数学试题（文）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1．原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则

12=z z ”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次

如下，正确的是（）

A ．真，假，真

B ．假，假，真

C ．真，真，假

D ．假，假，假

2．已知变量,x y 负相关，且由观测数据算得样本平均数

2, 1.5x y ，则由该观测数据得到的线性回归方

程可能是（）

A ．

0.6 1.1y x B ．

3 4.5y x C

．

0.4 3.3y x D

．

2 5.5

y x 3．观察图形规律，在图中右下角的空格内应填入的图形为（

）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数

,,a b c 中恰有一个偶数”正确的反设为（

）

A ．,,a b c 中至少有两个偶数或都是偶数 B

．,,a b c 中至少有两个偶数C ．

,,a b c 都是偶数 D

．,,a b c 都是奇数

5．已知复数312a i i

为纯虚数，则实数

a 的值为（

）

A ．-2

B ．4

C ．6 D

．-6

6．观察下列各式：1

3

3，2

39，3

3

27，4

3

81，…，则2018

3

的末位数字为（）

A ．1 B

．3 C ．7 D

．9

7．在极坐标系中，与圆

4sin 相切的一条直线的方程为（

）

A ．

1cos

2

B ．

cos 2 C

．

4sin

3

D ．

4sin

3

8．在验证吸烟与否与患肺炎与否有关的统计中，根据计算结果，认为这两件事情无关的可能性不足1%，那

么

2

K 的一个可能取值为（

）

A ．6.635

B ．5.024

C ．7.879

D ．3.841

9．圆

24sin

4

与直线

1

222122

2

x

t

y

t （t 为参数）的位置关系是（

）

A ．相切

B ．相离

C ．相交且过圆心 D

．相交但不过圆心

10．如图所示的数阵中，用

,A m n 表示第m 行的第n 个数，则依次规律8,2A 为（

）

A ．

145

B ．

186

C ．

1122 D ．

1167

11．执行下面的程序框图，如果输入的

0,1,1x

y n ，则输出,x y 的值满足（

）

A ．

4y x B

．

3y x C

．

2y x D

．

y x

12．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则

与圆周合体而无所失矣

.”它体现了一种无限与有限的转化过程。比如在表达式

11

11

1L

中“…”即代

表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程

11

x x

求得51

2

x

.类比上述过程，则3232L

（）

A ．6 B

．

131

2

C ．3 D

．22

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．有甲、乙、丙、丁四位学生参加数学竞赛，其中只有一名学生获奖，有其他学生问这四个学生的获奖

情况，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都没有获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位学生的话有且只有两个人的话是对的，则获奖的学生是

．

14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”

.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值

3.14，

这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，

则输出

n 的值为

．

（参考数据：3 1.732，sin150.2588，sin7.5

0.1305）15．在以

O 为极点的极坐标系中，曲线2cos 和直线

cos

a 相交于,A B 两点.若AOB 是等边

三角形，则a 的值为

．

16．

n 表示不超过n 的最大整数.若11233S ，

245678

10S ，3

9

10

11

12

S 13

14

15

21，

…，

则

n

S ．

三、解答题

（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．试问

x x

R 取何值时，复数

2

2

322x

x x

x i

（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？

18．在直角坐标系

xOy 中，曲线1C 的参数方程为

325425x

t

y

t

（t 为参数），以坐标原点为极点，以

x 轴

正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos

tan .

（1）求曲线

1C 的普通方程和曲线

2C 的直角坐标方程；

（2）若曲线

1C 与2C 相交于,A B 两点，点P 的极坐标为

22,

4

，求

PA PB 的值.

19．保险公司统计的资料表明：居民住宅距最近消防站的距离

x （单位：千米）和火灾所造成的损失数额

y （单位：千元）有如下的统计资料：

（1）请用相关系数r （精确到0.01）说明y 与x 之间具有线性相关关系；

（2）求

y 关于x 的线性回归方程（精确到

0.01）；

（3）若发生火灾的某居民区距最近的消防站

10.0千米，请评估一下火灾损失（精确到

0.01）.

参考数据：

6

1

175.40i

i y ，

6

1

80.30i

i

i x x

y y ，

6

2

1

()

14.30i

i x x ，

6

2

1

()

471.65i

i y y ，6744.6082.13

参考公式：

12

2

1

1

n

i

i

i n

n

i

i

i i x x

y y

r

x x y y

回归直线方程为

?y

bx a ，其中1

2

1

?n

i

i

i n

i

i x x y y

b x x

，

a y bx

，,x y 为样本平均值. 20． 2018年高考成绩揭晓，某高中再创辉煌，考后学校对于单科成绩逐个进行分析：现对甲、乙两个文科班的数学成绩进行分析，

规定：大于等于135分为优秀，135分以下为非优秀，成绩统计后，得到如下的

22

列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为

311

.

