1. (必修5P58习题2改编)在等差数列{an}中，a1＝2，d＝3，则a6＝________．

答案：17

解析：a6＝a1＋(6－1)d＝17.

2. (必修5P44习题6改编)在等差数列{an}中

(1) 已知a4＋a14＝2，则S17＝________；

(2) 已知a11＝10，则S21＝________；

(3) 已知S11＝55，则a6＝________；

(4) 已知S8＝100，S16＝392，则S24＝________．

答案：(1) 17　(2) 210　(3) 5　(4) 876

解析：(1) S17＝＝＝17.

(2) S21＝＝＝210.

(3) S11＝＝＝55，∴ a6＝5.

(4) S8，S16－S8，S24－S16成等差数列，∴ 100＋S24－392＝2(392－100)，∴ S24＝876.

3. (必修5P44习题7改编)在等差数列{an}中，S12＝354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d＝________．

答案：5

解析：∴ S奇＝162，S偶＝192，∴ 6d＝30，d＝5.　

4. (必修5P44习题10改编)已知数列{an}为等差数列，若a1＝－3，11a5＝5a8，则使前n项和Sn取最小值的n＝________．

答案：2

解析：∵ a1＝－3，11a5＝5a8，∴ d＝2，∴ Sn＝n2－4n＝(n－2)2－4，∴ 当n＝2时，Sn最小．

1. 等差数列的定义

(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项减去前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．

(2) 符号语言：an＋1－an＝d(n∈N )．

2. 等差数列的通项公式

若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d．

推广：an＝am＋(n－m)d.

3. 等差中项

如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫a和b的等差中项，且有A＝．

4. 等差数列的前n项和公式

(1) Sn＝na1＋d．

(2) Sn＝．

5. 等差数列的性质

(1) 等差数列{an}中，对任意的m、n、p、q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．特殊的，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．

(2) 等差数列{an}的通项公式可以写成an＝am＋(n－m)d(n、m∈N*)．

(3) 等差数列{an}中依次每m项的和仍成等差数列，即Sm、S2m－Sm、S3m－S2m、…仍成等差数列．

[备课札记]

题型1　数列中的基本量的计算

例1　设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝5，S3＝9.

(1) 求首项a1和公差d的值；

(2) 若Sn＝100，求n的值．

解：(1) 由已知得

解得a1＝1，d＝2.

(2) 由Sn＝na1＋×d＝100，得n2＝100，解得n＝10或－10(舍)，所以n＝10.

设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝－62，S6 ＝－75，求：

(1) {an}的通项公式an 及其前n项和Sn ；

(2) |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a14|.

解：(1) 设等差数列首项为a1，公差为d，依题意得解得a1＝－20，d＝3.

an＝a1＋(n－1)d＝3n－23，

Sn＝＝＝n2－n.

(2) ∵ a1＝－20，d＝3，

∴ {an}的项随着n的增大而增大．

设ak≤0且ak＋1≥0得3k－23≤0，且3(k＋1)－23≥0，

∴≤k≤(k∈Z)，故k＝7.

即当n≤7时，an<0；当n≥8时，an>0.

∴ |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a14|＝－(a1＋a2＋…＋a7)＋(a8＋a9＋…＋a14)＝S14－2S7＝147.

题型2　判断或证明一个数列是否是等差数列

例2　已知等差数列{an}中，公差d>0，其前n项和为Sn，且满足a2·a3＝45, a1＋a4＝14.

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 设由bn＝(c≠0)构成的新数列为{bn}，求证：当且仅当c＝－时，数列{bn}是等差数列．

(1) 解：∵ 等差数列{an}中，公差d>0，

∴   d＝4

 an＝4n－3.

(2) 证明：Sn＝＝n(2n－1)，bn＝＝.由2b2＝b1＋b3，得＝＋，

化简得2c2＋c＝0，c≠0，∴ c＝－.

反之，令c＝－，即得bn＝2n，显然数列{bn}为等差数列，

∴ 当且仅当c＝－时，数列{bn}为等差数列．

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.

(1) 求证：是等差数列；

(2) 求an的表达式．

(1) 证明：等式两边同除以SnSn－1，得－＋2＝0，即－＝2(n≥2)．∴是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．

(2) 解：由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，

∴ Sn＝，当n≥2时，an＝－2Sn·Sn－1＝－.

