1. 已知数列是等比数列,且
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:；
(3)设,求数列的前100项和.
1. 解：(1)设等比数列的公比为.
则由等比数列的通项公式得,
又
数列的通项公式是.
数列的前100项和是
2.数列{an}中，，，且满足常数
(1)求常数和数列的通项公式；
(2)设，
(3) ,
2．解：（1）
(3)
3. 已知数列 ， 求
4 .已知数列的相邻两项是关于的方程N的两根,且
.
(1) 求证: 数列是等比数列;
(2) 求数列的前项和.
4 .解：证法1: ∵是关于的方程N的两根,
∴
由,得,
故数列是首项为,公比为的等比数列.
证法2: ∵是关于的方程N的两根,
∴
∵,
故数列是首项为,公比为的等比数列.
(2)解: 由(1)得, 即.
∴
.
∴
.
5.某种汽车购车费用10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，…，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时，年平均费用最少）？
6. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
7. 在等比数列{an}(n∈N*)中，已知a1＞1，q＞0．设bn=log2an，且b1＋b3＋b5=6，b1b3b5=0．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式an、bn；
(2)若数列{bn}的前n项和为Sn，试比较Sn与an的大小．
8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，
点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上。
（1）求a1和a2的值；
（2）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；
（3）设cn=an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn。
8. 解：（1）∵an是Sn与2的等差中项
∴Sn=2an-2 ∴a1=S1=2a1-2，解得a1=2
a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4 ···3分
（2）∵Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，
又Sn—Sn-1=an，
∴an=2an-2an-1，
∵an≠0，
∴，即数列{an}是等比树立∵a1=2，∴an=2n
∵点P(bn，bn+1)在直线x-y+2=0上，∴bn-bn+1+2=0，
∴bn+1-bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n-1， ···8分
（3）∵cn=(2n-1)2n
∴Tn=a1b1+ a2b2+····anbn=1×2+3×22+5×23+····+(2n-1)2n，
∴2Tn=1×22+3×23+····+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1
因此：-Tn=1×2+(2×22+2×23+···+2×2n)-(2n-1)2n+1，
即：-Tn=1×2+(23+24+····+2n+1)-(2n-1)2n+1，
∴Tn=(2n-3)2n+1+6
9. 已知数列的前n项和为且，
数列满足且．
（１）求的通项公式；
（２）求证：数列为等比数列;
（３）求前n项和的最小值．
9. 解： (1)由得, ……2分
∴ ……………………………………4分
(2)∵,∴,
∴;
∴由上面两式得,又
∴数列是以-30为首项,为公比的等比数列.…………………8分
(3)由(2)得，∴
= ，∴是递增数列 ………11分
当n=1时, <0；当n=2时, <0；当n=3时, <0；当n=4时,
>0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.
且…………………………13分
10. 已知等差数列的前9项和为153．
（1）求；
（2）若，从数列中，依次取出第二项、第四项、第，……，第项
，按原来的顺序组成一个新的数列，求数列的前n项和.
10. 解：（1） ………5分
（2）设数列 的公差为d，则
………9分
…12分
11.已知曲线：（其中为自然对数的底数）在点处的切线与轴交于点，过点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，过点作轴的垂线交曲线于点，……，依次下去得到一系列点、、……、，设点的坐标为（）．
（Ⅰ）分别求与的表达式；
（Ⅱ）求．
11.解：（Ⅰ）∵，
∴曲线：在点处的切线方程为，即．
此切线与轴的交点的坐标为，
∴点的坐标为． ……2分
∵点的坐标为（），
∴曲线：在点处的切线方程为， ……4分
令，得点的横坐标为．
∴数列是以0为首项，为公差的等差数列．
∴，．（） ……8分
（Ⅱ）∴
……14分
12. 在数列
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前n项和；
12. 解：（1）由，可得
所以是首项为0，公差为1的等差数列.
（2）解：因为即
设……①
……②
当时，①②得
13. 在等差数列中，公差，且，
（1）求的值．
（2）当时，在数列中是否存在一项（正整数），使得 ， ， 成等比数列，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
（3）若自然数(为正整数)满足< << < <， 使得成等比数列，当时， 用表示
13. 解：（1）在等差数列中，公差，且，
则 …………………… 3分
（2）在等差数列中，公差，且，
则
又 则 ……… 7分
（3）在等差数列中，公差，且，
则
又因为公比首项，
又因为 ………… 12分
14. 已知二次函数满足条件:①; ②的最小值为.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)设数列的前项积为, 且, 求数列的通项公式;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下, 若是与的等差中项, 试问数列中第几项的
值最小? 求出这个最小值.
14.解: (1) 由题知: , 解得 , 故. ………2分
(2) ,
,
,
又满足上式. 所以……………7分
(3) 若是与的等差中项, 则,
从而, 得.
因为是的减函数, 所以
当, 即时, 随的增大而减小, 此时最小值为;
当, 即时, 随的增大而增大, 此时最小值为.
又, 所以,
即数列中最小, 且. …………12分
15. 已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1, 0）（nN +），
（Ⅰ）用xn表示xn+1；
（Ⅱ）若x1=4，记an=lg，证明数列｛｝成等比数列，并求数列｛｝的通项公式；
（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.
15. 解：（Ⅰ）由题可得．
所以曲线在点处的切线方程是：．
即．
令，得．
即．
显然，∴．
（Ⅱ）由，知，同理．
故．从而，即．所以，数列成等比数列．故．即．
从而所以
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
∴∴
当时，显然．当时，
∴．
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