角平分线

(l)定义：如图2-1，如果∠AOB＝∠BOC，那么∠AOC=2∠AOB=2∠BOC，像OB这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线．

(2)角平分线的性质定理

①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角，

②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

(3)角平分线的判定定理

①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线，

②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上，

与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型，

已知P是∠MON平分线上一点，

(l)若PA⊥OM于点A，如图2-2(a)，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”．

(2)若点A是射线OM上任意一点，如图2-2(b)，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB∽△OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”．

(3)若AP⊥OP于点P，如图2-2(c)，可以延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”．

(4)若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图2-2(d)，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线十平行线，等腰三角形必呈现”．

例1 

(1)如图2-3(a)，在△ABC中，∠C=90。，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D

到直线AB的距离是（       ）cm.

(2)如图2-3(b)，已知：∠1=∠2，∠3=∠4，

求证：AP平分∠BAC．

例2

如图2-4(a)，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D. AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F

⑴求证：CE= CF.

⑵将图2-4(a)中的△ADE沿AB向右平移到△A，D，E，的位置，使点E，落在BC边上，其它条件不变，如图2-4(b)所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系请证明你的结论．

例3

阅读下列学习材料：

如图2-5(a)所示，OP平分∠MON，A为OM上一点，C为OP上一点，连接AC，在射线ON上截取OB =OA，连接BC(如图2-5(b))，易证△AOC≌△BOC.

请根据上面的学习材料，解答下列各题：

(l)如图2-5(c)所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．

(2)如图2-5(d)所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－ PB与AC－AB的大小，并说明理由．

例4

如图2-6(a)，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，

求证：BD=2CE.

(1)如图2-7(a)，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD上BD、AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE.

求证：DE∥BC，DE=(AB+BC+AC)；

(2)如图2-7(b)，BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其它条件不变；

(3)如图2-7(c)，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其它条件不变，则在图2-7(b)、图2-7(c)两种情况下，DE与BC还平行吗它与△ABC三边又有怎样的数量关系请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。

变式

如图2-8，在△ABC中，AB=3AC, ∠BAC的平分线交BC于点D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD=DE

例6

如图2-9(a)，AB=AC，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB.问：

(l)图2-9(a)中有几个等腰三角形

(2)过D点作EF∥BC，如图2-9(b)，交AB于点E，交AC于点F，图中又增加了几个等腰三角形

(3)如图2-9(c)，若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形直接写出线段EF与BE、CF有什么关系

(4)如图2-9(d)，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACG. DE∥BC交AB于点E，交AC于点F线段EF与BE、CF有什么关系并说明理由．

(5)如图2-9(e)，BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么关系

例7如图2-10(a)所示，已知△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB，

求证：AB=ACD

变式1

如图2-11所示，已知△ABC中，AB=AC，

∠A=108°，BD平分∠ABC.

求证：BC=AB＋CD.

变式2

如图2-12，已知△ABC中，AB=AC，∠A=IOO°，BD平分∠ABC，

求证：BC=BD＋AD.

例8

如图2-13(a)，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，

请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题：

(1)如图2-13(b)，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断写出FE与FD之间的数量关系；

(2)如图2-13(c)，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(l)中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否依然成立若成立请证明；若不成立，请说明理由．

牛刀小试

(l)如图2-14 (a)，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE之长为（      ）

(2)如图2-14(b)，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，DE∥AB，FD∥AC.，BC=6，求△DEF的周长，

2.已知：如图2-15，∠BAD=∠CAD，AB>AC，CD⊥AD于点是BC中点．

求证：DH＝(AB－AC).

3、已知如图2-16，四边形ABCD中，∠B+＝D=180°，BC=CD.

求证：AC平分∠BAD.

4.如图2-17，△ABC的外角/ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，连接AP、CP，若∠BPC=40。，求∠CAP的度数．

5.已知：如图2-18，在四边形中，BC>AB，AD=CD，BD平分∠ABC.

求证：∠A+∠C=180°

6.在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.

(1)在图2-19(a)中证明CE＝CF；

(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点(如图2-19(b），直接写出∠BDG的度数；

(3)若∠ABC= 120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG(如图2-19（c），求∠BDG的度数．

7.已知：如图2-20，在△ODC中，∠D一90°，EC是∠DCO的角平分线，且OE＝ CE，过点E作EF⊥OC交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明．

8.已知：如图2-21，在四边形ABCD中，AB+BC＝CD＋DA，∠ABC的外角角平分线与∠CDA的外角平分线交于点P，

求证：∠APB=∠CPD.下载本文