一、平面的基本性质

公理1  如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

公理2  如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

公理3  经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.

推论1  经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2  经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3  经过两条平行直线，有且只有一个平面.

公理4  平行于同一条直线的两条直线互相平行

二 、空间线面的位置关系

                共面  平行—没有公共点

(1)直线与直线         相交—有且只有一个公共点

异面 (既不平行，又不相交)

               直线在平面内—有无数个公共点

(2)直线和平面  直线不在平面内  平行—没有公共点

               (直线在平面外)  相交—有且只有一公共点

(3)平面与平面    相交—有一条公共直线(无数个公共点)

平行—没有公共点

三、线面平行与垂直的判定

 (1)两直线平行的判定

①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.

②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

③垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b（线面垂直的性质定理）

④两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b（面面平行的性质公理）

⑤中位线定理、平行四边形、比例线段……，α∩β=b,则a∥b.（线面平行的判定定理）

⑥平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.（公理4）

 (2)两直线垂直的判定

①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.

②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c

③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,bα，a⊥b.

④利用勾股定理，等腰三角形三线合一。

 (3)直线与平面平行的判定

①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.

②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若aα,bα，a∥b,则a∥α.（线面平行的判定定理）

③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,lα，则l∥β.

 (4)直线与平面垂直的判定

①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.（线面垂直判定定理）

③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.

④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.

⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,则l⊥α.(面面垂直的性质定理)

(5)两平面平行的判定

①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β.

②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.（面面平行判定定理）

(6)两平面垂直的判定

①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.

②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,lα，则α⊥β.

（面面垂直判定定理）

四、空间中的各种角

定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.

推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.

1、异面直线所成的角

(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.

(2)取值范围： 0°＜θ≤90°.

(3)求解方法

①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；

②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.

3、二面角及二面角的平面角

(1)半平面  直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.

(2)二面角  一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.

二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是

0°＜θ≤180°

(3)二面角的平面角

①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.

②找(或作)二面角的平面角的主要方法.

(i)定义法

(ii)三垂线法

先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.

五 表面积公式和体积公式下载本文