一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2019•全国）设集合P ＝{x |x 2﹣2＞0}，Q ＝{1，2，3，4}，则P ∩Q 的非空子集的个数为（ ）
A ．8
B ．7
C ．4
D ．3
2．（5分）（2019•全国）复数z 在复平面内对应的点在（ ） =1‒i 2i
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．（5分）（2019•全国）若直线x ＝5与圆x 2+y 2﹣6x +a ＝0相切，则a ＝（ ）
A ．13
B ．5
C ．﹣5
D ．﹣13
4．（5分）（2019•全国）经过点（1，﹣1，3）且与平面2x +y ﹣z +4＝0平行的平面方程为（ ）
A ．2x +y ﹣z +2＝0
B ．2x +y +z ﹣6＝0
C ．2x +y +z ﹣4＝0
D ．2x +y ﹣z ﹣3＝0
5．（5分）（2019•全国）下列函数中，为偶函数的是（ ）
A ．y ＝（x +1）2
B ．y ＝2﹣x
C ．y ＝|sin x |
D ．y ＝lg （x +1）+lg （x ﹣1）
6．（5分）（2019•全国）（21）6的展开式中x 的系数是（ ）
x +A ．120 B ．60 C ．30 D ．15
7．（5分）（2019•全国）若x 2+2除x 4+3x 3+a 的余式为﹣6x ，则a ＝（ ）
A ．16
B ．8
C ．4
D ．﹣4
8．（5分）（2019•全国）已知双曲线C ：1（a ＞0，b ＞0），过C 的左焦点且垂直x 2a 2‒y 2
b
2=于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若以MN 为直径的圆经过C 的右焦点，则C 的离心率为（ ）
A ．1
B ．2
C ．
D ．
2+329．（5分）（2019•全国）3+33+35+…+32n +1＝（ ）
A ．（9n ﹣1）
B ．（9n +1﹣1）
C ．（9n ﹣1）
D ．（9n +1﹣1） 32323838
10．（5分）（2019•全国）已知tan A ＝2，则（ ） sin2A +cos 2A 1+cos2A
=
B ．
C ．3
D ．5
325211．（5分）（2019•全国）在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，在BC 边上随机取点P ，则∠BAP ＜30°的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 12332332
12．（5分）（2019•全国）正三棱锥P ﹣ABC 的侧面都是直角三角形，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则PB 与平面PEF 所成角的正弦为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 36663363
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
13．（5分）（2019•全国）若函数f （x ）＝e ax +ln （x +1），f '（0）＝4，则a ＝ ．
14．（5分）（2019•全国）已知向量（1，m ），（3，1），若⊥，则m →a =→b =→a →
b ＝ ．
15．（5分）（2019•全国）若5个男生和2个女生随机排成一行，则两端都是女生的概率为 ． 16．（5分）（2019•全国）若log （4x ﹣1）＞﹣2，则x 的取值范围是 ．
1217．（5分）（2019•全国）已知平面α截球O 的球面所得圆的面积为π，O 到α的距离为3，则球O 的表面积为 ．
18．（5分）（2019•全国）已知f （x ），若f （a ）+f （﹣2）＝0，则a ＝ ={
2x ，x ＜0x 2，
x ≥0三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（15分）（2019•全国）已知函数f （x ）＝2sin 2x ﹣4cos 2x +1．
（1）求f （x ）的最小正周期； （2）设g （x ）＝f （），求g （x ）在区间[0，]的最大值与最小值． x 2π3
20．（15分）（2019•全国）已知点A 1（﹣2，0），A 2（2，0），动点P 满足PA 1与PA 2的斜率之积等于，记P 的轨迹为C ． -14
