一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个选项是正确的，每小题2分，共20分）
1．若＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
4．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．朝上的点数是5的概率
B．朝上的点数是奇数的概率
C．朝上的点数是大于2的概率
D．朝上的点数是3的倍数的概率
5．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+x+1＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣1＝0 D．x2﹣2x+1＝0
6．已知反比例函数y＝﹣，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象分布在第一、三象限
B．点（2，3）在该函数图象上
C．y随x的增大而增大
D．该图象关于原点成中心对称
7．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（4，2），B（5，0），以O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1）
C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）
8．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
9．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根；④a+b＝0．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）方程x（x+3）＝0的解是 ．
12．（3分）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m．
13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是 ．
14．（3分）如图，公路AC与BC互相垂直，垂足为点C，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.6km，则点M与C之间的距离是 km．
15．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+6x+m2﹣7m+12＝0有一个根是0，那么m的值为 ．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，∠A＝30°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，并延长至其倍（即CE＝CD），过点E作EF⊥AB于点F，当AD＝6，BF＝3，EF＝时，边BC的长是 ．
三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分）
17．（6分）计算：4sin260°+cos45°﹣2tan60°•tan30°．
18．（8分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
19．（8分）如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F（点E，F在正方形ABCD的外部），满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝4，sin∠AFE＝，则四边形AECF的面积是 ．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）某地区2018年投入教育经费2000万元，2020年投入教育经费2880万元．
（1）求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2021年该地区将投入教育经费多少万元．
21．（8分）如图，小亮在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时他距地面的高度AE为21米，电梯再上升9米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号）
五、（本题10分）
22．（10分）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y＝（x＞0）交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为5cm和2cm，直尺的宽度为2cm，OB＝2cm．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为1cm）
（1）点A的坐标为 ；
（2）求双曲线y＝的解析式；
（3）若经过A，C两点的直线解析式为y＝mx+b，请直接写出关于x的不等式mx＜0的解集．
六、（本题10分)
23．（10分）某厂为满足市场需求，改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个，如果每增加一条生产线，每条生产线每天就会少生产20个口罩，设增加x条生产线（x为正整数），每条生产线每天可生产口罩y个．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量取值范围；
（2）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出当x为多少时，每天生产的口罩数量w最多？最多为多少个？
（3）由于口罩供不应求，所以每天生产的口罩数量不能低于6000个，请直接写出需要增加的生产线x条的取值范围．
七、（本题12分)
24．（12分）在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝2，点E是边AD上的一个动点，连接BE，以BE为一边在其左上方作矩形BEFG，过点F作直线AD的垂线，垂足为点H，连接DF．
（1）当BE＝EF时．
①求证：FH＝AE；
②当△DEF的面积是时，求线段DE的长；
（2）如图2，当BE＝EF，且射线FE经过CD的中点时，请直接写出线段FH长．
八、（本题12分）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；
（3）点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P的纵坐标为2时，过点P作直线PQ∥x轴，点M为直线PQ上的一个动点，过点M作MN⊥x轴于点N，在线段ON上任取一点K，当有且只有一个点K满足∠FKM＝135°时，请直接写出此时线段ON的长．
2020-2021学年辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个选项是正确的，每小题2分，共20分）
1．若＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设＝＝t，则可用t表示a、b得到a＝3t，b＝2t，然后把它们代入分式中约分即可．
【解答】解：设＝＝t，则a＝3t，b＝2t，
所以＝＝．
