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1．函数的奇偶性
奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是偶函数,关于 对称
奇函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是奇函数,关于 对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数． ( )
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称． ( )
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． ( )
(4)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝2. ( )
(5)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( )
(6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 014)＝0. ( )
2．(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是 ( )
A．－ B. C. D．－
4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 015)等于 ( )
A．－2 B．2 C．－98 D．98
5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．
题型一 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(x＋1)；
(3)f(x)＝.
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝.
题型二 函数周期性的应用
例2 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)等于 ( )
A．335 B．336 C．1 678 D．2 012
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.
(1)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
(2)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f等于 ( )
A．－ B．－ C. D.
题型三 函数性质的综合应用
例3 设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；
(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．
(1)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1) C. D. (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A．f(－25) 典例：(1)若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________. (2)已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________． 6函数的奇偶性与周期性 A组 专项基础训练 一、选择题 1．(2013·广东)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1 2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于 ( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 3．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则( ) A．f(3) A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 5．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于 ( ) A．2 B. C. D．a2 二、填空题 6．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 7．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________. 8．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 015)＝________. 三、解答题 9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称． (1)求证：f(x)是周期为4的周期函数； (2)若f(x)＝(0 (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． B组 专项能力提升 1．已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为 ( ) A．－1 B．1 C．0 D．无法计算 2．设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T＝3，若f(1)≥1，f(2)＝，则a的取值范围是 ( ) A．a<－1或a≥ B．a<－1 C．－1 ①2是函数f(x)的周期； ②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f(x)的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________． 4．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 5．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0. (1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性； (2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005,2 005]上的根的个数，并证明你的结论．下载本文