（1）求C 的方程；
（2）设过坐标原点的直线1与C 交于M ，N 两点，且四边形MA 1NA 2的面积为2，2求l 的方程．
21．（15分）（2019•全国）数列{a n }中，a 1，2a n +1a n +a n +1﹣a n ＝0． =13
（1）求{a n }的通项公式；
（2）求满足a 1a 2+a 2a 3+…+a n ﹣1a n 的n 的最大值． ＜17
22．（15分）（2019•全国）已知函数f （x ）（x 2﹣ax ）．
=
x （1）当a ＝1时，求f （x ）的单调区间； （2）若f （x ）在区间[0，2]的最小值为，求a ． -23
2019年华侨、港澳、台联考高考数学试卷
参与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2019•全国）设集合P ＝{x |x 2﹣2＞0}，Q ＝{1，2，3，4}，则P ∩Q 的非空子集的个数为（ ）
A ．8
B ．7
C ．4
D ．3
【分析】可求出集合P ，从而进行交集的运算求出P ∩Q ＝{2，3，4}，从而得出P ∩Q 的非空子集的个数为：个．
C 31+C 32+C 33=7【解答】解：；
P ={x|x ＜-
2，或x ＞2}∴P ∩Q ＝{2，3，4}；
∴P ∩Q 的非空子集的个数为：个．
C 31+C 32+C 33=7故选：B ．
【点评】考查描述法、列举法表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算，集合子集的个数的求法． 2．（5分）（2019•全国）复数z 在复平面内对应的点在（ ） =1‒i 2i
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案．
【解答】解：∵z ， =1‒i 2i =(1‒i)(‒i)‒2i 2=‒12‒12i ∴z 在复平面内对应的点的坐标为（，），在第三象限． -12-12
故选：C ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．（5分）（2019•全国）若直线x ＝5与圆x 2+y 2﹣6x +a ＝0相切，则a ＝（ ）
A ．13
B ．5
C ．﹣5
D ．﹣13
【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得圆的半径r ＝5﹣3＝2，即可得2，解可得a 的值，即可得答案．
9-a =【解答】解：根据题意，圆x 2+y 2﹣6x +a ＝0即（x ﹣3）2+y 2＝9﹣a ，
其圆心为（3，0），半径r ，
=9‒a 若直线x ＝5与圆x 2+y 2﹣6x +a ＝0相切，则圆的半径r ＝5﹣3＝2， 则有2，
9-a =解可得：a ＝5；
故选：B ．
【点评】本题考查直线与圆相切的性质，注意分析圆的圆心与半径，属于基础题．
4．（5分）（2019•全国）经过点（1，﹣1，3）且与平面2x +y ﹣z +4＝0平行的平面方程为（ ）
A ．2x +y ﹣z +2＝0
B ．2x +y +z ﹣6＝0
C ．2x +y +z ﹣4＝0
D ．2x +y ﹣z ﹣3＝0
【分析】设与平面2x +y ﹣z +4＝0平行的平面方程为2x +y ﹣z +k ＝0，代入点的坐标求出k 的值即可．
【解答】解：设与平面2x +y ﹣z +4＝0平行的平面方程为2x +y ﹣z +k ＝0，
代入点（1，﹣1，3），得2×1﹣1﹣3+k ＝0，解得k ＝2，
则所求的平面方程为2x +y ﹣z +2＝0．
故选：A ．
【点评】本题考查了空间直角坐标系与平面方程的应用问题，是基础题．
5．（5分）（2019•全国）下列函数中，为偶函数的是（ ）
A ．y ＝（x +1）2
B ．y ＝2﹣x
C ．y ＝|sin x |
D ．y ＝lg （x +1）+lg （x ﹣1）
【分析】根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可．
【解答】解：A ．函数关于x ＝﹣1对称，函数为非奇非偶函数，
B ．函数的减函数，不具备对称性，不是偶函数，
C ，f （﹣x ）＝|sin （﹣x ）|＝|﹣sin x |＝|sin x |＝f （x ），
则函数f （x ）是偶函数，满足条件．
D ．由得得x ＞1，函数的定义为（1，+∞），定义域关于原点不对{x +1＞0x ‒1＞0{
