一、异面直线所成角

设AB、CD为异面直线，所成角为 则

练习：如图，在棱长为2的正方体ABCD—ABCD中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC、AD的中点，则OE和FD1所成角的余弦值为________.

探讨：如图,正四面体A-BCD中，E、F分别是BC、AD的中点，

求AE和CF所成角的余弦值。

例1、如图，ABCD-ABCD是正四棱柱，

（1）求证BD平面ACCA   

（2）若二面角C-BD-C的大小为，

求异面直线BC与AC所成角大小 。（06北京文）

二、直线与平面所成角

1、法向量：如表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作。如果，那么向量叫平面的法向量。

例2，如图所示，ABCD是直角梯形ADBC ，

SA平面ABCD ，SA=AB=BC=1 ，AD=，

（1）求平面SBC的一个法向量；

（2）求平面SCD的一个法向量； 

（3）求平面SAD的一个法向量；

（4）求平面ABCD的一个法向量。

2，若AB是平面的一条斜线 ，是的一个法向量，

设AB与所成角为，则sin=。

例3，如图，正三棱柱ABC-ABC中，AB=AA，

求AC与平面BBCC所成角。

练习：在正方体ABCD-ABCD中，M、N分别是棱

BC、AD的中点，求直线AD与平面BMDN所成角

的余弦值。

例4，如图，AB平面BCD，BCCD，AB=BC，AD与

平面BCD所成角为30°。

（1）求AD与平面ABC所成的角；

（2）AC与平面ABD所成角。

作业：1.如图，在长方体ABCD-ABCD中BC=，

，，求AC和BD所成角的

大小。

2．如图，正方体ABCD—ABCD中，E是CC1的中点，

求BE与平面BBD所成角的余弦值。

3.已知直三棱柱ABC—ABC中，AB=AC ，F为BB上的

一点，BF=BC=2a ，FB=a，

（1）若D为BC中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，

求证EFFC；

（2）若AB=3a，求FC与平面AABB所成角的大小。

4，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形 ，ADBC，

，PA底面ABCD 且PA=AD=AB=2BC ，M、N

分别为PC、PB中点，

（1）求证：PBDM；  

（2）求CD与平面ADMN所成角。（06浙江）

5、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，

 ，ADBC   AB=BC=a ，AD=2a，且

PA底面AC，PD与底面成30°角

（1）若AEPD ，E为垂足，求证：BEPD；

（2）求异面直线AE和CD所成角大小。

6、如图，在棱长为1的正方体ABCD—ABCD中，P是侧棱CC上的一点，CP=m

（1）试确定m，使直线AP与平面BDDB所成角的正切值为；

（2）在线段AC上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，DQ在平面APD上的射影垂直于AP，并证明你的结论。（06湖北）

7.如图，在三棱锥P-ABC中，ABBC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC 。

（1）求证：OD平面PAB；

（2）当时，求直线PA与平面PBC所成角大小；

（3）当k取何值时，O在平面PBC影恰好为△PBC的重心？

8，三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3

（1）求证：ABBC；

（2）设AB=BC=，求AC与平面PBC所成角大小。（04全国）下载本文