一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约亿千克，这个数用科学记数法应表示为千克．( )
A. B. C. D.
3. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 赵爽弦图 B. 科克曲线
C. 笛卡尔心形线 D. 斐波那契螺旋线
4. 如图，在正方形中，为边上的点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
5. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为 ( )
A. B. C. 或 D.
6. 几个相同的正方体叠合在一起，该组合体的主视图与俯视图如图所示，那么组合体中正方体的个数至多有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 为备战成都年大运会，甲乙两位射击运动员在一次训练中的成绩如下表单位：环，下列说法正确的是( )
| 甲 | |||||||
| 乙 |
C. 甲的众数为 D. 甲的方差小于乙的方差
8. 在创建文明城市的进程中，某城市为美化城市环境，计划种植树木万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前天完成任务，设原计划每天植树万棵，可列方程是( )
A. B.
C. D.
9. 如图，在中，，于点，为中点，、交于点，则下列结论中不一定正确的是( )
A.
B.
C. ：：
D. 的面积四边形的面积
10. 如图，五边形是正五边形，若，则的度数为( )
A.
B.
C. 或
D. 无法计算
11. 如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，当时，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点，；过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、交于点，随着的增大，四边形的面积( )
A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
12. 如图，矩形中，，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为( )
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 函数的自变量的取值范围是______．
14. 在一个不透明的盒子里有个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则的值是______．
15. “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式是，乙烷的化学式是，丙烷的化学式是，设碳原子的数目为为正整数，则它们的化学式都可用式子______来表示．
16. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
17. 如图，点为半圆的中点，是直径，点是半圆上一点，，交于点，若，，则的长为______．
18. 如图，正方形和正方形的顶点，，在同一条直线上，顶点，，在同一条直线上，是的中点，的平分线过点，交于点，连接交于点，连接以下四个结论：；；；∽，其中正确的结论是______只填序号．
19. 本小题分
计算：．
解不等式组：．
先化简，再求值：，其中．
20. 本小题分
如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长的半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交的延长线于点，分别过点、作、的平行线，并相交于点．
求证：四边形是菱形；
如图，若，，，求的长．
21. 本小题分
某校在一次“红心向党”教育活动中，组织了学生参加知识竞赛，成绩分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，学校随机抽查了部分学生的竞赛成绩，绘制了如下统计图．
求等级所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；
该校共有名学生参加了知识竞赛，请你估计该校竞赛成绩为“优秀”的学生人数；
学校准备再开展一次知识竞赛，要求每班派一人参加，某班要从在这次竞赛成绩为优秀的小华和小红中选一人参加，班长设计了如下游戏来确定人选，游戏规则是：把三个完全相同的乒乓球分别标上数字、、，然后放到一个不透明的盒子中摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小华参加，否则小红参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平？
22. 本小题分
如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼和的高度，小明将木杆放在楼和之间垂直于水平面，小亮将测角仪放在处、、三点在一条直线上，测得楼顶部的仰角，再将测角仪放在处、、三点在一条直线上，测得楼顶部的仰角，同时测得，，点、、、、、、、均在同一平面内，结果精确到米，
求楼的高度；
求楼的高度．
为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长．
当长为多少时，绿化带的面积为？
当长为多少时，绿化带的面积最大，最大面积是多少？
如图，是的直径，、分别是的切线，连接、、，且平分．
求证：是的切线；
求证：；
若的半径是，，且，求的值．
如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，且，连接．
求抛物线的解析式；
点是直线下方抛物线上一点，过点作于点，若线段，求点的坐标；
如图，若点是对称轴右侧抛物线上一点，点是轴下方对称轴上一点，是否存在点、，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据相反数的定义知，的相反数是．
故选：．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫互为相反数，据此解答即可．
本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解答本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选B．
