本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2012～2013河北广平县高一期中试题)函数f(x)＝－x3－3x＋5有零的区间是(　　)

A．(－2，－1)　　　　    B．(－1,0)

C．(1,2)      D．(2,3)

[答案]　C

[解析]∵f(0)＝5，f(－1)＝9，f(1)＝1，f(2)＝－9，

∴f(1)f(2)＜0，故选C.

2．给出下列四个命题：①函数f(x)＝3x－6的零点是2；②函数f(x)＝x2＋4x＋4的零点是－2；③函数f(x)＝log3(x－1)的零点是1；④函数f(x)＝2x－1的零点是0.其中正确的个数为(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

[答案]　C

[解析]当log3(x－1)＝0时，x－1＝1，∴x＝2，故③错，其余都对．

3．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值(　　)

A．大于0　　　　　　　    B．小于0

C．等于0      D．无法判断

[答案]　D

[解析]　如图(1)和(2)都满足题设条件．

4．函数f(x)＝ax＋b的零点是－1(a≠0)，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是(　　)

A．－1      B．0

C．－1和0      D．1和0

[答案]　C

[解析]　由条件知f(－1)＝0，∴b＝a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1)的零点为0和－1.

5．(2012～2013山东鱼台一中期中试题)函数f(x)在区间[a，b]上为减函数，则f(x)在[a，b]上(　　)

A．至少有一个零点     B．只有一个零点

C．没有零点      D．至多有一个零点

[答案]　D

6．(2012～2013山东梁山一中期中试题)函数f(x)＝x－()x的零点个数为(　　)

A．0　　　　    B．1  

C．2　　　　    D．3

[答案]　B

[解析]　f(x)＝x－()x在(0，＋∞)上为增函数，

当x＝0时，f(0)＝－1＜0，

当x＝1时，f(1)＝＞0，

∴f(0)f(1)＜0，因此f(x)在(0,1)上有一个零点，又f(x)单调递增，因此只有这一个零点故选B.

7．(2012～2013山东梁山一中期中试题)若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下

A．1.2     B．1.3125

C．1.4375      D．1.25

[答案]　B

[解析]　由于f(1.375)＞0，f(1.3125)＜0，且

1．375－1.3125＜0.1，故选B.

8．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额，

①如果不超过200元，则不予优惠．

②如果超过200元，但不超过500元，则按标准价给予9折优惠．

③如果超过500元，则其500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．

某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是(　　)

A．413.7元      B．513.6元

C．546.6元      D．548.7元

[答案]　C

[解析]　两次购物标价款：168＋＝168＋470＝638(元)，实际应付款：500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．

9．(2012～2013河北广平县高一期中试题)“龟兔赛跑”讲过了这样一个故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快，到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路线，t为时间，则图中与故事情节相吻合的是(　　)

[答案]　D

10．设函数f(x)＝，则方程f(x)＝的解为(　　)

A.      B．3

C．3或      D．无解

[答案]　B

[解析]　当x≤1时 2－x＝∴x＝(舍)，

当x>1时log81x＝∴x＝3，故选B.

11．一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人先前进3步再后退2步的规律移动，如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向以一步的距离为一个单位长度．令P(n)表示第n s时机器人所在位置的坐标，且记P(0)＝0，则下列结论中错误的是(　　)

A．P(3)＝3      B．P(5)＝1

C．P(2 003)>P(2 005)      D．P(2 007)>P(2 008)

[答案]　D

[解析]　机器人程序为前进3步、后退2步，则P(3)＝3，P(5)＝1均正确，即5步等于前进了一个单位长度，

∴P(2 003)＝P(2 000)＋P(3)＝403，

P(2 005)＝P(2 000)＋P(5)＝401，

∴P(2 003)>P(2 005)正确．

又P(2 007)＝P(2 005)＋P(2)＝403，

P(2 008)＝P(2 005)＋P(3)＝404，

∴P(2 007)>P(2 008)错误．

12．已知函数f(x)的图象如图，则它的一个可能的解析式为(　　)

A．y＝2      B．y＝4－

C．y＝log3(x＋1)      D．y＝x (x≥0)

[答案]　B

[解析]　由于过(1,2)点，排除C、D；由图象与直线y＝4无限接近，但到达不了，即y＜4知排除A，∴选B.

