数    学

2021.5

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.“沿着高速”，镶嵌于正阳门前的“中国公路零公里点”标志牌见证了中国高速公路从“零”出发的跨越式发展。截至2020年底，我国高速公路总里程已达160000公里。将160000用科学记数法表示应为

（A）0.16×106        （B）1.6×106        （C）1.6×105        （D）16×104

2.下列图形中，是中心对称图形的是

3.以下变形正确的是

（A）                    （B）

（C）                    （D）

4.若右图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是

（A）正三棱柱                    （B）正方体

（C）圆柱                        （D）圆锥

5.半径为2cm，圆心角为90°的扇形的面积等于

（A）1cm2        （B）πcm2        （C）2πcm2        （D）4πcm2

6.若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为

（A）1：16        （B）16：1        （C）1：4        （D）1：2

7.密云水库是首都北京重要水源地，水源地生态保护对保障首都水源安全及北京市生态和城市可持续发展具有不可替代的作用。以下是1986-2020年密云水库水体面积和年降水量变化图。

1986-2020年密云水库水体面积和年降水量变化图

对于现有数据有以下结论：

①2004年的密云水库水体面积最小，仅约为20 km2；

②2015-2020年，密云水库的水体面积呈持续增加趋势，表明水资源储备增多；

③在1986-2020年中，2020年的密云水库水体面积最大，约为170 km2；

④在1986-2020年中，密云水库年降水量最大的年份，水体面积也最大。

其中结论正确的是

（A）②③        （B）②④        （C）①②③        （D）

8.如图，，点B在射线AN上，。点P在射线AM上运动（点P不与点A重合），连接BP。以点B为圆心，BP为半径作弧交射线AN于点Q，连接PQ.若，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图大致是

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是        .

10.分解因式：             .

11.50件外观相同的产品中 2件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是            .

12.在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴的交点的坐标为      .

13.如图，直线l为线段AB的垂直平分线，垂足为C，直线l上的两点E，F位于AB异侧（E，F两点不与点C重合），只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是          . 

14.图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两部分。图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成，在菱形ABCD中，，在对角线AC上截取，连接BE，DE，可将菱形分割为“风筝”（凸四边形ABED）和“飞镖”（凹四边形BCDE）两部分，则图2中的α=         °

15.从1，2，3，4，5中选择四个数字组成四位数，其中a，b，c，d分别代表千位、百位、十位、个位数字，若要求这个四位数同时满足以下条件：①是偶数；②；③，请写出一个符合要求的数        。

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：，直线l2：.直线交l1于点A1，交l2于点B1，过点B1作y轴的垂线交l1于点A2，过点A2作x轴的垂线，交l2于点B2，过点B2及作y轴的垂线交l1于点A3，…，按此方式进行下去，则B1的坐标为      ，Bn的坐标为       （用含n的式子表示，n为正整数）。

三、解答题（本题共68分，第17-19题，每小题5分，第20题6分，第21-23题，每小题5分，第24-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）

解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算：

18.解不等式：

19.已知，求代数式的值.

20.已知关于x的方程有两个实数根.

（1）求k的取值范围;

（2）当k取最大整数时，求此时方程的根.

21.下面是小华设计的“作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）.

（1）求证：四边形ADCE为矩形：

（2）连接DE，若，求DE的长. 

23.在平面直角坐标系xOy中，直线l：，函数的图象为F，

（1）若在函数的图象F上，求直线l对应的函数解析式；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记直线l：，图象F和直线围成的区域（不含边界）为图形G.

①在（1）的条件下，写出图形G内的整点的坐标；

②若图形G内有三个整点，直接写出k的取值范围.

24.某大学共有9000名学生，为了解该大学学生的阅读情况，小华设计调查问卷，用随机抽样的方式调查了150名学生，并对相关数据进行了收集、整理、描述和分析。下面是其中的部分信息：

a.所调查的150名学生最常用的一种阅读方式统计图如图1。

b.选择手机阅读为最常用的一种阅读方式的学生中，平均每天阅读时长统计表如表1：

表1 使用手机阅读的学生平均每天阅读时长统计表

平均每天阅读时长x

60   60   66   68   68   69   70   70  72   72   72   73   75   80   83   84   85

根据以上信息解答下列问题：

（1）图1中m=        ，表1中n=         ；

（2）使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长的中位数是      ，平均每天阅读时长在这一组的数据的众数是        ；

（3）根据所调查的这150名学生的阅读情况，估计该校使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长少于半小时的人数。

25.如图，在Rt△ABC中，，点O在AC上，，点D在AB上，以点O为圆心，OD为半径作圆，交DO的延长于点E，交AC于点F，.

（1）求证：AB为O的切线：

（2）若O的半径为3，，求BD的长.

26.在平而直角坐标系xOy中，为抛物线上两点，其中.

（1）求抛物线与x轴的交点坐标；

（2）若，点M，点N在抛物线上运动，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线,两条垂线交于点Q，当△MNQ为等腰直角三角形时，求a的值；

（3）记抛物线在M，N两点之间的部分为图象G（包含M，N两点），若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，直接写出t的取值范围。

27.如图，在△ABC中，，点P为△ABC外一点，点P与点C位于直线AB异侧，且，过点C作，垂足为D.

（1）当时，在图1中补全图形，并直接写出线段AP与CD之间的数最关系；

（2）如图2，当时，

①用等式表示线段AP与CD之间的数量关系，并证明；

②在线段AP上取一点K，使得，画出图形并直接写出此时的值.

