一、选择题

1．2020的相反数是（　　）

A．2020    B．﹣2020    C．    D．

2．4月5日，龙华区发放5000万元餐饮消费券，数据5000万元用科学记数法表示为（　　）

A．5×107元    B．50×106元    C．0.5×108元    D．5×103元

3．下列几何体中，主视图和左视图都相同的个数有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

4．下列图形中既是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

5．下列运算中正确的是（　　）

A．2a3﹣a3＝2    B．2a3•a4＝2a7    C．（2a2）3＝6a5    D．a8÷a2＝a4

6．某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是10，8，6，9，8，7，8，对于这组数据，下列判断中错误的是（　　）

A．众数是8    B．中位数是8    C．平均数是8    D．方差是8

7．不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）

A．    B．    

C．    D．

8．如图，直线a∥b∥c，等边三角形△ABC的顶点A、B、C分别在直线a、b、c上，边BC与直线c所夹的角∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）

A．25°    B．30°    C．35°    D．45°

9．下列命题中，是真命题的是（　　）

A．三角形的外心到三角形三边的距离相等    

B．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形    

C．方程x2+2x+3＝0有两个不相等的实数根    

D．将抛物线y＝2x2﹣2向右平移1个单位后得到的抛物线是y＝2x2﹣3

10．甲、乙两个工厂生产同一种类型口罩，每个小时甲厂比乙厂多生产1000个这种类型的口罩，甲厂生产30000个这种类型的口罩所用的时间与乙厂生产25000个这种类型的口罩的时间相同．设甲厂每小时生产这种类型的口罩x个，依据题意列方程为（　　）

A．＝    B．＝    

C．＝    D．＝

11．定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值为（　　）

A．﹣12    B．0    C．4    D．16

12．如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为﹣2．其中正确的有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

二、填空题（每小题3分，共12分）

13．分解因式：2a2﹣8＝　   　．

14．有6张同样的卡片，卡片上分别写上“清明节”、“复活节”、“端午节”、“中秋节”、“圣诞节”、“元宵节”，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后随机从中抽取一张，抽到标有节日是中国传统节日的概率是　   　．

15．如图，矩形ABCD中，AD＝2，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AD于M、N两点，分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接AP并延长交CD于点E，以A为圆心，AE为半径作弧，此弧刚好过点B，则CE的长为　   　．

16．如图，已知直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝（x＞0）交于C、D两点，且∠AOC＝∠ADO，则k的值为　   　．

三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，共52分）

17．计算：|1﹣|﹣（）﹣1+（2020﹣π）0﹣2cos45°．

18．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝tan260°．

19．在“停课不停学”期间，某校数学兴趣小组对本校同学观看教学视频所使用的工具进行了调查，并从中随机抽取部分数据进行分析，将分析结果绘制成了两幅不完整的统计表与统计图．

（1）所抽取出来的同学共　   　人，表中a＝　   　，b＝　   　；

（2）请补全条形统计图；

（3）若该校观看教学视频的学生总人数为2500人，则使用电脑的学生人数约　   　人．

20．在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．

（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）

（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）

（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，tan18°≈0.3，≈1.4，≈1.7）

21．随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．

（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；

（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？

22．如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交于⊙O点E，连接AE、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∠ABC＝30°．

（1）求证：AF是⊙O的切线；

（2）若BC＝6，CD＝3，则DE的长为　   　；

（3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．

23．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）若直线l：线y＝﹣x+m与该抛物线交于D、E两点，如图．