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．如函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________．

[答案]　3

[解析]　代入x＝0得m＝－3.

∴f(x)＝x2－3x，则x2－3x＝0得x1＝0，x2＝3

因此另一个零点为3.

14．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关，且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格，则7月份该产品的市场收购价格应为________.

15．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，其零点为x1，x2，…，x2013，则x1＋x2＋…＋x2013＝________.

[答案]　0

[解析]　由于奇函数图象关于原点对称，因此零点是对称，所以x1＋x2＋…＋x2013＝0.

16．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．

①有三个实根；

②x＞1时恰有一实根；

③当0＜x＜1时恰有一实根；

④当－1＜x＜0时恰有一实根；

⑤当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．

[答案]　①⑤

[解析]　f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，)和(，1)内，故只有①⑤正确．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)方程x2－＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由．

[解析]　不存在，因为当x＜0时，－＞0，

∴x2－＞0恒成立，故不存在x∈(－∞，0)，使x2－＝0.

18．(本小题满分12分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？

[解析]　设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意有

y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)

＝0.5x＋625，x∈[250,400]．

该函数在[250,400]上单调递增，所以x＝400时，ymax＝825(元)．

答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．

19．(本小题满分12分)某公司今年1月份推出新产品A，其成本价为492元/件，经试销调查，销售量与销售价的关系如下表：

试问：销售价定为多少时，1月份利润最大？并求最大利润和此时的销售量．

[解析]　由表可知⇒

故y＝－x＋1000.

设1月份利润为W，则

W＝(x－492)(－x＋1000)＝－x2＋1492x－492000＝－(x－746)2＋516，

∴当x＝746，Wmax＝516，此时销售量为1000－746＝254件，即当销售价定为746元/件时，1月份利润最大，最大利润为516元，此时销售量为254件．

20．(本小题满分12分)用二分法求f(x)＝x3＋x2－2x－2在x的正半轴上的一个零点(误差不超过0.1)．

[解析]　显然f(2)＝23＋22－2×2－2＝6＞0.

当x＞2时f(x)＞0，又f(0)＝－2＜0，f(1)＝－2＜0，

故f(x)在(1,2)区间内有零点.

21．(本小题满分12分)铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法是：行李质量不超过50kg时，按0.25元/kg计算；超过50kg而不超过100kg时，其超过部分按0.35元/kg计算；超过100kg时，其超过部分按0.45元/kg计算．

(1)计算出托运费用；

(2)若行李质量为56kg，托运费用为多少？

[解析]　(1)设行李质量为xkg，托运费用为y元，则

①若0＜x≤50，则y＝0.25x；

②若50＜x≤100，由y＝12.5＋0.35(x－50)；

③若x＞100，则y＝30＋0.45(x－100)，

所以，由①②③可知，

y＝

(2)因为50kg＜56kg＜100kg，所以y＝12.5＋6×0.35＝14.6元．

22．(本小题满分12分)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.

(1)求每年砍伐面积的百分比．

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

(3)今后最多还能砍伐多少年？

[分析]　(1)根据10年的砍伐面积为原来的一半，列方程求解．

(2)根据到今年为止，森林剩余面积为原来的，列方程求解．

(3)求出第n年后森林剩余面积，根据森林面积至少要保留原面积的列不等式求解．

[解析]　(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0解得x＝1－().

(2)设经过m年剩余面积为原来的，则

a(1－x)m＝a，即()＝()，

＝，解得m＝5.

故到今年为止，已砍伐了5年．

(3)设从今年开始，以后砍伐了n年，

则n年后剩余面积为a(1－x)n.

令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，

故今后最多还能砍伐15年．

[规律总结]　通过本题，重点强调高次方程、指数不等式的解法．对于高次方程应让学生明确，主要是开方运算；对于指数不等式，强调化为同底，应用指数函数的单调性求解，本题中化为同底是一大难点．下载本文