故选：C．
2．如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看外边是一个矩形，矩形中间有一条纵向的虚线，
故选：C．
3．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；
C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；
D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．
故选：B．
4．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．朝上的点数是5的概率
B．朝上的点数是奇数的概率
C．朝上的点数是大于2的概率
D．朝上的点数是3的倍数的概率
【分析】随机掷一个均匀正六面体骰子，每一个面朝上的概率为，约为16.67%，根据频率估计概率实验统计的频率，随着实验次数的增加，频率越稳定在35%左右，因此可以判断各选项．
【解答】解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在35%左右，
A的概率为1÷6×100%≈16.67%，
B的概率为3÷6×100%＝50%，
C的概率为4÷6×100%≈66.67%，
D的概率为2÷6×100%≈33.33%，
即朝上的点数是3的倍数的概率与之最接近，
故选：D．
5．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+x+1＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣1＝0 D．x2﹣2x+1＝0
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝b2﹣4ac，逐一分析四个选项方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．
【解答】解：A、在方程x2+x+1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∴该方程没有实数根；
B、在方程x2+x﹣1＝0中，△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴该方程有两个不相同的实数根；
C、在方程x2﹣2x﹣1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴该方程有两个不相同的实数根；
D、在方程x2﹣2x+1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选：A．
6．已知反比例函数y＝﹣，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象分布在第一、三象限
B．点（2，3）在该函数图象上
C．y随x的增大而增大
D．该图象关于原点成中心对称
【分析】根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，再逐个判断即可．
【解答】解：A．∵反比例函数y＝﹣中﹣6＜0，
∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；
B．把（2，3）代入y＝﹣得：左边＝3，右边＝﹣3，左边≠右边，
所以点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；
C．∵反比例函数y＝﹣中﹣6＜0，
∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
D．反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；
故选：D．
7．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（4，2），B（5，0），以O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，﹣1）
C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：点A为（4，2），以O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，
则点A的对应点A1的坐标为（4×，2×）或（﹣4×，﹣2×），即（2，1）或（﹣2，﹣1），
故选：D．
8．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
【分析】利用函数图象平移即可求解．
【解答】解：函数y＝ax2+bx+c向上平移个单位得到y′＝ax2+bx+c+，
而y′顶点的纵坐标为﹣2+＝﹣，
故y′＝ax2+bx+c+与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧，
故ax2+bx+c+＝0有两个同号不相等的实数根，
故选：D．
9．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴，A正确；
∴，B错误；
∴，C错误；
∴OA：OC＝3：2，D错误；
故选：A．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根；④a+b＝0．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号即可判断；
②根据抛物线与x轴的交点即可判断；
③根据二次函数的对称性即可判断；
④由对称轴求出b＝﹣a即可判断．
【解答】解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x＝，
∴﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0．
故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故②正确；
③∵对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个，
故③正确；
④∵由①中知b＝﹣a，
∴a+b＝0，
故④正确；
综上所述，正确的结论是②③④共3个．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）方程x（x+3）＝0的解是 0或﹣3 ．
【分析】推出方程x＝0，x+3＝0，求出方程的解即可．
【解答】解：x（x+3）＝0，
∴x＝0，x+3＝0，
∴方程的解是x1＝0，x2＝﹣3．
故答案为：0或﹣3．
12．（3分）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m．
【分析】利用中心投影的特点得到AB∥OP，则可判断△ABC∽△OPC，然后利用相似比求OP的长．
【解答】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴＝，即＝，
∴OP＝（m）．
故答案为．
13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是 ．