x ＞-1x ＞1称，为非奇非偶函数，
故选：C ．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，结合函数奇偶性的定义和性质分别进行进行判断是解决本题的关键．
6．（5分）（2019•全国）（21）6的展开式中x 的系数是（ ）
x +A ．120 B ．60 C ．30 D ．15
【分析】由二项式定理及展开式的通项得：T r +1（2）6﹣r ＝26﹣r x ，令=C r 6x C r 66‒r 26‒r 2
1，解得r ＝4，则（21）6的展开式中x 的系数是2260，得解．
=x +C 46=【解答】解：由二项式（21）6的展开式的通项为T r +1（2）6﹣r ＝26﹣r x
x +=C r 6x C r 6，
6‒r
2令1， 6‒r 2=解得r ＝4，
则（21）6的展开式中x 的系数是2260，
x +C 46=故选：B ．
【点评】本题考查了二项式定理及展开式的通项，属中档题．
7．（5分）（2019•全国）若x 2+2除x 4+3x 3+a 的余式为﹣6x ，则a ＝（ ）
A ．16
B ．8
C ．4
D ．﹣4
【分析】x 4+3x 3+a ＝（x 2+2）（x 2+3x ﹣2）﹣6x +a +4，根据条件可得a +4＝0，解出a 即可．
【解答】解：x 4+3x 3+a ＝（x 2+2）（x 2+3x ﹣2）﹣6x +a +4，
∵x 2+2除x 4+3x 3+a 的余式为﹣6x ，
∴a +4＝0，∴a ＝﹣4．
故选：D ．
【点评】本题考查了整式的除法，正确理解被除式，除式，商，余式之间的关系是关键，属基础题．
8．（5分）（2019•全国）已知双曲线C ：1（a ＞0，b ＞0），过C 的左焦点且垂直x 2a 2‒y 2
b
2=于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若以MN 为直径的圆经过C 的右焦点，则C 的离心率为（ ）
A ．1
B ．2
C ．
D ．
2+32【分析】设双曲线的左焦点为F 1，右焦点为F 2，利用以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，可得|F 1M |＝|F 1F 2|，从而可建立方程，即可求得双曲线的离心率．
【解答】解：设双曲线C ：1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F 1，右焦点为F 2，
x 2a 2‒y 2
b 2=∵以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，∴|F 1M |＝|F 1F 2|，
∴2c ， b 2
a =∴c 2﹣a 2＝2ac ， ∴e 2﹣2e ﹣1＝0， ∴e ±1，
=
2∵e ＞1， ∴e 1，
=
2+故选：A ．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 9．（5分）（2019•全国）3+33+35+…+32n +1＝（ ）
A ．（9n ﹣1）
B ．（9n +1﹣1）
C ．（9n ﹣1）
D ．（9n +1﹣1）
3
23
23
83
8
【分析】可看出，数列3，33，35，…，32n +1是首项为3，公比为32的等比数列，并且32n +1是第n +1项，从而根据等比数列的前n 项和公式求该等比数列的前n +1项的和即可．
【解答】解：数列3，33，35，…，32n +1是首项为3，公比为32的等比数列； 且32n +1是第n +1项； ∴． 3+33
+35
+⋯+32n +1
=
3(1‒32n +2)
1‒32
=38
(9n +1‒1)故选：D ．
【点评】考查等比数列的定义，等比数列的前n 项和公式．
10．（5分）（2019•全国）已知tan A ＝2，则
（ ） sin2A +cos 2A
1+cos2A
=A ． B ． C ．3 D ．5
3252
【分析】利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简所求表达式为正切函数的形式，代入求解即可． 【解答】解：tan A ＝2，
则
． sin2A +cos 2A 1+cos2A =2sinAcosA +cos 2A 2cos 2A =2tanA +12=5
2故选：B ．
【点评】本题考查三角函数化简求值，同角三角函数基本关系式以及二倍角公式的应用．
