知识点05  三角函数定义及同角三角函数

知识理解

一．任意角

(1)角的概念的推广

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．

②按终边位置不同分为象限角和轴线角．

(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．

(3)弧度制

①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．

③弧度与角度的换算：360°＝2π rad；180°＝π rad；1°＝ rad；1 rad＝度．

二．任意角的三角函数

1.定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)．

则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．

2.三角函数在每个象限的正负如下表：

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(2)商数关系：＝tan α.

四．同角三角函数基本关系式的变形

(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；

(2)tan α＝的变形公式：sin α＝cos_αtan_α；cos α＝.

考向一 角度制与弧度制的转换

【例1-1】（2020·全国课时练习）填表（弧度数用含的代数式表示），并在平面直角坐标系中作出角的终边.

【解析】如表，

对应的角的终边分别为图中的射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，OI.

【例1-2】（2020·全国课时练习）把下列各弧度化为角度.

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.

【解析】（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）.

【例1-3】（2019·全国高三专题练习）将－1485°改写成2kπ＋α(0≤α<π，k∈Z)的形式是(　　)

A．－8π＋B．－10π－

C．－8π＋D．－10π＋

【答案】D

【解析】﹣1485°＝﹣1800°+315°＝﹣10π+．故选D

【举一反三】

1．（2020·全国课时练习）把下列角度化成弧度：

（1）；   （2）；   （3）；   （4）.

【答案】（1）（2）（3）（4）

【解析】（1）；   （2）；

（3）；  （4）．

2．（2020·全国课时练习）将下列角度与弧度进行互化.

（1）20°；（2）－15°；（3）（4）－.

【答案】（1）20°＝；（2）－15°＝－；（3）＝105°；（4）－＝－396°.

【解析】（1）20°＝＝.   （2）－15°＝－＝－.

（3）＝×180°＝105°.   (4)－＝－×180°＝－396°.

3．（2020·全国高三专题练习）把化成的形式是（  ）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】，故选D.

4．（2019·全国高三专题练习）将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)

A．－－8πB．－8π

C．－10πD．－10π

【答案】D

【解析】由题意，可知－1485°＝－5×360°＋315°，又π＝180°，则315°＝，

故－1485°化成＋2kπ(0≤<2π，k∈Z)的形式是－10π．

考向二 三角函数定义

【例2】（1）（2020·云南）已知角的终边经过点，则等于（    ）

A．B．C．D．

（2）（2020·广东）已知角的终边上一点，则（    ）

A．B．C．D．

【答案】（1）A（2）D

【解析】（1）因为角的终边经过点，所以，所以，

故选：A

（2） 由三角函数的定义可得故选：D

【举一反三】

1．（2020·北京）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，那么的值是（    ）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由已知，所以．故选：C．

15．（2020·商南县高级中学）角的终边过点，若，则的值为（    ）

A．1B．C．D．

【答案】B

【解析】由条件可知，

由三角函数的定义可知，，解得：.故选：B

3．（2019·吉林高三月考（文））若点在角的终边上，则的值是（    ）

A．-1B．1C．D．

【答案】B

【解析】据题意，得.故选：B.

考向三  三角函数正负判断

【例3】（1）（2020·山东高三专题练习）已知，那么是（    ）

A．第一、二象限角B．第二、三象限角C．第三、四象限角D．第一、四象限角

（2）（2020·山东高三专题练习）若是第二象限角，则点在    （　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】（1）A（2）D

【解析】（1）由可知同号，即，从而为第一、二象限角，故选：A

（2）因为是第二象限角，所以，所以点在第四象限，故选D

【举一反三】

1．（2019·浙江高三专题练习）已知 且，则角的终边所在的象限是（    ）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】B

【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，

所以终边在第二象限，故选B.

2．（2020·全国高三专题练习）若，且，则角是（    ）

A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

【答案】C

【解析】，，又，则.

因此，角为第三象限角.故选：C.

3．（2020·全国高三专题练习）已知，且，则角是（    ）

A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

【答案】D

【解析】由，可知，结合，得，

所以角是第四象限角，故选:D

4．（多选）（2020·全国高三专题练习）对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件为（    ）

A．①③B．①④C．④⑥D．②⑤

【答案】BC

【解析】若为第二象限角，则，，.

