《向量、导数的应用》
【试题预测】
向量、导数是新教材新增内容，体现了现代数学思想。向量在解决几何问题、物理问题有重大的作用，导数在研究函数性质时，有其独到之处。近年来以向量为背景的试题的高考分值约占10%，考察导数知识的试题的高考分值约占10%，从题型上看主要有以下几个特点：
1、向量作为工具性知识，与三角函数综合，与立体几何、解析几何综合，一般为中、低档题。
2、利用导数求函数的最大值和最小值；求曲线的切线方程；判定曲线与曲线的位置关系，中档题居多。
3、利用向量解决物理中的运动学、力学问题不可忽视。
【例题】
例1、设a=(1+cosα,sinα)，b=(1-cosβ，sinβ)，c=(1，0)，α∈(0，π)，β∈(0，2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2=，求的值。
解析：不妨平移，使它们起点为原点，如图
∴
∵，，∴
∵
∴
代入
∴
∴
点拨：计算两条向量的夹角问题，与三角函数有关，故向量可与三角函数的运算自然结合，使试题简洁优美。
例2、如图，设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F。经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O。
解析：法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),F(0)，则C(y2)
则
∵与共线
∴
即 （*）
而
代入（*）式整理得，y1·y2=-p2
因为
∴与是共线向量，即A、O、C三点共线，也就是说直线AC经过原点O
法二：分析：设A(x1,y1)，C(,y2)，B(x2,y2)
欲证A、O、C共线，只需且仅需，即
又
∴ 只需且仅需y1y2=-p2，用韦达定理易证明。
点拨：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段（直线）平行，三点共线（多点共线）问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁杂的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了。
例3、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点
（1）证明AD⊥D1F；
（2）求AE与D1F所成的角；
（3）证明面AED⊥面A1FD1。
证明：分别以DC、AD、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系。
设正方体的边长为2a，则D（0，0，0），A（0，-2a，0），F（a，0，0）
D1（0，0，2a），A1（0，-2a，2a），E（2a，-2a，a）
（1）由=（0,2a,0），=(a,0,-2a)，得·=0·a+2a·0+0·(-2a)=0
∴⊥，即AD⊥D1F
（2）由=(2a,0,a)， =(a,0,-2a)，得·=2a·a+0·0+a·(-2a)=0
∴⊥，即AE与D1F所成的角为900
（3）由（1）、（2）可知，⊥，⊥，故D1F⊥平面AED
∵ D1F平面A1FD1
∴ 面AED⊥面A1FD1
点拨：通过建立空间直角坐标系，点用三维坐标表示，向量用坐标表示，进行向量的运算，轻而易举地解决立体几何问题，不需要添加辅助线。一个需要经过严密推理论证的问题就这样被简单机械的运算代替了。
例4、已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD
（1）证明：C1C⊥BD；
（2）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD。请给出证明。
证明：如设∠C1CB=θ，由题设，∠C1CD=∠BCD=θ令=a， =b， =c，|a|=1，|c|=x，因为四边形ABCD为菱形，所以|b|=1，
（1）∵a-b
∴·=c·(a-b)=c·a-c·b=1·x·cosθ-1·x·cosθ=0
∴ C1C⊥BD
（2）假设A1C⊥平面C1BD成立
则A1C⊥C1D，从而·=0
由于=a-c， =a+b+c
因此·=(a+b+c)·(a-c)=a2+b·a+c·a-a·c-b·c-c2
=a2+b·a+b·c-c2=1+1·1·cosθ-1·x·cosθ-x2
=（1-x）(1+x+cosθ)
从而(1-x)·(1+x+cosθ)=0
由于1+x+cosθ＞0，因此，x=1
也就是说时，A1C⊥平面C1BD成立
点拨：平行六面体的12条棱共分三组，每组四条棱两两平行，故可取共顶点的三条棱作为空间向量的基底，此题中，，三个共点向量为基底，其余向量可由此三个向量生成。
例5、（1）在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；
（2）一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t，求t=2时的瞬时速度。
解析：（1）
当x0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为（-1，-14）
故所求切线的方程为3x-y-11=0
（2）=6t+1，当t=2时， =13，
∴ 当t=2时，质点的瞬时速度为13
