理科数学

时量：120分钟    满分：150分

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设集合，则=（  A  ）

2.设集合，则是的（  B  ）

4.已知函数，则是（  B  ）

5.已知，则（  D  ）

6.若，则实数的取值范围是（  D  ）

7. 已知函数则的值为（  A  ）

8.已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图像在区间上与轴的交点个数为（  B  ）

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分 ，共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）

9. =              .

解: 

10. 已知函数,则的定义域为                      .   

解：，所以定义域为

11.若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为

解：设切点为，，则，所以切线方程为：

12.已知都是锐角，则=              

解：因为都是锐角，且

所以则

13．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－ <φ<)的部分图象如图所示，

则的值是         .

解： 

把代入，得

14.对任意两个实数，定义若，则的最小值为      -1        .

解：，所以的最小值为-1

15.已知集合，若对于任意实数，存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”.给出下列四个集合：

①；②；③ 

④.其中是“垂直对点集”的序号是      ②③        .

解：对于①，注意到无实数解，因此①不是“垂直对点集”； 对于②，注意到过原点任意作一条直线与曲线相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线相交，因此②是“垂直对点集”；对于③，与②同理；对于④，注意到对于点（1,0），不存在，使得，因为与矛盾，因此④不是“垂直对点集”.

答案：②③

三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. （本小题满分12分）

已知向量，函数的最大值

为4．

（1）求；

（2）求在上的值域．

解：（1）

的最大值为4，所以…………………………………………………（4分）

（2）

，所以在上的值域为……………（12分）

17. （本小题满分12分）

已知函数

（1）求的最小正周期和最小值；

（2）已知，求证：．

解：（1）

………………………………………………………………………………………………（4分）

，和最小值为-2. ………………………………………………………（6分）

（2）证明：由已知得

两式相加得， 

………………………………………………………（12分）

18．（本小题满分12分）

已知函数，，（）．

（1）求函数的极值；

（2）已知，函数，，判断并证明的单调性．

解：（1），令，得．

当时，，是减函数；

当时，，是增函数．

∴当时，有极小值，无极大值．…………………………（5分）

（2）

==，

由（1）知在上是增函数，

当时，，

即，

∴，即在上是增函数．…………………………………………（12分）    

19. （本小题满分13分）

旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16000元.旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人.设旅行团的人数为人，飞机票价格为元，旅行社的利润为元.

（1）写出飞机票价格元与旅行团人数之间的函数关系式；

（2）当旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润.

解：（1）依题意得，当时，；

当时，；

………………………………………………（4分）

（2）设利润为,则

…………………（6分）

当且时，，

当且时，，

因为，所以当或时， 

故当旅游团人数为或时，旅行社可获得最大利润为17060元. …………………（13分）

20. （本小题满分13分）

已知函数f (x) = 

（1）试判断当的大小关系；

（2）试判断曲线和是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由.

解：（1）设，则

由， 

在区间单调递减，在区间单调递增，………………………………（3分）

所以取得最小值为，即………………（5分）

（2）假设曲线有公切线，切点分别为和………………………………………………………………………………（6分）

因为，所以分别以和为切线的切线方程为……………………………………………………………（8分）

令即…………………………………………… （10分）

令所以由得显然，当时，，当时，，所以，

所以方程无解，故二者没有公切线。……………………（13分）

21. （本小题满分13分）

已知函数

(1)若方程在内有两个不等的实根，求实数m的取值范围；（e为自然对数的底数）

（2）如果函数的图象与x轴交于两点、且.求证：（其中正常数）.

解：（1）由，

求导数得到：

，故在有唯一的极值点

，且知

故上有两个不等实根需满足：

故所求m的取值范围为.………………………………………………………（6分）

（2）又有两个实根

则

两式相减得到：

于是

，故

要证：，只需证：

只需证：

令，则

只需证明：在上恒成立.

法一:又则

于是由可知.故知

上为增函数，则

从而可知，即（*）式成立，从而原不等式得证.………………（13分）

法二: 

令,

所以的对称轴为

， 

所以在上单调递减， 

上为增函数，则

从而可知，即（*）式成立，从而原不等式得证.………………（13分）下载本文