所以，为第二象限角或或.故选：BC.

考向四 同角三角公式

【例4】（1）（2019·全国高三专题练习）已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于（    ）

A．B．－

C．D．－

（2）（2020·江西景德镇一中）已知，且，则（    ）

A．B．C．D．

【答案】（1）B（2）A

【解析】由条件知α是第四象限角，所以，即sin α＝＝＝.

故选：B．

（2）且，，，

由得：.故选：.

【方法总结】

1.知弦求弦、知弦求切---平方关系，注意角象限对应函数值的正负

【举一反三】

1．（2020·海拉尔市蒙古族中学高三学业考试）已知α为第四象限的角，且，则的值为（    ）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】为第四象限的角，且，.

.故选：.

2．（2019·北京海淀·101中学高三月考）已知，且，那么（    ）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】因为，，故， ，

又，解得：故选：B

3.已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．

【答案】见解析

【解析】由tan α＝＝，得sin α＝cos α①又sin2α＋cos2α＝1②

由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.又α是第三象限角，∴cos α＝－，

sin α＝cos α＝－.

考向五  弦的齐次

【例5】（1）已知tan α＝2，则的值为．

（2）（2020·固原市五原中学高三）已知，则

【答案】（1）3（2）

（1）原式＝＝＝3.

（2）因为，

所以

故选：D.

【举一反三】

1．（2020·全国高三专题练习）已知，则的值为（    ）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由，得.故选：A.

2．（2020·福建省武平县第一中学高三月考）已知，则等于（    ）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】.

故选：D

3．（2020·拉萨中学高三），则（    ）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】，．故选：

4．（2020·江苏南京田家炳高级中学）已知，

求：（1）；        （2）.

【答案】（1） 4          （2）

【解析】（1）

（2）

考向六 

【例6】（1）（2020·永寿县中学高三开学考试）已知，则（    ）．

A．B．C．D．

（2）（2020·广东华南师大附中高三月考）已知，其中，则（    ）

A．B．或C．D．

【答案】（1）A（2）D

【解析】.所以选A.

（2）由，平方可得，解得，

又由，

因为，可得，所以，

联立方程组，解得，所以.故选：D.

【举一反三】

1．（2020·上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知，，则 ________.

【答案】

【解析】依题意，两边平方得，

而，所以，

所以.

由解得，所以.故答案为：

2．（2020·四川省南充高级中学高三月考（理））已知，，则________.

【答案】

【解析】已知，平方得，得，

，，，

，，解得.

故答案为：

考向七 三角函数线运用

【例7】（2020·全国高三专题练习）已知点在第一象限，则在内的取值范围是（    ）．

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】由已知点在第一象限得：，，即，，

当，可得，．

当，可得或，．

或，．

当时，或．

，

或．故选：B．

【举一反三】

1．（2020·全国高三专题练习）已知点在第二象限，则角在（    ）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】C

【解析】点在第二象限，则 ，所以角在第三象限.故选：C

2．（2020·海伦市第一中学高三期中（文））已知点在第三象限，则的取值范围是（    ）．

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】在第三象限，

，，，

，．故选：D.

3．（2020·贵州高三其他模拟）已知点在第一象限，则在内的的取值范围是（    ）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】由已知点在第一象限得：

，，即，，

当，可得，．

当，可得或，．

或，．

当时，或．

，或．故选：B．

1．（2020·重庆西南大学附中高三月考）下列转化结果正确的是（    ）

A．化成弧度是B．化成角度是

C．化成弧度是D．化成角度是

【答案】D

【解析】由得，对于A选项：化成弧度是，故A不正确；

对于B选项：化成角度是，故B不正确；

对于C选项：化成弧度是，故C错误；

对于D选项：化成角度是，故D正确，故选：D.

2．（2020·天津市静海区大邱庄中学高三月考）下列转化结果错误的是（    ）

A．化成弧度是B．化成度是

C．化成弧度是D．化成度是

【答案】C

【解析】化成弧度是，A正确；化成度是，B正确；

是，C错误；化成度是，D正确.故选：C.