点拨：1、导数的几何意义：就是曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线斜率，即=k切线。
2、瞬时速度是路程s对时间t的导数，即v=。
例6、是否存在这样的k值，使函数在（1，2）上递减，在（2，-∞）上递增。
解析：f(x)=4k2x3-2x2-2kx+2，由题意，当x∈（1，2）时，＜0
当x∈(2，+∞)时，＞0
由函数的连续性可知=0
即32k2-8-3=0得或
验证：当时，
若1＜x＜2，，
若x＞2，，符合题意
当时，
显然不合题意
综上所述，存在，满足题意
点拨：利用导数处理单调性问题，讨论的区间是开区间，注意递增与递减区间的交界处的导数为0，本题求出k值后还需讨论验证。
例7、设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为-4，
（1）求a、b、c的值；（2）求函数的递减区间。
解析：（1）函数的图象经过（0，1）点
∴ c=0，又图象与x轴相切于（0，0）点， =3x2+2ax+b
∴ 0=3×02+2a×0+b，得b=0
∴ y=x3+ax2， =3x2+2ax
当时，，当时，
当x=时，函数有极小值-4
∴，得a=-3
（2）=3x2-6x＜0，解得0＜x＜2
∴ 递减区间是（0，2）
点拨：1、如果函数f(x)在点x=x0的一个δ区域：(x0-δ，x0+δ)内有定义，对任意的x∈(x0-δ，x0)∪(x0，x0+δ)总有f(x)＜f(x0)（f(x)＞f(x0)），则称f(x0)为函数f(x)的极大（小）值，x0称为极大（小）值点；
2、注意极值与最值的区别，极值是相对于领域而言，它仅是极值点附近的局部范围内的相对大小，而最值是相对于闭区间而言，它是函数在给定的闭区间上的全部函数值中最大（小）的值。
【课外练习】
一、选择题
1、双曲线（a＞0，b＞0）的离心率e=，点A与点F分别是双曲线的左顶点和右焦点，B(0，b)，则∠ABF等于 （ ）
A、450 B、600 C、900 D、1200
2、过抛物线y=x2上的点M（，）的切线的倾斜角是 （ ）
A、300 B、450 C、600 D、900
3、若f(x)=ax3+bx2+cx+d（a＞0）为增函数，则 （ ）
A、b2-4ac＞0 B、b＞0，c＞0 C、b=0，c＞0 D、b2-3ac＜0
4、函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则 （ ）
A、0＜b＜1 B、b＜1 C、b＞0 D、0＜b＜
5、向量a=(cosy，siny)，b=(cosx，sinx)，已知x=y+，则a与a+b的夹角为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
6、函数y=x3-3x+3在[]上的最小值是____________。
7、垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程是____________。
8、已知：4a-2b=(-2,)，c=(1，)，a·c=3，|b|=4，则b与c的夹角为________。
9、已知A（1，2），B（2，k），C（-5，5），且△ABC是直角三角形，这样的k唯一吗？为什么？____________________________________。
10、质量为5kg的物体运动的速度v=(18t-3t2)m/s在时间t=2秒时所受外力为________N。
三、解答题
11、设＜a＜1，函数f(x)=x3-ax2+b（-1≤x≤1）的最大值为1，最小值为，求常数a、b。
12、过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，自A、B向准线作垂线，垂足分别为，求证：∠=900。
13、设抛物线y=4-x2与直线y=3x的交点为A、B，点M在抛物线的AB弧上运动，设达到最大值时，点M的坐标为（p，h）
（1）求过点（p，h）的切线方程；
（2）证明：若与直线AB平行的直线截抛物线y=4-x2的弦为CD，则CD被直线x=p平分。
14、直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=900，AB=5，BB1=B1C1=3，求异面直线A1C与BC1所成的角的余弦值。
15、用总为长14.8m的钢条制成一个长方体的容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
16、已知：函数y=f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2时取得极值，且图象与直线 ：y=-3x+3相切于点P（1，0）
（1）求函数y=f(x)的解析式；
（2）讨论函数y=f(x)（-3≤x≤3）的增减性，并求函数的最大值与最小值以及相应的x的值。
【参】
1、C 2、B 3、D 4、D 5、B 6、1 7、3x+y+6=0 8、600
9、不唯一：k=3或9 10、30
11、
12、略
13、（1）12x-4t-11=0 （2）略
14、
15、高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m3
16、（1）f(x)=x3+x2-8x+6 14题图
（2）当x=-2，x=3时，y最大=18；当x=时，y最小=下载本文
