8、C

【分析】过O作OD⊥AB于D,根据等腰三角形三线合一得∠BOD=60°，由30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可.

【详解】解：过O作OD⊥AB，垂足为D,

∵OA=OB,

∴∠BOD=∠AOB=×120°=60°,

∴∠B=30°,

∴OD=OB=×4=2.

即圆心到弦的距离等于2.

故选：C.

【点睛】

本题考查圆的基本性质及等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，解直角三角形是解答此题的关键.

9、B

【分析】根据同角的余角相等得∠BCD=∠A,利用三角函数即可解题.

【详解】解：在中，

∵，,是斜边上的高，

∴∠BCD=∠A（同角的余角相等）,

∴=== ,

故选B.

【点睛】

本题考查了三角函数的余弦值,属于简单题,利用同角的余角相等得∠BCD=∠A是解题关键.

10、C

【分析】先证明△ABD为等边三角形，得到AB=AD=BD，∠A=∠ABD=∠ADB=60°，由求出∠CBD=∠CDB=30°，从而求出BC和BD的比值，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到上部圆锥的侧面积．

【详解】解：∵∠A=60°，AB=AD，

∴△ABD为等边三角形，

∴AB=AD=BD，∠A=∠ABD=∠ADB=60°，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBD=30°，

而CB=CD，

∴△CBD为底角为30°的等腰三角形，

过点C作CE⊥BD于点E，

易得BD=2BE，

∵∠CBD=30°，

∴BE：BC=：2，

∴BD：BC=：2=：1，即AB：BC=：1，

∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，

∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，

∴下面圆锥的侧面积=．

故选：C．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．

二、填空题(每小题3分,共24分)

11、，

【解析】当A′E∥x轴时，△A′EO是直角三角形，可根据∠A′OE的度数用O′A表示出OE和A′E，由于A′E＝AE，且A′E＋OE＝OA＝，由此可求出OA′的长，也就能求出A′E的长,据此可求出A′的坐标；当∠A’EO=90°时，△A′EO是直角三角形，设OE=x,则AE=A’E=-x,根据三角函数的关系列出方程即可求解x,从而求出A’的坐标.

【详解】当A′E∥x轴时，△OA′E是直角三角形，

故∠A′OE＝60°，A′E＝AE，

设A′的坐标为（0，b），

∴AE＝A′E＝A’Otan60°=b，OE＝2b，

b＋2b＝2＋，

∴b＝1，A′的坐标是（0，1）；

当∠A’EO=90°时，△A′EO是直角三角形，

设OE=x,则AE=A’E=-x,

∵∠AOB=60°，∴A’E=OEtan60°=x=-x

解得x=

∴A’O=2OE=

∴A’（0，）

综上，A’的坐标为，.

【点睛】

此题主要考查图形与坐标，解题的关键是熟知等边三角形的性质、三角函数的应用.

12、1

【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AC=4，再根据垂径定理得到BD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．

【详解】∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴AC＝＝4，

∵OD⊥BC，

∴BD＝CD，

而OB＝OA，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD＝AC＝×4＝1．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了圆周角定理的推论及垂径定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”，及垂径定理是关键．

13、①③④．

【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．

【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，对称轴为x=1＞0，a、b异号，故b＜0，与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，即﹣2＜c＜﹣1，所以abc＞0，故①正确；

抛物线x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x=1，因此与x轴的另一个交点为（3，0），当x=4时，y=16a+4b+c＞0，所以②不正确；

由对称轴为x=1，与y轴交点在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，因此顶点的纵坐标小于﹣1，即＜﹣1，也就是4ac﹣b2＜﹣4a，又a＞0，所以4ac﹣b2＜8a是正确的，故③是正确的；

由题意可得，方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=﹣1，x2=3，又x1•x2=，即c=﹣3a，而﹣2＜c＜﹣1，也就是﹣2＜﹣3a＜﹣1，因此＜a＜，故④正确；

抛物线过（﹣1，0）点，所以a﹣b+c=0，即a=b﹣c，又a＞0，即b﹣c＞0，得b＞c，所以⑤不正确，

综上所述，正确的结论有三个：①③④，

故答案为：①③④．

【点评】

本题考查了二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．

14、且

【分析】根据分母不等于0，且被开方数是非负数列式求解即可.

【详解】由题意得

x-1≥0且x-2≠0，

解得

且

故答案为：且

【点睛】

本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．

15、

【分析】先利用平行四边形的性质得AO=OC,再利用三角形中位线定理得出BC=2OE，然后根据AC=10cm，△OCE的周长为18cm，可求得BC+CD，即可求得的周长．

【详解】∵的对角线交于O，点E为DC中点，

∴EO是△DBC的中位线，AO=CO，CD=2CE，

∴BC=2OE，

∵AC=10cm，

∴CO=5cm，

∵△OCE的周长为18cm，

∴EO+CE=18−5=13(cm)，

∴BC+CD=26cm，

∴▱ABCD的周长是52cm.

故答案为：52cm.

【点睛】

本题主要考查平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解答本题的关键．

16、

【解析】结合题意，画树状图进行计算，即可得到答案.