①连接CD、CE、BE，当S△BCE＝3S△CDE时，求m的值；

②是否存在m的值，使得原点O关于直线l的对称点P刚好落在该抛物线上？如果存在，请直接写出m的值；如果不存在，请说明理由．

参

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．2020的相反数是（　　）

A．2020    B．﹣2020    C．    D．

【分析】直接利用相反数的定义得出答案．

解：2020的相反数是：﹣2020．

故选：B．

2．4月5日，龙华区发放5000万元餐饮消费券，数据5000万元用科学记数法表示为（　　）

A．5×107元    B．50×106元    C．0.5×108元    D．5×103元

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

解：5000万＝50000000＝5×107（元）．

故选：A．

3．下列几何体中，主视图和左视图都相同的个数有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．

解：圆柱的主视图、左视图都是长方形，故此选项符合题意；

立方体的主视图、左视图都是正方形，故此选项符合题意；

圆锥体的主视图左视图都是三角形，故此选项符合题意；

球的主视图、左视图都是半径相同的圆，故此选项符合题意；

故选：D．

4．下列图形中既是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．

解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

5．下列运算中正确的是（　　）

A．2a3﹣a3＝2    B．2a3•a4＝2a7    C．（2a2）3＝6a5    D．a8÷a2＝a4

【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．

解：A、2a3﹣a3＝a3，故此选项错误；

B、2a3•a4＝2a7，正确；

C、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；

D、a8÷a2＝a6，故此选项错误．

故选：B．

6．某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是10，8，6，9，8，7，8，对于这组数据，下列判断中错误的是（　　）

A．众数是8    B．中位数是8    C．平均数是8    D．方差是8

【分析】由题意可知：这组数据的平均数＝（10+8+6+9+8+7+8）÷7；总数个数是奇数的，按从小到大的顺序排列，取中间的那个数便为中位数，按此方法求中位数；一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数，这组数据8出现次数最多，由此求出众数；一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，按此方法计算方差．

解：平均数＝（10+8+6+9+8+7+8）÷7＝8，；

按从小到大排列为：6，7，8，8，8，9，10，

∴中位数是8；

∵8出现了3次，次数最多，

∴众数是8；

方差S2＝[（10﹣8）2+（8﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2]＝1.25．

所以D错误．

故选：D．

7．不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】分别解不等式进而得出不等式组的解集，进而在数轴上表示即可．

解：，

解①得：x＞﹣1，

解②得：x≤2，

故不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，

在数轴上表示解集为：

．

故选：A．

8．如图，直线a∥b∥c，等边三角形△ABC的顶点A、B、C分别在直线a、b、c上，边BC与直线c所夹的角∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）

A．25°    B．30°    C．35°    D．45°

【分析】根据平行线的性质和等边三角形的性质即可得到结论．

解：∵b∥c，

∴∠3＝∠1＝25°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

∴∠4＝∠ABC﹣∠3＝60°﹣25°＝35°，

∵a∥b，

∴∠2＝∠4＝35°，

故选：C．

9．下列命题中，是真命题的是（　　）

A．三角形的外心到三角形三边的距离相等    

B．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形    

C．方程x2+2x+3＝0有两个不相等的实数根    

D．将抛物线y＝2x2﹣2向右平移1个单位后得到的抛物线是y＝2x2﹣3

【分析】利用三角形的外心的性质、中点四边形、一元二次方程根的判别式及抛物线的平移规律分别判断后即可确定正确的选项．

解：A、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原命题是假命题；

B、顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形，正确，是真命题；

C、∵△＝4﹣4×3×1＝﹣8＜0，

∴方程x2+2x+3＝0无实数根，原命题是假命题；

D、将抛物线y＝2x2﹣2向右平移1个单位后得到的抛物线是y＝2（x﹣1）2﹣2，原命题是假命题；

故选：B．

10．甲、乙两个工厂生产同一种类型口罩，每个小时甲厂比乙厂多生产1000个这种类型的口罩，甲厂生产30000个这种类型的口罩所用的时间与乙厂生产25000个这种类型的口罩的时间相同．设甲厂每小时生产这种类型的口罩x个，依据题意列方程为（　　）

A．＝    B．＝    

C．＝    D．＝

【分析】直接利用甲厂生产30000个和乙厂生产25000个口罩的时间相同得出等式即可．

解：设甲厂每小时生产这种类型的口罩x个，依据题意列方程为：

＝．

故选：C．

11．定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值为（　　）

A．﹣12    B．0    C．4    D．16

【分析】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出m、n的方程，求得m、n便可．

解：∵点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的点，

∴n＝m2+k，

∴k＝n﹣m2，

∴点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，

∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16，

∴|m|＝4，|n|＝4，

当n≥0时，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12；

当n＜0时，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20．

故选：A．

12．如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为﹣2．其中正确的有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【分析】连接AE，过E作EH⊥AB于H，则EH＝BC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到AF＝EG，故①正确；根据平行线的性质和德艺双馨的判定和性质即可得到PE＝PC；故②正确；连接EF，推出点E，P，F，C四点共圆，根据圆周角定理得到∠FEC＝∠FPC＝45°，于是得到BF＝DE＝1，故③正确；取AE 的中点O，连接PO，CO，根据直角三角形的性质得到AO＝PO＝AE，推出点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，当OC最小时，CP的值最小，根据三角形的三边关系得到PC≥OC﹣OP，根据勾股定理即可得到结论．