11．（5分）（2019•全国）在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，在BC 边上随机取点P ，则∠BAP ＜30°的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12332332
【分析】我们要根据已知条件，动点P 到定点B 的距离|PB |对应线段的长度，代入几何概型计算公式即可求出答案． 【解答】解：
在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，Rt △ABC 为等腰直角三角形，令AB ＝BC ＝1，则：AC =2
；
在BC 边上随机取点P ，当∠BAP ＝30°时，BP ＝tan30°，
=3
3在BC 边上随机取点P ，则∠BAP ＜30°的概率为：p ， =
BP
BC =33故选：B ．
【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N （A ），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N ，最后根据P 求解．属于基础题． =
N(A)
N
12．（5分）（2019•全国）正三棱锥P ﹣ABC 的侧面都是直角三角形，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则PB 与平面PEF 所成角的正弦为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
36663363
【分析】以P 为原点，PA 为x 轴，PB 为y 轴，PC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PB 与平面PEF 所成角的正弦值．
【解答】解：∵正三棱锥P ﹣ABC 的侧面都是直角三角形，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，
∴以P 为原点，PA 为x 轴，PB 为y 轴，PC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设PA ＝PB ＝PC ＝2，
则A （2，0，0），B （0，2，0），C （0，0，2），E （1，1，0），F （0，1，1）， （0，2，0）
，（1，1，0），（0，1，1）， →
PB =→
PE =→
PF =设平面PEF 的法向量（x ，y ，z ），
→
n =则，取x ＝1，得（1，﹣1，1）， {
→n ⋅→
PE =x +y =0→n ⋅→PF =y +z =0
→
n =设PB 与平面PEF 所成角为θ， 则sin θ． =
|→PB ⋅→
n ||→
PB |⋅|→
n |
=2
23=3
3∴PB 与平面PEF 所成角的正弦值为．
3
3故选：C ．
【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
13．（5分）（2019•全国）若函数f （x ）＝e ax +ln （x +1），f '（0）＝4，则a ＝ 3 ． 【分析】对f （x ）求导，然后解方程f '（0）＝4，可得a 的值． 【解答】解：由
f （x ）＝e ax +ln （x +1），得
f '（x ）， =a e ax +
1
x +1
∵f '（0）＝4，∴f '（0）＝a +1＝4， ∴a ＝3． 故答案为：3．
【点评】本题考查了导数的基本运算，属基础题．
14．（5分）（2019•全国）已知向量（1，m ），（3，1），若⊥，则m ＝ ﹣→
a =→
b =→
a →
b 3 ．
【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m ． →
a ⊥→
b →a ⋅→
b =0【解答】解：∵； →
a ⊥→
b ∴； →a ⋅→
b =3+m =0∴m ＝﹣3． 故答案为：﹣3．
【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．
15．（5分）（2019•全国）若5个男生和2个女生随机排成一行，则两端都是女生的概率为
． 1
21
【分析】利用排列数和古典概型的定义求解即可．