3．（2020·江苏高三专题练习）化为弧度为

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】.故选C

4．（2019·全国高三专题练习）下列结论不正确的是(　　)

A．rad＝60°B．10°＝rad

C．36°＝radD．rad＝115°

【答案】D

【解析】

∵π＝180°，∴rad＝60°正确，10°＝rad正确，36°＝rad正确，rad＝＝112.5°≠115°，D不正确．故选D．

5．（2020·浙江温州·高二期中）已知角的终边上有一点，则的值为（    ）

A．-2B．C．D．

【答案】A

【解析】角的终边上有一点，.故选：A.

6．（2020·江苏镇江·高三期中）已知点是角终边上一点，则的值为（    ）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】因为，所以，所以，

故选：C.

7．（2020·河南高三月考（文））已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，终边与单位圆交于，则（    ）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由三角函数的定义，.故选：D.

8．（2020·北京附中高三月考）已知点是角终边上一点，则（    ）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由，可得点，

根据三角函数的定义，可得.故选：A.

9．（2020·浙江高二开学考试）已知角的终边经过点，则（  ）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】角的终边经过点,所以到原点的距离为 根据三角函数定义得到：

 ，；故选A.

10．（2020·开鲁县第一中学高三月考（文））已知角的终边经过点P(4，－3)，则的值等于(　　)

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】因为角的终边过点，所以利用三角函数的定义，

求得，，故选A.

11．（2020·宁夏银川二中高三其他模拟）如果角的终边过点，则的值等于（    ）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由题意 ，  点到原点的距离 ， 

由定义知 故选：C．

12．（2020·扶风门高中高三月考（文））已知为第二象限角，则的值是（    ）

A．3B．C．1D．

【答案】C

【解析】由题意，，

因为为第二象限角，所以，

所以.故选：C.

13．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知点在第三象限，则角的终边位置在（    ）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】B

【解析】由于点在第三象限，所以，

所以在第二象限.故选：B

14．（2020·全国高三专题练习（文））已知点在第三象限，则角在第几象限（    ）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】B

【解析】因为点在第三象限，所以

所以角在第二象限故选：B

15．（2020·江苏高三专题练习）若，且，则角是第（    ）象限角.

A．一B．二C．三D．四

【答案】C

【解析】由条件知与异号，则为第二或第三象限角；又与异号，则为第三或第四象限角.综上可知，为第三象限角.故选：C

16．（2020·北京市第十三中学高三期中）已知，且，则（    ）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由得，

因为，所以，所以，

所以，故选：A

17．（2020·陕西省定边中学高三月考（文））已知，则的值为（    ）

A．B．C．4D．

【答案】B

【解析】因为，所以，，， ，       故选：B

18．（2020·重庆南开中学高三月考）已知，则（    ）

A．B．C．4D．5

【答案】D

【解析】

故选:D

19．（2020·全国高三专题练习（文））已知，，则的值为(    )

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由题意，因为，所以，所以，

所以，

又因为，所以，所以，

所以，故选B.

20．（2020·全国高三专题练习）（多选）下列转化结果正确的是（    ）

A．化成弧度是B．化成角度是

C．化成弧度是D．化成角度是

【答案】ABD

【解析】对于A,,正确;对于B,,正确;

对于C,,错误;对于D,,正确.故选ABD

21．（2020·天津经济技术开发区第二中学高三期中）已知角的终边经过点（）且，则___________.

【答案】

【解析】由余弦函数的定义可得，解得（舍去），或（舍去），或，

.故答案为：.

22．（2020·湖南高二学业考试）已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=______________.

【答案】

【解析】因为角α的终边经过点(3，4)，所以，故答案：

23（2020·天津经济技术开发区第二中学高三期中）已知，则___________.

【答案】

【解析】由，得，

则有；

故答案为：.

24．（2020·万载县第二中学高三月考（理））已知角的终边经过点，且，则________．

【答案】

【解析】点的纵坐标为，且．角的终边落在第三象限，，

.故答案为：.

25．（2020·山东高三专题练习）已知＝－5，那么tanα＝________.

【答案】－易知cosα≠0，由＝－5，得＝－5，解得tanα＝－.故答案为：－下载本文