解：连接AE，过E作EH⊥AB于H，

则EH＝BC，

∵AB＝BC，

∴EH＝AB，

∵EG⊥AF，

∴∠BAF+∠AGP＝∠BAF+∠AFB＝90°，

∴∠EGH＝∠AFB，

∵∠B＝∠EHG＝90°，

∴△HEG≌△ABF（AA），

∴AF＝EG，故①正确；

∵AB∥CD，

∴∠AGE＝∠CEG，

∵∠BAF+∠AGP＝90°，∠PCF+∠PCE＝90°，

∵∠BAF＝∠PCF，

∴∠AGE＝∠PCE，

∴∠PEC＝∠PCE，

∴PE＝PC；故②正确；

连接EF，

∵∠EPF＝∠FCE＝90°，

∴点E，P，F，C四点共圆，

∴∠FEC＝∠FPC＝45°，

∴EC＝FC，

∴BF＝DE＝1，

同理当当F运动到C点右侧时，此时∠FPC＝45°，且EPCF四点共圆，EC＝FC＝3，故此时BF＝BC+CF＝4+3＝7．因此BF＝1或7，故③错误；

取AE 的中点O，连接PO，CO，

∴AO＝PO＝AE，

∵∠APE＝90°，

∴点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，

∴当OC最小时，CP的值最小，

∵PC≥OC﹣OP，

∴PC的最小值＝OC﹣OP＝OC﹣AE，

∵OC＝＝，AE＝＝，

∴PC的最小值为﹣，故④错误，

故选：B．

二、填空题（每小题3分，共12分）

13．分解因式：2a2﹣8＝　2（a+2）（a﹣2）　．

【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

解：2a2﹣8

＝2（a2﹣4），

＝2（a+2）（a﹣2）．

故答案为：2（a+2）（a﹣2）．

14．有6张同样的卡片，卡片上分别写上“清明节”、“复活节”、“端午节”、“中秋节”、“圣诞节”、“元宵节”，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后随机从中抽取一张，抽到标有节日是中国传统节日的概率是　　．

【分析】直接根据概率公式求解即可得出答案．

解：∵有6张同样的卡片，卡片上分别写上“清明节”、“复活节”、“端午节”、“中秋节”、“圣诞节”、“元宵节”，抽到标有节日是中国传统节日的有4种

∴抽到标有节日是中国传统节日的概率是＝；

故答案为：．

15．如图，矩形ABCD中，AD＝2，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AD于M、N两点，分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接AP并延长交CD于点E，以A为圆心，AE为半径作弧，此弧刚好过点B，则CE的长为　2﹣2　．

【分析】连接BE，根据作图过程可得，AE平分∠DAB，得∠DAE＝∠EAB，根据四边形ABCD是矩形，可得DC∥AB，∠D＝90°，再根据勾股定理可得AE的长，进而求出CE的长．

解：如图，连接BE，

根据作图过程可知：

AE平分∠DAB，

∴∠DAE＝∠EAB，

∵四边形ABCD是矩形，

∴DC∥AB，∠D＝90°，

∴∠DAE＝∠EAB，

∴∠EAB＝∠AED，

∴∠DAE＝∠AED，

∴DE＝AD＝2，

∴DE＝＝2，

∴DC＝AB＝AE＝2，

∴CE＝DC﹣DE＝2﹣2．

故答案为：2﹣2．

16．如图，已知直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝（x＞0）交于C、D两点，且∠AOC＝∠ADO，则k的值为　　．