【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据正弦的定义求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB＝＝13，
∴sinB＝＝．
故答案为．
14．（3分）如图，公路AC与BC互相垂直，垂足为点C，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.6km，则点M与C之间的距离是 2.3 km．
【分析】利用直角三角形的性质可得CM＝AB，从而可得答案．
【解答】解：∵公路AC与BC互相垂直，
∴∠ACB＝90°，
∵M是AB中点，
∴CM＝AB＝4.6km＝2.3km，
故答案为：2.3．
15．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+6x+m2﹣7m+12＝0有一个根是0，那么m的值为 4 ．
【分析】先把x＝0代入（m﹣3）x2+6x+m2﹣7m+12＝0得m2﹣7m+12＝0，再解关于m的方程，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
【解答】解：把x＝0代入（m﹣3）x2+6x+m2﹣7m+12＝0得m2﹣7m+12＝0，
解得m1＝4，m2＝3，
∵m﹣3≠0，
∴m的值为4．
故答案为4．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，∠A＝30°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，并延长至其倍（即CE＝CD），过点E作EF⊥AB于点F，当AD＝6，BF＝3，EF＝时，边BC的长是 ．
【分析】由锐角三角函数可求∠DEC＝30°，通过证明△ADE∽△BDC，可得＝，由勾股定理可求AE的长，即可求解．
【解答】解：如图，连接BD，AE，DE，
∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°，并延长至其倍，
∴∠DCE＝90°，CD，
∴tan∠DEC＝，
∴∠DEC＝30°，
∴cos∠DEC＝＝，sin∠DEC＝，
∵AD＝AB，
∴，
∴，
又∵∠DEC＝∠DAB＝30°，
∴△DEC∽△DAB，
∴∠ADB＝∠EDC，，
∴∠ADE＝∠BDC，
∴△ADE∽△BDC，
∴＝，
∵AD＝AB，AD＝6，
∴AB＝9，
又∵BF＝3，
∴AF＝6，
∴AE＝＝＝，
∴BC＝AE＝，
故答案为：．
三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分）
17．（6分）计算：4sin260°+cos45°﹣2tan60°•tan30°．
【分析】根据特殊角的三角函数值和实数的运算法则即可求．
【解答】解；原式＝4×+×﹣2××
＝4×+1﹣2
＝2．
18．（8分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率＝＝．
19．（8分）如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F（点E，F在正方形ABCD的外部），满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝4，sin∠AFE＝，则四边形AECF的面积是 32 ．
【分析】（1）连接AC，根据正方形的性质即可证明四边形AECF是菱形；
（2）根据正方形ABCD的性质和AB＝4，sin∠AFE＝，可得AC＝4，EF＝8，进而可得菱形AECF的面积．
【解答】证明：（1）如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，
∵BE＝DF，
∴OB+BE＝OD+DF，
即OE＝OF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，AC⊥EF，
∴OA＝AB＝2，
∴AC＝4，
∵sin∠AFE＝＝，
∴＝，
∴AF＝2，
∴OF＝＝4，
∴EF＝8，
∴菱形AECF的面积＝AC•EF＝4×8＝32．
故答案为：32．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）某地区2018年投入教育经费2000万元，2020年投入教育经费2880万元．
（1）求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2021年该地区将投入教育经费多少万元．
【分析】（1）设2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，根据该地区2018年及2020年投入教育经费的金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据该地区2021年投入教育经费＝该地区2020年投入教育经费×（1+增长率），即可求出结论．
【解答】解：（1）设2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，
依题意得：2000（1+x）2＝2880，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为20%．
（2）2880×（1+20%）＝3456（万元）．
答：预计2021年该地区将投入教育经费3456万元．
21．（8分）如图，小亮在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为60°，此时他距地面的高度AE为21米，电梯再上升9米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为45°，求大楼BC的高度．（结果保留根号）
【分析】过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．求出EG和DH的长，在Rt△BDH中，求出BH，则可得出答案
【解答】解：过D作DH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G．
由已知得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°，AE＝21米，DE＝9米．
在Rt△CEG中，CG＝AE＝21米，tan∠CEG＝，
∴EG＝＝＝7（米）．
∴DH＝EG＝7米．
在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°，
∴BH＝DH＝7米．
∴BC＝CG+HG+BH＝CG+DE+BH＝21+9+7＝（30+7）米．
答：大楼BC的高度是（30+7）米．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y＝（x＞0）交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为5cm和2cm，直尺的宽度为2cm，OB＝2cm．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为1cm）
（1）点A的坐标为 （2，3） ；
（2）求双曲线y＝的解析式；
（3）若经过A，C两点的直线解析式为y＝mx+b，请直接写出关于x的不等式mx＜0的解集．
【分析】（1）由OB与AB的长，及A位于第一象限，确定出A的坐标；