又a1＝，不适合上式，故an＝

题型3　等差数列的性质

例3　(1) 已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32.若am＝8，则m＝________．

(2) 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________．

答案：(1) 8　(2) 45

解析：(1) 由等差数列性质，知a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴ a8＝8.∴ m＝8.

(2) 由等差数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，∴ 2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，

∴ a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝45.

(1) 等差数列{an}中，Sn是{an}前n项和，已知S6＝2，S9＝5，则S15＝________；

(2) 给定81个数排成如图所示的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a55＝5，则表中所有数之和为________．

解析：(1) 解法1：由等差数列的求和公式及

知∴∴S15＝15a1＋d＝15.

解法2：由等差数列性质，知成等差数列，设其公差为D，则－＝3D＝－＝，∴D＝，

∴＝＋6D＝＋6×＝1，∴S15＝15.

(2) S＝(a11＋…＋a19)＋…＋(a91＋…＋a99)＝9(a15＋a25＋…＋a95)＝9×9×a55＝405.

题型4　等差数列中的最值问题

例4　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且满足a2＋a4＝14，S7＝70.

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 若bn＝，则数列{bn}的最小项是第几项，并求该项的值．

解：(1) 设公差为d，则有解得

∴  an＝3n－2.

(2) Sn＝[1＋(3n－2)]＝，

bn＝＝3n＋－1≥2－1＝23，当且仅当3n＝，即n＝4时取等号．

∴  {bn}最小项是第4项，该项的值为23.

已知在等差数列{an}中，a1＝31，Sn是它的前n项和，S10＝S22.

(1) 求Sn；

(2) 这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．

解：(1) ∵ S10＝a1＋a2＋…＋a10，S22＝a1＋a2＋…＋a22，S10＝S22，∴ a11＋a12＋…＋a22＝0，＝0，即a11＋a22＝2a1＋31d＝0.又a1＝31，∴ d＝－2，

∴ Sn＝na1＋d＝31n－n(n－1)＝32n－n2.

(2) 解法1：由(1)知Sn＝32n－n2，∴ 当n＝16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256.

解法2：由Sn＝32n－n2＝n(32－n)，欲使Sn有最大值，应有1

1. (2013·重庆)若2、a、b、c、9成等差数列，则c－a＝________．

答案：

解析：由9＝2＋4d得d＝，则c－a＝2d＝.

2. (2013·广东)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．

答案：20

解析：3a5＋a7＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.

3. (2013·安徽)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝________．

答案：－6

解析：由条件得

解得故a9＝10＋8×(－2)＝－6.

4. (2013·新课标)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝________．

答案：5

解析：am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，则d＝1，由am＝2及Sm＝0得解得m＝5.

1. 已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.

(1) 求a及k的值；

(2) 设数列{bn}的通项bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.

解：(1) 设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.

(2) 由(1) Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝.

2. 已知数列{an}为等差数列，若＜－1，且它们的前n项和Sn有最大值，求使得Sn＜0的n的最小值．

解：由题意知d＜0，a10＞0，a11＜0，a10＋a11＜0，由得－<<－9.Sn＝na1＋d＝n2＋n，由Sn＝0得n＝0或n＝1－.

∵ 19<1－<20，∴ Sn＜0的解集为，故使得Sn＜0的n的最小值为20.

3. 已知数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＋an＝2an＋1.

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn.

解：(1) 由2an＋1＝an＋2＋an可得{an}是等差数列，且公差d＝＝＝－2.∴ an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋10.

(2) 令an≥0，得n≤5.即当n≤5时，an≥0；n≥6时，an<0.∴ 当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝－n2＋9n；当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋a2＋…＋a5)＝－(－n2＋9n)＋2×(－52＋45)＝n2－9n＋40，∴ Sn＝

4. (2013·大纲卷)等差数列{an}中，a7＝4，a19＝2a9.

(1) 求{an}的通项公式；

(2) 设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.

解：(1) 设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.

因为所以 

解得a1＝1，d＝. 

所以{an}的通项公式为an＝. 

(2) bn＝＝＝－， 

所以Sn＝＋＋…＋(－)＝. 

1. 等差数列问题，首先应抓住a1和d，通过列方程组来解，其他也就迎刃而解了．但若恰当地运用性质，可以减少运算量．

2. 等差数列的判定方法有以下几种：① 定义法：an＋1－an＝d(d为常数)；② 等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2；③ 通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)；④前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

3. 注意设元，利用对称性，减少运算量．

4. 解答某些数列问题，有时不必(有时也不可能)求出某些具体量的结果，可采用整体代换的思想．下载本文