【分析】先利用面积判断出BD＝AC，再判断出△AOC∽△ADO，进而建立方程求出AC＝BD，再判断出△ACE∽△ABO，进而求出CE，OE，即可得出结论．

解：由已知得OA＝2，OB＝4，根据勾股定理得出，AB＝2，

如图，过点C作CE⊥x轴于E，作CG⊥y轴G，过点D作DH⊥x轴于H，作DF⊥y轴于F，连接GH，GD，CH，

∵点C，D是反比例图象上的点，

∴S矩形FDHO＝S矩形GCEO，

∴S矩形FDHO＝S矩形GDEO．

∴S△DGH＝S△GHC．

∴点C，D到GH的距离相等．

∴CD∥GH．

∴四边形BDHG和四边形GHAC都是平行四边形．

∴BD＝GH，GH＝CA．

即BD＝AC；

设AC＝BD＝m，

∵∠AOC＝∠ADO，

CAO＝∠DAO，

∴△AOC∽△ADO，

∴，

∴AO2＝AC•AD，

∴22＝m（2﹣m），

∴m＝±1（舍去+1），

过点C作CE⊥x轴于点E，

∴△ACE∽△ABO，

∴，

∴，

∴AE＝，CE＝，

∴OE＝OA﹣AE＝2﹣＝•OE＝＝，

故答案为：．

三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，共52分）

17．计算：|1﹣|﹣（）﹣1+（2020﹣π）0﹣2cos45°．

【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．

解：原式＝﹣1﹣3+1﹣2×

＝﹣1﹣3+1﹣

＝﹣3．

18．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝tan260°．

【分析】直接利用分式的混合运算法则计算，进而结合特殊角的三角函数值得出x的值代入即可．

解：原式＝÷

＝•

＝，

∵x＝tan260°＝3，

∴当x＝3时，原式＝．

19．在“停课不停学”期间，某校数学兴趣小组对本校同学观看教学视频所使用的工具进行了调查，并从中随机抽取部分数据进行分析，将分析结果绘制成了两幅不完整的统计表与统计图．

（1）所抽取出来的同学共　200　人，表中a＝　0.22　，b＝　40　；

（2）请补全条形统计图；

（3）若该校观看教学视频的学生总人数为2500人，则使用电脑的学生人数约　1000　人．

【分析】（1）根据不确定的人数和频率求出抽取的总人数，再根据用手机的人数除以总人数求出a，用总人数乘以平板的频率即可求出b；

（2）根据（1）求出平板的人数，即可补全统计图；

（3）用该校观看教学视频的总人数乘以使用电脑的学生人数所占的百分比即可．

解：（1）所抽取出来的同学共有：16÷0.08＝200（人），

a＝＝0.22，b＝200×0.2＝40；

故答案为：200，0.22，40；

（2）根据（1）求出b的值，补全统计图如下：

（3）根据题意得：

2500×＝1000（人），

答：使用电脑的学生人数约1000人．

故答案为：1000．

20．在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．

（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）

（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）

（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，tan18°≈0.3，≈1.4，≈1.7）

【分析】（1）由已知得AP＝BP＝AB＝16cm，根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；

（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据锐角三角函数求出AF和BF的长，进而求出显示屏顶端A与底座C的距离AC．

解：（1）由已知得AP＝BP＝AB＝16cm，

在Rt△APE中，

∵sin∠AEP＝，

∴AE＝＝≈≈53，

答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53km；

（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，

∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，

∴∠BAF＝∠AEP＝18°，

在Rt△ABF中，

AF＝AB•cos∠BAF＝32×cos18°≈32×0.9≈28.8，

BF＝AB•sin∠BAF＝32×sin18°≈32×0.3≈9.6，

∵BF∥CD，

∴∠CBF＝∠BCD＝30°，

∴CF＝BF•tan∠CBF＝9.6×tan30°＝9.6×≈5.44，

∴AC＝AF+CF＝28.8+5.44≈34（cm）．

答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．

21．随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．

（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；

（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？

【分析】（1）直接利用连续两次平均增长率求法得出等式求出答案；

（2）根据题意求出a的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案．

解：（1）设该公司生长A型无人机每月产量的平均增长率为x，根据题意可得：

2000（1+x）2＝12500，

解得：x1＝1.5＝150%，x2＝﹣3.5（不合题意舍去），

答：该公司生长A型无人机每月产量的平均增长率为150%；

（2）设生产A型号无人机a架，则生产B型号无人机（100﹣a）架，需要成本为w元，依据题意可得：

a≤3（100﹣a），

解得：a≥75，

w＝200a+300（100﹣a）＝﹣100a+30000，

∵﹣100＜0，

∴当a的值增大时，w的值减小，

∵a为整数，

∴当a＝75时，w取最小值，此时100﹣75＝25，

w＝﹣100×75+30000＝22500，

∴公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小．

22．如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交于⊙O点E，连接AE、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∠ABC＝30°．