（2）将A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值；
（3）由图象求得即可．
【解答】解：（1）由题意可知A（2，3），
故答案为（2，3）；
（2）将A点坐标代入y＝中，得：3＝，
∴k＝6，
∴双曲线的解析式为y＝；
（3）由图象可知，关于x的不等式mx＜0的解集是0＜x＜2或x＞4．
六、（本题10分)
23．（10分）某厂为满足市场需求，改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个，如果每增加一条生产线，每条生产线每天就会少生产20个口罩，设增加x条生产线（x为正整数），每条生产线每天可生产口罩y个．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量取值范围；
（2）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出当x为多少时，每天生产的口罩数量w最多？最多为多少个？
（3）由于口罩供不应求，所以每天生产的口罩数量不能低于6000个，请直接写出需要增加的生产线x条的取值范围．
【分析】（1）由题意可知该函数关系为一次函数，直接写出其解析式及自变量的取值范围即可；
（2）先根据题意写出关于x的二次函数，再将其配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
（3）生产线的条数乘以每条生产线生产的口罩数量＝6000，据此列出一元二次方程，求解并根据题意得出x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y＝500﹣20x；
故y与x之间的函数关系式为y＝500﹣20x（1≤x≤25，且x为正整数）；
（2）w＝（10+x）（500﹣20x）
＝﹣20x2+300x+5000
＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，
∵a＝﹣20＜0，开口向下，
∴当x＝7.5时，w最大，
又∵x为整数，
∴当x＝7或8时，w最大，最大值为6120．
答：当增加7或生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个；
（3）由题意得：
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
由（2）得：w＝﹣20x2+300x+5000，
∵a＝﹣20＜0，开口向下，
∴需要增加的生产线x条的取值范围是：5≤x≤10（x为正整数）．
七、（本题12分)
24．（12分）在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝2，点E是边AD上的一个动点，连接BE，以BE为一边在其左上方作矩形BEFG，过点F作直线AD的垂线，垂足为点H，连接DF．
（1）当BE＝EF时．
①求证：FH＝AE；
②当△DEF的面积是时，求线段DE的长；
（2）如图2，当BE＝EF，且射线FE经过CD的中点时，请直接写出线段FH长．
【分析】（1）①根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
②根据全等三角形的性质和三角形面积公式解答即可；
（3）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）①∵FH⊥AE，
∴∠FEH+∠HFE＝90°，
∵矩形BEFG，
∴∠FEH+∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠HFE，
在△FHE与△EAB中，
，
∴△FHE≌△EAB（AAS），
∴FH＝AE；
②∵△FHE≌△EAB，
∴AE＝FH，
∵AD＝6，
设CD＝x，AE＝6﹣x，
∵△DEF的面积＝，
可得：，
解得：，
即线段DE的长为或；
（2）∵FH⊥AE，
∴∠FEH+∠HFE＝90°，
∵矩形BEFG，
∴∠FEH+∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠HFE，
∴△FHE∽△EAB，
∴，
∵AB＝6，
∴，
∴HE＝2，
延长FE交DC于点Q，
∵Q是CD的中点，
∴DQ＝，
设FH为x，则AE＝x，
则DE＝6﹣x，
∵∠DEQ＝∠FEH，∠FHE＝∠QDE＝90°，
∴△EDQ∽△EHF，
∴，
即，
解得：，，
∴线段FH长为+1或﹣1．
八、（本题12分）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；
（3）点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P的纵坐标为2时，过点P作直线PQ∥x轴，点M为直线PQ上的一个动点，过点M作MN⊥x轴于点N，在线段ON上任取一点K，当有且只有一个点K满足∠FKM＝135°时，请直接写出此时线段ON的长．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）过点P作PG⊥x轴，交BC与G，先求出直线BC的解析式，设点P（p，﹣p2+2p+3），则点G坐标为（p，﹣p+3），可求PG的长，由平行线分线段成比例可得，利用二次函数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，连接FM，以FM为斜边，作等腰直角△FHM，当以H为圆心FH为半径作圆H，与x轴相切于K，此时有且只有一个点K满足∠FKM＝135°，设点H（x，y），由“AAS”可证△FHE≌△HMQ，可得HE＝QM＝y﹣3，HQ＝EF＝x﹣2，由勾股定理可求y的值，可求点M坐标，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过点P作PG⊥x轴，交BC于G，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，
∴点C（0，3），
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
设点P（p，﹣p2+2p+3），则点G坐标为（p，﹣p+3），
∴PG＝﹣p2+2p+3﹣（﹣p+3）＝﹣p2+3p，
∵PG∥OC，
∴＝＝，
∴当p＝时，的值有最大值，
∴点P（，）；
（3）当点M在点F的右侧，如图2，连接FM，以FM为斜边，作等腰直角△FHM，当以H为圆心FH为半径作圆H，与x轴相切于K，此时有且只有一个点K满足∠FKM＝135°，
连接HK，交PM于Q，延长CF交HK于E，则HK⊥x轴，
设点H（x，y），
∵点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，
∴点F（2，3），CF∥x轴，
∴CF∥PM，
∴HK⊥CF，HK⊥PM，
∴∠FEH＝∠HQM＝90°＝∠FHM，
∴∠FHE+∠QHM＝90°＝∠FHE+∠HFE，
∴∠QHM＝∠HFE，
又∵FH＝HM，
∴△FHE≌△HMQ（AAS），
∴HE＝QM＝y﹣3，HQ＝EF＝x﹣2，
∴y﹣2＝x﹣2，
∴x＝y，
∵FH2＝HE2+EF2，
∴y2＝（y﹣2）2+（y﹣3）2，
∴y＝2+5，
∴QM＝2+5﹣3＝2+2，
∴点M的坐标（4+7，2），
∵MN⊥x轴，
∴ON＝7+4，
当点M在点F的左侧，同理可求ON＝3+4，
综上所述：线段ON的长为7+4或3+4．下载本文