4.【答案】
【解析】解：绕点顺时针方向旋转得到，
，，，
，
．
故选：．
利用旋转的性质得，，，则利用等腰直角三角形的性质得，然后计算与的差即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
5.【答案】
【解析】解：
，，
由三角形的三边关系可得：
腰长是，底边是，
所以周长是：．
故选：．
用因式分解法可以求出方程的两个根分别是和，根据等腰三角形的三边关系，腰应该是，底是，然后可以求出三角形的周长．
本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，用十字相乘法因式分解求出方程的两个根，然后根据三角形的三边关系求出三角形的周长．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
由所给视图可得此几何体有列，行，层，分别找到第二层的最多个数，加上第一层的正方体的个数即为所求答案．
【解答】
解：第一层有个正方体，第二层最多有个正方体，所以这个几何体最多有个正方体组成．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：甲的数据按大小排列为：，，，，，，，
最中间的数据为，则甲的中位数为，故选项A说法错误；
在这组数据中，出现的次数最多，故甲的众数为，故选项C说法错误；
乙的平均数为：，故选项B说法错误；
甲的平均数为：，
甲的方差为：，
乙的平均数为：，
乙的方差为：，
，故选项D说法正确．
故选：．
分别计算两组数据的众数、平均数、中位数及方差后，选择正确的答案即可．
此题主要考查了平均数、众数、中位数及方差的知识，解题时掌握众数、中位数及方差的定义是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：设原计划每天植树万棵，需要天完成，
实际每天植树万棵，需要天完成，
提前天完成任务，
，
故选：．
根据题意给出的等量关系即可列出方程．
本题考查分式方程的应用，解题的关键是利用题目中的等量关系，本题属于基础题型．
9.【答案】
【解析】解：在中，，于点，
为的中点，，
又为中点，
点为的重心，
，，，
：：，
如图，连接，则
，即选项错误，
故选：．
依据在中，，于点，即可得出为的中点，再根据为中点，即可得到点为的重心，依据重心性质即可得出结论．
本题主要考查了三角形重心性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质和多边形内角和公式，解题的关键是通过作平行线辅助线，搭建角之间的关系桥梁．
过点作直线，利用平行线的性质推导出，再利用多边形内角和公式可得，两个式子相减即可．
【解答】
解：过点作直线，
，
，
，，
五边形是正五边形，
，
，
，
得．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数的性质以及长方形的面积的计算，利用表示出四边形的面积是关键．
首先利用和表示出和的长，则四边形的面积即可利用、表示，然后根据函数的性质判断．
【解答】
解：，，
则四边形的面积．
、在函数的图象上，
常数
，
当时，随的增大而增大．
故选B．
12.【答案】
【解析】解：，点为的中点，
，
是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，
作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，
此时的值最小，最小值为的长；
，，
，
，
，
的最小值为，
故选：．
因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，即可求得，从而得出的最小值．
本题考查了轴对称最短路线问题，判断出点的轨迹是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
13.【答案】
【解析】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握被开方数为非负数是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：在一个不透明的盒子里有个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，
，
解得．
故答案为：．
根据红球的概率结合概率公式列出关于的方程，求出的值即可．
本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
15.【答案】
【解析】解：设碳原子的数目为为正整数时，氢原子的数目为，
观察，发现规律：，，，，
．
碳原子的数目为为正整数时，它的化学式为．
故答案为：．
设碳原子的数目为为正整数时，氢原子的数目为，列出部分的值，根据数值的变化找出变化规律“”，依此规律即可解决问题．
本题考查了列代数式，规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“”本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据碳原子的变化找出氢原子的变化规律是关键．
16.【答案】且
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式与一元二次方程根的情况之间的关系，根据二次项系数非零以及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
根据二次项系数非零以及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：且．
17.【答案】
【解析】解：如图，连接，
为直径
，，
点为半圆的中点，
，
∽
故答案为：．
先由直径所对的圆周角为，得，再利用勾股定理求出、和的长，然后利用，得∽，根据相似三角形的性质得比例式，进而得关于和的方程组，解方程组即可得答案．
本题考查了圆的相关性质、勾股定理在计算中的应用、相似三角形的判定与性质，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握相关定理及其性质，是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，四边形和四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，故正确；
如图，设与的交点为，
，
，
平分，
，
又，
≌，
，
又是的中点，
，
∽，
，
设和相交于点．
设，则，设正方形的边长是，则，，