【详解】画树状图为：

共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，

∴恰好选中一男一女的概率是，

故答案为：．

【点睛】

本题考查概率，解题的关键是熟练掌握树状图法求概率.

17、2

【分析】先连接OC，在Rt△ODC中，根据勾股定理得出OC的长，即可求得答案．

【详解】连接OC，如图，

∵CD=4，OD=3，，

在Rt△ODC中，

∴，

∵，

∴．

故答案为：．

【点睛】

此题考查了圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

18、﹣1＜x＜1．

【分析】根据图象直接可以得出答案

【详解】

如图，从二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象中可以看出

函数值小于0时x的取值范围为：﹣1＜x＜1

【点睛】

此题重点考察学生对二次函数图象的理解，抓住图象性质是解题的关键

三、解答题(共66分)

19、（1）；（2）证明见解析；（3）最小值为

【分析】(1)过C做CF⊥AB，垂足为F，由题意可得∠B=30°，用正切函数可求CF的长，再用正弦函数即可求解；

(2) 如图（2）1：延长BC到G使CG=BC，易得△CGE≌△CAD，可得CF∥GE，得∠CFA=90°，CF=GE再证DG=AD，得CF=DG，可得四边形DGFC是矩形即可；

（3）如图（2）2：设ED与AC相交于G，连接FG,先证△EDF≌△F D'B得BD'=DE，当DE最大时最小，然后求解即可；

【详解】解：（1）如图：过C做CF⊥AB，垂足为F，

∵，

∴∠A=∠B=30°，BF=3

∵tan∠B= 

∴CF=

又∵sin∠CDB= sin45°= 

∴DC=

∴等边的边长为；

①如图（2）1：延长BC到G使CG=BC

∵∠ACB=120°

∴∠GCE=180°-120°=60°，∠A=∠B=30°

又∵∠ACB=60°

∴∠GCE=∠ ACD

又∵CE=CD

∴△CGE≌△CAD（SAS）

∴∠G=∠ A=30°，GE=AD

又∵EF=FB

∴GE∥FC, GE=FC,

∴∠BCF=∠G=30°

∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°

∴CF∥DG

∵∠ A=30°

∴GD=AD,

∴CF=DG

∴四边形DGFC是平行四边形，

又∵∠ACF=90°

∴四边形DGFC是矩形，

∴

②）如图（2）2：设ED与AC相交于G，连接FG

由题意得：EF=BF, ∠EFD=∠D'FB 

∴△EDF≌△F D'B

∴BD'=DE

∴BD'=CD

∴当BD'取最小值时，有最小值

当CD⊥AB时，BD'min=AC,

设CDmin=a，则AC=BC=2a，AB=2a

 的最小值为；

【点睛】

本题属于几何综合题，考查了矩形的判定、全等三角形的判定、直角三角形的性质等知识点；但本题知识点比较隐蔽，正确做出辅助线，发现所考查的知识点是解答本题的关键.

20、（1）甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为0.42万立方和0.38万立方.（2）乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务.

【解析】分析: （1）设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方，根据“甲乙两队合作150天完成土方量120万立方，甲队施工110天、乙队施工150天完成土方量103.2万立方”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设乙队平均每天的施工土方量比原来提高a万立方才能保证按时完成任务，根据完成工作的总量=甲队完成的土方量+乙队完成的土方量，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论.

详解:

（1）设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方.根据题意，得

解之，得 

答：甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为0.42万立方和0.38万立方.

（2）设乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高z万立方.根据题意，得

40（0.38+z）+110(0.38+z+0.42≥120，

解之，得z≥0.112，

答：乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务.

点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于a的一元一次不等式.

21、共有30名员工去旅游．

【分析】利用总价＝单价×数量求出人数时25时的总费用，由该费用小于21000可得出去旅游的人数多于25人，设该单位去旅游人数为x人，则人均费用为800﹣20(x﹣25)元，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再代入人均费用中去验证，取使人均费用大于650的值即可得出结论．

【详解】解：∵800×25＝20000＜21000，

∴人数超过25人．

设共有x名员工去旅游，则人均费用为800﹣20(x﹣25)元，

依题意，得：x[800﹣20(x﹣25)]＝21000，

解得：x1＝35，x2＝30，

∵当x＝30时，800﹣20×(30﹣25)＝700＞650，

当x＝35时，800﹣20×(35﹣25)＝600＜650，

∴x＝35不符合题意，舍去．

答：共有30名员工去旅游．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

22、（1）AB＝4，AC＝2；（2）BC＝2，AC＝1．

【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论；

（2）解直角三角形即可得到结论．

【详解】（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，

∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2；

（2）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AB＝6，

∴＝，

∴设BC＝k，AC＝4k，

∴AB＝＝3k＝6，

∴k＝2，

∴BC＝k＝2，AC＝4k＝1．

【点睛】

本题考查了含30°角的直角三角形，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．

23、（1）；（2），240，9800；（3）1．

【分析】（1）根据题目中所给的图象，确定一次函数图象经过点，，再利用待定系数法求出关于的函数关系式即可；

（2）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出W与x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；

