时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．平面上有两个定点A、B及动点P，命题甲：“|PA|－|PB|是定值”，命题乙“点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线”，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 当|PA|－|PB|＝|AB|时，点P的轨迹是一条射线，故甲⇒/ 乙，而乙⇒甲，故选B.
2．如果双曲线经过点(6，)，且它的两条渐近线方程是y＝±x，那么双曲线方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－y2＝1
D.－＝1
[答案] C
[解析] 设双曲线方程为＝λ将点(6，)代入求出λ即可．答案C.
3．双曲线与椭圆＋y2＝1共焦点，且一条渐近线方程是x－y＝0，则此双曲线方程是( )
A．y2－＝1
B.－x2＝1
C．x2－＝1
D.－y2＝1
[答案] C
[解析] ∵椭圆＋y2＝1的焦点为(±2,0)，
∴双曲线的焦点为(±2,0)，排除A、B.
又选项D的渐近线为y＝±x，故选C.
4．若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则下列关系成立的是( )
A. >
B. <
C. >
D. <
[答案] A
[解析] 方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴b<0，∴ >.
5．设双曲线焦点在x轴上，两条渐近线为y＝±x，则该双曲线的离心率为( )
A．5
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] ∵＝，∴＝＝＝e2－1＝，∴e2＝，e＝.
6．在下列各对双曲线中，既有相同的离心率又有相同的渐近线的是( )
A.－y2＝1和－＝1
B.－y2＝1和x2－＝1
C．y2－＝1和x2－＝1
D.－y2＝1和－＝1
[答案] A
[解析] A中离心率都为，渐近线都为y＝±x.
7．若不论k为何值，直线y＝k(x－2)＋b与曲线x2－y2＝1总有公共点，则b的取值范围是( )
A．(－，)
B．[－，]
C．(－2,2)
D．[－2,2]
[答案] B
[解析] 由直线过点(2，b)，因为x＝2时，y2＝x2－1＝3，所以y＝±，所以b∈[－，]，故选B.
8．已知以F1(－2,0)、F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A．3
B．2
C．2
D．4
[答案] C
[解析] 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由，得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0，可得a2＝7，∴2a＝2.
9．A(x1，y1)，B，C(x2，y2)为椭圆＋＝1上三点，若F(0,4)与三点A、B、C的距离为等差数列，则y1＋y2的值为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] ＝，即|AF|＝5－y1，＝，即|CF|＝5－y2，|BF|＝＝.
由题意知2|BF|＝|AF|＋|CF|，所以5－y1＋5－y2＝，所以y1＋y2＝.
10．a≠0，b≠0，则方程ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab表示的曲线可能是( )
[答案] C
[解析] 由图象可知选C.
11．已知双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么a，b，m为边长的三角形一定是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
[答案] B
[解析] 双曲线－＝1的离心率e1＝，椭圆＋＝1的离心率为e2＝，
由e1·e2＝1得·＝1，
∴a2＋b2＝m2，∴a，b，m为边长的三角形一定是直角三角形．
12．已知F(c,0)是椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为m，最小值为n，则椭圆上与点F的距离为的点是( )
A．(c，±)
B．(c，±)
C．(0，±b)
D．不存在
[答案] C
[解析] 在椭圆中，＝＝a，而a2＝b2＋c2，所以短轴端点(0，±b)与F的距离为a.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确的答案填在题中横线上)
13．已知椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为________．
[答案]
[解析] 由题意a2＋a2＝4c2，所以e＝＝.
14．(2009·辽宁)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
[答案] 9
[解析] 设右焦点为F′，由题意知F′(4,0)．由双曲线定义，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，|PF′|＋|PA|最小需P，F′，A三点共线，最小值即4＋|F′A|＝4＋＝4＋5＝9.
15．与椭圆＋＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为__________．
[答案] －＝1
[解析] ∵双曲线的两渐近线互相垂直，
∴双曲线为等轴双曲线，又c2＝5，∴a2＝b2＝.
16．点P是双曲线－y2＝1上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________．
[答案] x2－4y2＝1
[解析] 设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐标公式可得x0＝2x，y0＝2y，代入双曲线方程得－＝1，即x2－4y2＝1.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知双曲线E的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率e＝，且双曲线过点P(2，3)，求双曲线E的方程．
[解析] 当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)，
∵e＝＝，∴c2＝a2，b2＝a2，
又点P(2,3)在双曲线上，解得a2＝－32(舍去)．
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为：
－＝1(a>0，b>0)，同理解得a2＝10，b2＝5，
∴双曲线E的方程为：－＝1.
18．(本题满分12分)已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
[解析] (1)联立，得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线与椭圆有公共点．
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，
由韦达定理，得x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)．
所以|AB|＝
＝
＝
＝
＝，
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
19．(本题满分12分)在面积为1的△PMN中，tan∠PMN＝，tan∠MNP＝－2，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的双曲线方程．
[解析] 以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，设P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)(y0>0，c>0)，如图所示，
则有解得设双曲线的方程为－＝1，将P(，)代入，可得a2＝，所以所求双曲线的方程为－＝1.
20．(本题满分12分)椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两端点B1、B2的连线互相垂直，且此焦点与较近的长轴端点A的距离为－，求椭圆方程．
[解析] 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义知Rt△B2OF中，有|B2F|＝a＝|B1F|，
又△B2FB1为等腰直角三角形，
则|OB2|＝|OF|＝b，∴a＝c，
由已知|FA|＝a－c，则有
解之得c＝，故b＝，a＝.
∴所求椭圆方程为＋＝1.
21．(本题满分12分)已知α∈，试讨论当α的值变化时，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示曲线的形状．
[解析] 当α＝0时，sinα＝0，cosα＝1，
方程x2sinα＋y2cosα＝1化为y2＝1，即y＝±1，方程表示两条直线，
当0<α<时，0 方程x2sinα＋y2cosα＝1化为x2＋y2＝， ∴方程表示以原点为圆心，以为半径的圆； 当<α<时，sinα>cosα>0， 方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆； 当α＝时，sinα＝1，cosα＝0， 方程x2sinα＋y2cosα＝1化为x＝±1， ∴方程表示两条直线． 22．(本题满分14分)已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，过其右焦点F作倾斜角为的直线，交椭圆于P、Q两点，若OP⊥OQ，求此椭圆的离心率e. [解析] 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线方程为y＝x－c， 由 得， (a2＋b2)x2－2a2cx＋a2c2－a2b2＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， 又y1＝x1－c，y2＝x2－c， ∴y1y2＝x1x2－c(x1＋x2)＋c2＝， ∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0， ∴＋＝0， 又b2＝a2－c2， 化简得c4－4a2c2＋2a4＝0， ∴e4－4e2＋2＝0，e2＝2－，e＝.下载本文