，即，
解得：，或舍去，
则，
，故错误；
≌，
，
是的中位线，
，
，
设正方形的边长是，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，故正确，
是直角三角形，为的中点，
，
点在正方形的外接圆上，
，
，，
∽，故正确；
故答案为．
由四边形和四边形是正方形，得出≌，推出，从而得；
可设，则，设正方形的边长是，则，，由，得出∽，从而求得；
可设正方形的边长是，则，得到，通过证得∽，得到，进而得到，从而求解；
由是直角三角形，因为为的中点，所以，得出点在正方形的外接圆上，根据圆周角定理得出，，从而证得∽．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．
19.【答案】解：原式
；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为；
原式
，
当时，
原式
．
【解析】先代入三角函数值、计算负整数指数幂、零指数幂、化简二次根式，再去绝对值符号、计算乘法，最后计算加减即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选择使分式有意义的的值代入计算即可．
本题主要考查解一元一次不等式、实数的运算和分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】证明：由作图过程可知：平分，
，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
四边形是菱形；
解：四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
【解析】由作图过程可得平分，根据，，可得四边形是平行四边形，然后证明，进而可以解决问题；
首先证明四边形是矩形，然后证明，可得，进而可以解决问题．
本题考查了作图基本作图、角平分线的性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
21.【答案】解：由条形统计图可得等级的人数为人，由扇形统计图可得等级的人数占比为，
则样本容量为，
等级所对应扇形的圆心角度数：；
等级的人数为：人．
根据题意得：人，
答：估计该校竞赛成绩为“优秀”的学生人数有人；
画树状图为：
共有种等可能的结果，其中和为奇数的结果有种，
则小华参加的概率是：，小红参加的概率是，
，
这个游戏规则不公平．
【解析】由已知等级的人数为人，所占百分比为，求出样本容量，再用乘以等级所占的百分比，求出等级所对应扇形的圆心角度数，然后求出等级的人数，从而补全统计图；
用总人数乘以“优秀”的学生人数所占的百分比即可得出答案；
先画树状图展示所有种等可能的结果，找出和为奇数的结果有种，再计算出小华参加和小红参加的概率，比较两概率的大小可判断这个游戏规则是否公平．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：，，
，
在中，，，
，
楼的高度约为；
在中，，，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
．
楼的高度约为．
【解析】先求出的长，然后解直角三角形即可；
先求出的长，然后解直角三角形求出的长即可得到的长，再解直角三角形即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．
23.【答案】解：设长为时，绿化带的面积为，
，
解得，，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
答：当长为时，绿化带的面积为；
设绿化带的面积为，长为，
，
该函数图象开口向下，对称轴为直线，
，
解得，
当时，取得最大值，此时，
答：当长为时，绿化带的面积最大，最大面积是．
【解析】根据题意和图形可知：，然后列出方程求解即可，注意的长不大于；
根据题意，可以写出面积与的长的函数关系，然后利用二次函数的性质求最值．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值．
24.【答案】证明：过点作于点，如图所示：
则有，
是的切线，
，
，
平分，
，
，
≌，
，
是的切线；
证明：是的切线，
，
，
，
，，
≌，
，
≌，
，
是直径，
，
；
解：延长交的延长线于点，如图所示：
，
，
，
，
设，则，
，
根据勾股定理，得，
解得，
，，
，，
∽，
：：，
即：：，
解得，
．
【解析】过点作于点，易证≌，根据全等三角形的性质即可得证；
先证≌，根据全等三角形的性质证明可知，进一步可得，即可得证；
延长交的延长线于点，根据，以及勾股定理列方程，可知和，再证∽，根据相似三角形的性质可得，即可求出．
本题考查了圆的综合，涉及切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角函数等，本题综合性很强，难度较大．
25.【答案】解：，
，
抛物线与轴交于点和，
设抛物线解析式为，将代入得：，
解得：，
，
该抛物线的解析式为；
，，，
，，
，
，
如图，过点作轴交于点，
则，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
，
解得：，，
点的坐标为或；
存在．
，
抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，
设，，且，，
当，时，如图，
当轴时，符合题意，
此时，
；
当，时，如图，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则，，，，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
解得：舍去或，
，
；
当，时，如图，
过点作轴于点，交抛物线对称轴于点，
，，，，，
，
，
，
≌，
，，
，
解得：舍去或，
当时，，不符合题意，舍去；
综上所述，点的坐标为或．
【解析】抛物线与轴交于点和，设抛物线解析式为，将代入即可求得抛物线解析式；
如图，过点作轴交于点，则，进而可得，利用待定系数法求得直线的解析式为，设，则，则，，建立方程求解即可得出答案；
设，，且，，分三种情况：当，时，当，时，当，时，分别通过构造全等三角形求出点的坐标即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形性质，三角函数，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题关键是添加辅助线构造全等三角形，运用分类讨论思想，避免漏解．下载本文