(3)根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解得该花束每束的成本．

【详解】解：（1）设一次函数关系式为，

由题图知该函数图象过点，，

则，

解得，

∴关于的函数关系式为

（2）由题知，

∴当时，有最大值，最大值为9800元；

（3）设该花束每束的成本为元，

由题意知，

解得．

答：该花束每束的成本应不超过1元．

【点睛】

本题考查二次函数的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意,找出所求问题 需要的条件,利用函数和数形结合的思想解答．

24、（1）见解析；（2）①πa；②＝1．

【分析】（1）由切线的性质可得∠ACB＝∠ODB＝90°，由平行线的性质可得OM⊥CF，由垂径定理可得结论；

（2）①由题意可证△BCD是等边三角形，可得∠B＝60°，由直角三角形的性质可得AB＝2a，AC＝a，AD＝a，通过证明△ADO∽△ACB，可得，可求DO的长，由弧长公式可求解；

②由直角三角形的性质可求AO＝a，可得AE的长，即可求解．

【详解】证明：（1）∵⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，

∴∠ACB＝∠ODB＝90°，

∵CF∥AB，

∴∠OMF＝∠ODB＝90°，

∴OM⊥CF，且OM过圆心O，

∴点M是CF的中点；

（2）①连接CD，DF，OF，

∵⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，

∴BD＝BC，

∵E是的中点，

∴，

∴∠DCE＝∠FCE，

∵AB∥CF，

∴∠A＝∠ECF＝∠ACD，

∴AD＝CD，

∵∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，

∴∠B＝∠BCD，

∴BD＝CD，且BD＝BC，

∴BD＝BC＝CD，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∴∠A＝30°＝∠ECF＝∠ACD，

∴∠DCF＝60°，

∴∠DOF＝120°，

∵BC＝a，∠A＝30°，

∴AB＝2a，AC＝a，

∴AD＝a，

∵∠A＝∠A，∠ADO＝∠ACB＝90°，

∴△ADO∽△ACB，

∴，

∴

∴DO＝a，

∴的弧长＝＝πa；

②∵∠A＝30°，OD⊥AB，

∴AO＝2DO＝a，

∴AE＝AO﹣OE＝﹣a＝a，

∴＝1．

【点睛】

本题是相似形综合题，考查了圆的有关性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，弧长公式，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．

25、（1）或 ； （2）①证明见解析, ②．

【分析】（1）根据三角形的等距点的定义得出OB=OE或OA=OF，利用相似三角形，表达出对应边，列出方程求解即可；

（2）①由△CPD为直角三角形，作出外接圆，通过平行线分线段成比例得出DP∥OB，进而证明△CBO≌△PBO，最后推出OP为点O到AB的距离，从而证明点O是△ABC的等距点；

（2）求相当于求，由①可得△APO为直角三角，通过勾股定理计算出BC的长度，从而求出．

【详解】解：（1）如图所示，作OF⊥BC于点F，作OE⊥AC于点E，

则△OBF∽△ABC，

∴

∵，，由勾股定理可得AB=5，

设OB=x，则

∴，

∵点是的等距点，

若OB=OE，

∴

解得：

若OA=OF，OA=5-x

∴，解得

故OB的值为或 

（2） ①证明：∵△CDP是直角三角形，所以取CD中点O，作出△CDP的外接圆，连接OP，OB

设圆O的半径为r，则DC=2r，

∵D是AC中点，

∴OA=3r

∴，

又∵PA=2PB，

∴AB=3PB

∴

∴

∴∠ODP=∠COB，∠OPD=∠POB

又∵∠ODP=∠OPD，

∴∠COB=∠POB，

在△CBO与△PBO中， ，

∴△CBO≌△PBO（SAS）

∴∠OCB=∠OPB=90°，

∴OP⊥AB，

即OP为点O到AB的距离，

又∵OP=OC，

∴△CPD的外接圆圆心O是△ABC的等距点

②由①可知，△OPA为直角三角形，且∠PDC=∠BOC，OC=OP=r

∵在Rt△OPA中，OA=3r,

∴，

∴

∴在Rt△ABC中，AC=4r，，

∴，

∴

【点睛】

本题考查了几何中的新定义问题，涉及了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆的性质及三角函数的内容，范围较大，综合性较强，解题的关键是明确题中的新定义，并灵活根据几何知识作出解答．

26、（1）有5位同学正确投放了至少三类垃圾，他们分别是B、D、E、G、H同学；（2）．

【分析】（1）从表格中，找出正确投放了至少三类垃圾的同学即可；

（2））“有害垃圾”投放错误的学生有A、C、D、E、G同学，用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“有A同学”的结果数，进而求出概率．

【详解】解：（1）有5位同学正确投放了至少三类垃圾，他们分别是B、D、E、G、H同学，

（2）“有害垃圾”投放错误的学生有A、C、D、E、G同学，从中抽出2人所有可能出现的结果如下：

共有20种可能出现的结果数，其中抽到A的有8种，

因此，抽到学生A的概率为．

【点睛】

本题考查的知识点是概率，理解题意，利用列表法求解比较简单．下载本文