【解答】解：5个男生和2个女生随机排成一行，总共有种A 77排法； 两端都是女生的排法有：A 21A 55A 11种； 由古典概型可得两端都是女生的概率为：P ； =
A 21A 55A 11
A 77
=
121
故答案为：P ；
=1
21
【点评】本题考查排列数，古典概型，属于基础题．
16．（5分）（2019•全国）若log （4x ﹣1）＞﹣2，则x 的取值范围是 ．
12
(14，5
4
)【分析】根据对数函数的单调性可得，解不等式组即可． {
4x -1＞0
4x ‒1＜4【解答】解：log （4x ﹣1）＞﹣2，
12
=lo g 12
4
∴，∴，
{
4x -1＞0
4x ‒1＜414＜x ＜54
∴x 的取值范围为．
(14，5
4)故答案为：．
(14，5
4
)【点评】本题考查了对数不等式的解法，根据对数函数的单调性是解决本题的关键，属基础题．
17．（5分）（2019•全国）已知平面α截球O 的球面所得圆的面积为π，O 到α的距离为3，则球O 的表面积为 40π ．
【分析】根据球心到平面的距离结合球的截面圆性质，利用勾股定理算出球半径R 的值，再根据球的表面积公式，可得球的表面积．
【解答】解：∵平面α截球O 的球面所得圆的面积为π，则圆的半径为1， 该平面与球心的距离d ＝3， ∴球半径R ．
=
12+32=10∴球的表面积S ＝4πR 2＝40π． 故答案为：40π．
【点评】本题考查球的表面积的求法，着重考查了球的截面圆性质，属于基础题． 18．（5分）（2019•全国）已知f （x ），若f （a ）+f （﹣2）＝0，则a ＝ 2
={
2x ，x ＜0x 2，x ≥0【分析】可讨论a ＜0和a ≥0，从而求出f （a ），再根据f （a ）+f （﹣2）＝0建立关于a 的方程，解出a 即可．
【解答】解：（1）若a ＜0，则：f （a ）+f （﹣2）＝2a ﹣4＝0； 解得a ＝2，不满足a ＜0，这种情况不存在； （2）若a ≥0，则：f （a ）+f （﹣2）＝a 2﹣4＝0； ∴a ＝2； 综上得，a ＝2． 故答案为：2．
【点评】考查分段函数的定义，以及已知函数求值的方法，分类讨论的思想．
三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（15分）（2019•全国）已知函数f （x ）＝2sin 2x ﹣4cos 2x +1．
（1）求f （x ）的最小正周期；
（2）设g （x ）＝f （），求g （x ）在区间[0，]的最大值与最小值．
x 2π
3【分析】利用倍角公式降幂并整理． （1）直接利用三角函数的周期公式求周期；
（2）求出g （x ）＝f （）的解析式，再由余弦函数的有界性求g （x ）在区间[0，]的
x 2π
3最大值与最小值．
【解答】解：f （x ）＝2sin 2x ﹣4cos 2x +1＝1﹣cos2x ﹣2（1+cos2x ）+1＝﹣3cos2x ． （1）f （x ）的最小正周期T ； =
2π
2
=π（2）g （x ）＝f （），
x
2
=
-3cos(2⋅x
2
)=‒3cosx ∵x ∈[0，]，
π
3
∴﹣3cos x ∈[﹣3，]．
-3
2即g （x ）在区间[0，]的最大值为，最小值为﹣3．
π3-3
2
【点评】本题考查y ＝A sin （ωx +φ）型函数的图象和性质，考查倍角公式的应用，是基础题．
20．（15分）（2019•全国）已知点A 1（﹣2，0），A 2（2，0），动点P 满足PA 1与PA 2的斜率之积等于，记P 的轨迹为C ． -
1
4
（1）求C 的方程；
（2）设过坐标原点的直线1与C 交于M ，N 两点，且四边形MA 1NA 2的面积为2，2求l 的方程．
【分析】（1）设P （x ，y ），运用直线的斜率公式，化简运算可得所求轨迹方程； （2）设直线l 方程为y ＝kx ，代入C 的方程，求得交点，再由四边形的面积公式，解方程可得斜率k ，进而得到所求方程．
【解答】解：（1）设P （x ，y ），由题意可得k •k •
， P A 1P A 2=
y x +2y x ‒2=‒1
4
化为y 2＝1（x ≠±2），
x 2
4
+可得C 的方程为y 2＝1（x ≠±2）；
x 2
4
+（2）当直线l 的斜率不存在，即直线方程为x ＝0，
可得四边形MA 1NA 2的面积为4×2＝4，不符题意，舍去； 12
×设直线l 方程为y ＝kx ，代入方程y 2＝1，可得x 2，y 2， x 24+=41+4k 2=4k 21+4k 2由M ，N 关于原点对称，可得四边形MA 1NA 2的面积为|y M ﹣y N |•|A 1A 2|•212=124k 2