（1）请完成上面的列联表；（2）请问：是否有

75%的把握认为“数学成绩与所在的班级有关系”？

（3）用分层抽样的方法从甲、乙两个文科班的数学成绩优秀的学生中抽取5名学生进行调研，然后再从这

5名学生中随机抽取

2名学生进行谈话，求抽到的2名学生中至少有

1名乙班学生的概率

.

参考公式：

2

2

n ad bc

K

a b c d

a c

b d

（其中

n a b c d ）

参考数据：

21．已知曲线

2

2

:

149

x

y

C ，直线2:

22x t l y

t

（t 为参数）.

（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（2）过曲线

C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.

22．对于命题P ：存在一个常数M ，使得不等式

2222a

b a b

M

a b

b a

a b b a

对任意正数,a b 恒

成立.

（1）试给出这个常数

M 的值；

（2）在（1）所得结论的条件下证明命题

P ；

（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题

Q ：

“存在一个常数M ，使得不等式333a

b c M

a b b c

c a

333a b c a

b

b

c

c a

对任意正数

,,a b c 恒成立.”观察命题P 与命题Q

的规律，请猜想与正数

,,,a b c d 相关的命题.

2018年春期高中二年级期终质量评估

数学试题（文）参

一、选择题

1-5:BDBAC 6-10:DBCDC 11、12：AC

二、填空题

13．丙 14．24 15．23

16．f x

三、解答题

17．解：（1）由条件220x

x ，解得1x 或2x （2）由条件220x x ，解得1x 且2x

（3）由条件2

23202

0x x x x ，解得1x 18．解：（1）∵

2

2034x y ，∴1C 的普通方程为4320x y ∵22cos sin ，∴2C 的直角坐标方程为

2x y . （2）∵点P 的极坐标为(22,)4

，∴点P 的直角坐标为(2,2)，该点为直线所过定点

将曲线1C 的参数方程

325425

x

t y t （t 为参数）代入2x y 得223

4

9

16(2)260

55255t t t t 设该方程的两个实根分别为1t ，2t ，则

1||||PA t ，2||||PB t ，

∴121250||||||||=||

3PA PB t t t t ∴||||PA PB 的值为50

3

．19．解：（1）6

1

6

62211()()()()i i i i i

i i x x y y r x x y y

80.30

80.3080.300.9882.1314.30471.65

6744.60所以y 与

x 之间具有很强的线性相关关系；（2）175.403.9,29.23

6x

y 61

261

)())((?i i i i

i

x x y y x x b 80.30 5.62

14.30x b y a 29.23 5.62 3.97.31，

∴y 与

x 的线性回归方程为 5.627.31y x （3）当10x 时， 5.6210+7.31=63.51y ，

所以火灾损失大约为

63.51千元．

20．解：（1）班级

优秀非优秀合计甲班

37 55[乙班

12 55 合计

30 80 （2）由题意得22110(18431237)

1.65 1.323

55553080K 所以有75%的把握认为“数学成绩与所在的班级有关系”

（3）因为甲、乙两个班数学成绩优秀的学生人数的比例为

181232：：，所以从甲班成绩优秀的学生中抽取3名，

分别记为123A A A ，，从乙班成绩优秀的学生中抽取2名，分别记为12B B ，

则从抽取的5名学生中随机抽取2名学生的所有基本事件有

1213111223A A A A A B A B A A ，，，2122313212A B A B A B A B B B ，，，共10个

设“抽到的2名学生中至少有1名乙班学生”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有1112A B A B ，

2122313212A B A B A B A B B B ，，，共7个，所以7

()10P A ，

即抽到的2名学生中至少有

1名乙班学生的概率是7

10.

21．解：（1）对于曲线C ：194

22y x ，可令2cos x 、3sin y ，故曲线C 的参数方程为

2cos 3sin x y ，（为参数）对于直线l ：

222x

t y t ，由①得：2t x ，代入②并整理得：26

0x y ；（2）设曲线C 上任意一点2cos ,3sin

P ．P 到直线l 的距离为54cos 3sin 65

d .则255sin 6sin 305

d

PA ，其中为锐角．当sin 1时，PA 取得最大值，最大值为5

5

22．当sin 1时，PA 取得最小值，最小值为

55

2．∴f x 的最大值为55

22，最小值为552．

22．解：（1）令a b ,得：2

2

33

M 故2

3

M （2）先证明2223

a

b a b b a ∵0,0a

b ，要证上式，只要证3232222a b a b a b a b b a ，即证222a b ab 即证20a b

，这显然成立. ∴2223a b

a b

b a

再证明a b b b a a 2232

∵0,0a

b ，要证上式，只要证3232222a a b b b a a b b a ，即证222a b ab 即证20a b

，这显然成立. ∴a

b b

b a a 2232∴a b b b a a a b b b a a 223

222m]（3）猜想结论：存在一个常数M ，使得不等式4444a b c

d a b b c

c d d a 4444a

b c d M a b b c c d d a 对任意正数,,,a b c d 恒成立.