（1）求证：AF是⊙O的切线；

（2）若BC＝6，CD＝3，则DE的长为　9　；

（3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．

【分析】（1）如图1中，连接AC，OC，OA．想办法证明OA∥BF即可解决问题．

（2）证明△BCD∽△ECB，推出＝，求出CE即可解决问题．

（3）如图2中，连接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延长线于N．证明△ACE∽△ABN，推出＝＝可得结论．

【解答】（1）证明：如图1中，连接AC，OC，OA．

∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠CAO＝60°，

∵＝，

∴AB⊥OC，

∴∠OAD＝∠OAC＝30°，

∵∠ABC＝30°，

∴∠ABC＝∠OAD，

∴OA∥BF，

∵AF⊥BF，

∴OA⊥AF，

∴AF是⊙O的切线．

（2）解：∵＝，

∴∠CBD＝∠BEC，

∵∠BCD＝∠BCE，

∴△BCD∽△ECB，

∴＝，

∴＝，

∴EC＝12，

∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9．

故答案为9．

（3）解：结论：＝，的值不变．

理由：如图2中，连接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延长线于N．

∵＝，

∴OC⊥AB，CB＝CA，

∴BH＝AH＝AB，

∵∠ABC＝30°，

∴BH＝BC，

∴AC＝AB，

∵CE∥AN，

∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝∠ABC＝30°，

∴∠CEA＝∠ABC＝30°，∠EAN＝∠N，

∴∠N＝∠AEC，AE＝EN，

∵∠ACE＝∠ABN，

∴△ACE∽△ABN，

∴＝＝，

∴＝，

∴的值不变．

23．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）若直线l：线y＝﹣x+m与该抛物线交于D、E两点，如图．

①连接CD、CE、BE，当S△BCE＝3S△CDE时，求m的值；

②是否存在m的值，使得原点O关于直线l的对称点P刚好落在该抛物线上？如果存在，请直接写出m的值；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c转化为解方程组即可解决问题．

（2）①首先证明l∥BC，由S△BCE＝3S△CDE，推出BC＝3DE，推出直线l应该在BC的上方，在BC上取一点F，使得BC＝3BF，推出四边形BEDF是平行四边形，由C（0，），B（3，0），BC＝3BF，推出F（2，），设D（n，0n+m），则E（n+1，﹣（n+1）+m），将它们代入抛物线的解析式，解方程组即可解决问题．

②如图2中，过点O作OM⊥BC交抛物线于M或M′．由题意直线l经过OM或OM′的中点，构建方程组求出点M，M′的坐标即可解决问题．

解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c可得：

，

解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+．

（2）①如图1中，

对于y═﹣x2+x+，令x＝0，可得y＝，

∴C（0，），

∵B（3，0），

∴OC＝，OB＝3，

∴tan∠CBO＝，

∴∠CBO＝30°，

∵直线l：y＝﹣x+m与x轴交于N（m，0）与y轴交于M（0，m），

∴tan∠MNO＝＝，

∴∠NMO＝30°＝∠CBO，

∴l∥BC，

∵S△BCE＝3S△CDE，

∴BC＝3DE，

∴直线l应该在BC的上方，

在BC上取一点F，使得BC＝3BF，

∴BF＝DE，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵C（0，），B（3，0），BC＝3BF，

∴F（2，），

设D（n，0n+m），则E（n+1，﹣（n+1）+m），将它们代入抛物线的解析式得到：

，

解得，

∴m的值为．

②如图2中，过点O作OM⊥BC交抛物线于M或M′．

则直线OM的解析式为y＝x，

由，解得或，

∴M（，），M′（，），

由题意直线l经过OM或OM′的中点，

∴＝﹣×+m或＝﹣×+m，

解得m＝．下载本文