1+4k 2•4＝2，
2解得k ＝±， 12
即有直线l 的方程为y ＝±x ． 12
【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线的斜率公式，以及联立方程求交点，考查化简运算能力，属于基础题．
21．（15分）（2019•全国）数列{a n }中，a 1，2a n +1a n +a n +1﹣a n ＝0． =13
（1）求{a n }的通项公式；
（2）求满足a 1a 2+a 2a 3+…+a n ﹣1a n 的n 的最大值． ＜17
【分析】（1）由2a n +1a n +a n +1﹣a n ＝0可得，可知数列{}是等差数列，求1a n +1‒1a n =21a n
出的通项公式可得a n ； 1a n
（2）由（1）知，然后利用裂项1a n ‒1a n =1(2n ‒1)(2n +1)=12(12n ‒1‒12n +1
)(n ≥2)相消法求出a 1a 2+a 2a 3+…+a n ﹣1a n ，再解不等式可得n 的范围，进而得到n 的最大值．
【解答】解：（1）∵2a n +1a n +a n +1﹣a n ＝0．
∴，又， 1a n +1‒1a n =21a 1
=3∴数列{}是以3为首项，2为公差的等差数列， 1a n
∴，∴； 1a n
=2n +1a n =12n +1（2）由（1）知， 1a n ‒1a n =1(2n ‒1)(2n +1)=12(12n ‒1‒12n +1
)(n ≥2)∴a 1a 2+a 2a 3+…+a n ﹣1a n =
12[(13‒15)+(15‒17)+⋯+(12n ‒1‒12n +1)]=12(13‒12n +1
)， ∵a 1a 2+a 2a 3+…+a n ﹣1a n ，∴， ＜1712(13‒12n +1)＜17
∴4n +2＜42，∴n ＜10，∵n ∈N *，
∴n 的最大值为9．
【点评】本题考查了等差数列的定义，通项公式和裂项相消法求出数列的前n 项和，考查了转化思想，关键是了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同，会根据数列的递推公式构造新数列，属中档题．
22．（15分）（2019•全国）已知函数f （x ）（x 2﹣ax ）． =
x （1）当a ＝1时，求f （x ）的单调区间；
（2）若f （x ）在区间[0，2]的最小值为，求a ． -23
【分析】（1）将a ＝1代入f （x ）中，然后求导，根据导函数的零点判断单调性导函数在各区间上的符合，从而得到单调区间；
（2）对f （x ）求导后，根据导函数的零点分a ≤0，a 三类分别求出f 0＜a ≤103＞103（x ）的最小值，让最小值等于，解出a ，然后判断是否符合条件即可． -23
【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）（x 2﹣x ）， =
x 则f '（x ）（x ≥0），令f '（x ）＝0，则x ， =x 52‒x 32=35
∴当0＜x 时，f '（x ）＜0；当x 时，f '（x ）＞0． ＜35＞35
∴f （x ）的单调递减区间为，单调递增区间为； (0，35)(35
，+∞)（2）f '（x ）（0≤x ≤2），令f '（x ）＝0，则x ， =52x 32‒32ax 12=3a 5
当a ≤0时，f '（x ）＞0，∴f （x ）在[0，2]上单调递增，∴，不f(x )min =f (0)=0≠‒23
符合条件；
当时，则当0＜x 时，f '（x ）＜0；当时，f （x ）＞0＜a ≤
1030＜3a 5≤2＜3a 53a 5
＜x ＜20， ∴f （x ）在上单调递减，在上单调递增， (0，3a 5)(3a 5
，2)∴，∴a ，符合条件； f(x )min =f (3a 5)=(3a 5)52‒a (3a 5)32=‒23=53
当a 时，则当0＜x ＜2时，f '（x ）＜0，∴f （x ）在（0，2）上单调递减， ＞103103
＞2∴，∴a ，不符合条件． f(x )min =f (2)=2(4‒2a )=‒23=2+26
∴f （x ）在区间[0，2]的最小值为，a 的值为． -2353
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了分类讨论思想和分类法，属中档题．下载本文