2018年春期高中二年级期终质量评估

数学试题（文）参

一、选择题

1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．D 7．B 8. C 9. D 10．C 11．A 12．C

二、填空题

13．丙14．24 15．2316．n （2n+1）

三、解答题

17.解析：（1）由条件220x

x ，解得12x x 或…………………………3分（2）由条件220x x

，解得12x x 且…………………………………6分（3）由条件2

23202

0x x x x ，解得1x …………………………………10分18.解析：（1）

2

2034x y ，1C 的普通方程为4320x y ……………2分22cos sin ，∴2C 的直角坐标方程为

2x y . ………………………4分（2）点P 的极坐标为(22,)4

，∴点P 的直角坐标为(2,2)，该点为直线所过定点……………………………6分

将曲线1C 的参数方程

325425

x

t y t （t 为参数）代入2x y 得223

4

9

16(2)26055255t t t t …………………………………8分

设该方程的两个实根分别为1t ，2t ，则

1||||PA t ，2||||PB t ，………………………………………………………10分

121250||||||||=||3PA PB t t t t ……………………………………………11分

∴||||PA PB 的值为50

3．………………………………………………………

12分

19.解析：（1）6

1662211

()()()()i i i i i i i x x y y r

x x y y 80.30

80.3080.300.9882.1314.30471.65

6744.60…………………………3分所以y 与

x 之间具有很强的线性相关关系；……………………………………4分（2）175.40

3.9,29.236x y

……………………………………………

6分61

261

)())((?i i i i

i

x x y y x x b 80.30 5.6214.30……………………………………8分

x b y a 29.23 5.62 3.97.31，……………………………………9分

y 与x 的线性回归方程为

5.627.31y x ………………………………10分（3）当10x 时， 5.6210+7.31=63.51y ，

所以火灾损失大约为

63.51千元．………………………………………………

12分20.解析：(1) 班级

优秀非优秀合计甲班

37 55 乙班

12 w 55 合计

30 80 …………………………………………………………

3分（2）由题意得22110(18431237)

1.65 1.32355553080

K ziy 所以有75%的把握认为“数学成绩与所在的班级有关系”

…………………6分（3）因为甲、乙两个班数学成绩优秀的学生人数的比例为18：12=3：2，所以从甲班成绩优秀的学生中抽取3名，分别记为

A 1，A 2，A 3，从乙班成绩优秀的学生中抽取2名，分别记为

B 1，B 2，则从抽取的5名学生中随机抽取

2名学生的所有基本事件有A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，B 1B 2，

共10个……………………9分设“抽到的2名学生中至少有

1名乙班学生”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，B 1B 2，共7个，…………………………10分所以7

()10P A ，

即抽到的2名学生中至少有1名乙班学生的概率是710.………………………

12分

21.解析：（1）对于曲线C ：19422y x ，可令x=2cos θ、y=3sin θ，

故曲线C 的参数方程为

，（θ为参数）……………………………3分

对于直线l ：，由①得：t=x ﹣2，代入②并整理得：2x+y ﹣6=0；……………………………6分

（2）设曲线C 上任意一点P （2cos θ，3sin θ）．

P 到直线l 的距离为

．…………………………8分则，其中α为锐角．…………

9分当sin （θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．

当sin （θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为

．………………11分|PA|的最大值为55

22，最小值为55

2．…………………………………12分

22.解析：（1）令

a =

b ,得：故…………………………………………………………3分（2）先证明∵a > 0，b > 0，要证上式，只要证3a(2b + a) + 3b(2a + b) ≤ 2(2a + b)(2b + a)，即证a 2 + b 2≥ 2ab 即证(a - b)2≥ 0，这显然成立.

……………………………………………………6分再证明a b b b a a 223

2

∵a > 0，b > 0，要证上式，只要证3a(2a + b) + 3b(2b + a) ≥ 2(a + 2b)(b + 2a)，即证a 2 + b 2≥ 2ab 即证(a - b)2≥ 0，这显然成立.

∴a b b b a a 223

2

……………………………………………………9分a

b b b a a

a b b b a a

223222…………………………………10分（3）猜想结论：存在一个常数

M ，使得不等式a d d d c c c b b b a a M a d d d c c c b b b

a a

44444444对任意正数a ，b ，c ，d 恒成立. ……………………………………………12分3232M 32M

3222a

b b

b a a 3222a b b b

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