28.对于平面内的点M，如果点P，点Q与点M所构成的△MPQ是边长为1的等边三角形，则称点P，点Q为点M的一对“关联点”。进一步地，在△MPQ中，若顶点M，P，Q按顺时针排列，则称点P，点Q为点M的一对“顺关联点”，若顶点M，P，Q按逆时针排列，则称点P，点Q为点M的一对“逆关联点”.

已知A（1，0）.

（1）在中，点A的一对关联点是       ，它们为点A的一对         关联点（填“顺”或“逆”）；

（2）以原点O为圆心作半径为1的圆，已知直线l：.

①若点P在O上，点Q在直线l上，点P，点Q为点A的一对关联点，求b的值；

②若在O上存在点R，在直线l上存在两点和，其中，且点T，点S为点R的一对顺关联点，求b的取值范围。

2021北京西城初三二模数学

参

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

9.

10.

11.

12.

13.答案不唯一，如：CE=CF

14.144

15.答案不唯一，如：4312

16.

三、解答题（本题共68分，第17-19题，每小题5分，第20题6分，第21-23题，每小题5分，第24-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）

17.（本小题满分5分）

解：原式······························4分

·····························5分

18.（本小题满分5分）

解：去分母，得······························1分

去括号，得······························2分

移项，得······························3分

合并，得······························4分

系数化为1，得

∴原不等式的解集为······························5分

19.（本小题满分5分）

解：

······························3分

∵

∴

∴原式······························5分

20.（本小题满分6分）

解：（1）∵关于x的方程有两个实数根

∴k-1≠0且

∴k≠1且

∴且k≠1······························3分

（2）当k取最大整数时，k=2

此时，方程为

解得

∴k=2时，方程的根为·····························6分

21.（本小题满分5分）

解：补全的图形如图1所示

·····························2分

①90；·····························3分

②直径所对的圆周角是直角····························4分

③····························5分

22.（本小题满分5分）

（1）证明：如图2

∵AE∥DC，AE=DC

∴四边形ADCE为平行四边形····························1分

∵在△ABC中，AC=BC，CD为△ABC的角平分线

∴CD⊥AB

∴∠ADC=90°····························2分

∴四边形ADCE为矩形···························3分

（2）解：∵AC=BC，CD为△ABC的角平分线，AB=10

∴

在Rt△ACD中∠ADC=90°，AD=5，CD=12

∴

∵四边形ADCE为矩形

∴DE=AC=13···························5分

23.（本小题满分5分）

解：（1）∵A(2，1)在函数的图象F上，

∴2k=1×2

解得k=1···························1分

∴直线l对应的函数解析式为y=x+1，···························2分

（2）①(1,1)（如图3）···························3分

②或（如图4、图5）···························5分

24.（本小题满分6分）

解：（1）34%，19；···························2分

（2）60，72；···························4分

（3）估计该校使用手机阅读的学生中，平均每天阅读时长少于半小时的人数为

···························6分

25.（本小题满分6分）

（1）证明：如图6

∵

∴

在Rt△OBC中，∠C=90°

∴

∵

∴

∴

∴OD⊥AB

∴AB为⊙O的切线···························3分

（2）解：∵

∴

在Rt△AOD中，

∴

在Rt△OBC中，∠OCB=90°，设OC=k,则BC=2k.

在Rt△ABC中，∠C=90°，

∴AC=2BC=4k.

∴

解得

∴

∴BD=AB-AD=10-6=4···························6分

26.（本小题满分6分）

解：（1）∵时，

∴抛物线与x轴的交点坐标为(0,0),(-1,0). ···························2分

（2）当t=1时，M，N两点的坐标分别为

∵△MNQ为等腰直角三角形，∠MQN=90°

∴NQ=MQ

∵

∴

解得或···························4分

（3）··························6分

27.（本小题满分7分）

（1）解：补全图形如图7所示··························1分

AP=2CD··························2分

（2）①AP=2CD

证明：如图8，作BE⊥AP于点E，作CF⊥BE交EB的延长线于点F，则∠F=∠FED=∠BEP=90°

∵CD⊥PA于点D，

∴∠ADC=∠CDE=90°

∴四边形CDEF为矩形

∴∠DCF=90°

∴∠2+∠3=90°

∵∠ACB=90°

∴∠1+∠3=90°

∴∠1=∠2

∵AC=BC，∠ADC=∠F=90°

∴

∴CD=CF，AD=BF

∴四边形CDEF为正方形

∴DE=EF=CD

∵∠APB=45°，∠BEP=90°

可得∠PBE=∠APB=45°

∴EP=BE

∴AP=AD+DE+EP=BF+DE+BE=EF+DE=2CD·························5分

②画图见图9························6分

························7分

28.（本小题满分7分）

解：（1）C，D，顺（或D，C，逆）························2分

（2）①如图10

∵点P，点Q为点A的一对关联点，

∴△APQ为等边三角形，AP=AQ=PQ=1

∵直线

∴直线l与x轴正方向的夹角为60°

∵点P在半径为1的⊙O上，点Q在直线l上

可得

∴

当时，b=0

当时，，解得

当时，，解得

综上所述，b=0, 或························5分

②如图11

由题意，可得△RTS为正三角形，RT=1，RT∥x轴，点T和点S在直线上

作RH⊥ST于点H，则

当b取最大值时，

此时

当b取最小值时，

此时

综上所述，b的取值范围为························7分下载本文