知识要点

角度计算是指平面图形中，不知道大小的角，可以通过已知角的大小根据角与角的关

系计算出来。

小于90°的角叫做锐角，直角等于90°，大于90°而小于180°的角叫钝角；平角等于180°，周角等于360°.

三角形内角和是180°，在一个三角形中最多有一个钝角，最多有一个直角。可以有

三个锐角。

直角三角形的两个锐角的度数和是90°。等腰三角形的两个锐角度数相等，等边三

角形的三个内角相等，都是60°；

平行四边形，梯形、正方形、长方形的内角和都是360°。正方形和长方形每个角都

是90°。

两条直线相交，形成的对角度数相等，与相邻的角相加等于180°.

∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠1+∠3=180°∠2+∠4=180°

解题指导 1

【例1】求下图中∠a的度数。

【思路点拨】三角形的内角和是180°，根据图形可以看出， 180°-（∠a+57°）=180°-142°，也就是∠a+57°=142°，就可以求出∠a的度数。

【解题过程】180°-142°=38°

180°-57°-38°=85°

答：∠a是85°.

总结：同学们要牢记三角形的内角和是180°。

【变式题1】下图中x是多少度？解题指导 2

【例2】在下面的图中，∠1=∠2=∠3，在这个图中所有锐角的和是150°。∠AOB是多少度？

【思路点拨】图中所有锐角的和是150°，图中一共有几个锐角呢，观察图形可知，除了

∠1，∠2，∠3外，还有∠1+∠2，∠2+∠3，和∠AOB三个锐角。

因此有∠1+∠2+∠3+（∠1+∠2）+（∠2+∠3）+∠AOB=150°，根据∠1=∠2=∠3，就可以求出∠AOB的度数。

解答：∠1+∠2+∠3+（∠1+∠2）+（∠2+∠3）+∠AOB=150°

∠AOB=∠1+∠2+∠3，∠1=∠2=∠3

∠1×10=150°

∠1=150°÷10=15°

∠AOB=15°×3=45°

答：∠AOB=45°.

总结：在本题中利用了数图形的规律知识。

【变式题2】已知下面图中∠1=∠2=∠3=∠4，所有锐角的和是400°。∠AOB是多少度？

解题指导 3

【例3】六边形有六个内角，它们的和是多少度？

【思路点拨】只告诉我们六边形有六个内角，不知道它们分别是多少度，不可能直接求出它们度数和。所以我们需要转换一下，把六边形进行分，分成4个三角形，如下图。六边形的内角和就是4个三角形的内角和。一个三角形的内角和是180°，就可以求出六边形的内角和。

解答：180°×4=720°

答：六边形的内角和是720°。

总结：多边形通过连接顶点分成多个三角形。

【变式题3】下面五边形有五个内角，它们的和是多少度？

规律小结

1、掌握角、三角形、平行四边形、梯形的特征，就可以根据题目所给的条件计算未知数角

的度数。

2、根据两条直线相交形成的“对角相等”，相邻的角的和是180°的规律，也是求未知角的度数常用的知识。

3、当一个已知角被等分成一等分、二等分、三等分……后，求所有角的度数和及求已知度数和求其中一个角，解答这类问题的关键是数清各类角各有多少个。

【基础巩固】

1、求下图中∠2的度数。

2. 一个等腰三角形的顶角是114°，它的一个底角是多少度？

3、一个等腰三角形的一个角是50°，求它的另外两个角的度数。

4、如下图，求∠1，∠2，∠３的度数。

5、已知∠1＝85°∠2＝40°，那么三角形最上方的角（∠3）会是几度呢？

∠3

柯大

小小南原

明美

∠1

∠26、已知等腰梯形的一个底角是60°，这个等腰梯形的其他三个角分别是多少度？

7、正十二边形的内角和的度数是多少？

【培训提高】

1．如图，三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，求∠A的度数．

2、两条直线相交后，形成的四个角中，已知一个角比另一个角大30°，求这四个角分别是多少度？

3、将一个45°的角三等分，在45°角范围的所有的角的度数和是多少？

4、下图中，三角形ABC是一个等边三角形，AD与BC垂直，∠DAE是多少度？

5．如图6—11，已知∠C=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，求∠D的度数．竞赛提升

1、如图3，直角的顶点在直线l上，则图中所有小于平角的角之和是度。

（第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试）

2、如图，共端点A的线段a与d，b与e，c与f分别垂直，a与b的夹角是30°，e与f 的夹角是45°，求c与d的夹角的度数。

（第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛（四年级第2试））

答案与提示

【变式题1】

【思路点拨】一个平角是180°，由三个角组成，一个直角，一个65°的角和x角。那么x 的度数就是180°-90°-65°.

解答：x=180°-90°-65°=25°

【变式题2】

【思路点拨】图中的锐角有，∠1，∠2，∠3，∠4，∠1+∠2，∠1+∠2+∠3，

∠1+∠2+∠3+∠4（即∠AOB），∠2+∠3，∠2+∠3+∠4，∠3+∠4，

所有这些锐角的和是400°，

∠1+∠2+∠3+∠4+（∠1+∠2）+（∠1+∠2+∠3）+（∠2+∠3）+（∠2+∠3+∠4）+（∠3+∠4）+∠AOB=400°，∠1+∠2+∠3+∠4=∠AOB，因为∠1=∠2=∠3=∠4。

因此：∠1+∠2+∠3+∠4+（∠1+∠2）+（∠1+∠2+∠3）+（∠2+∠3）+（∠2+∠3+∠4）+（∠3+∠4）+∠AOB=∠1×20=400°

∠1=400°÷20=20°

∠AOB=20°×4=80°

答：∠AOB是80°。

【变式题3】【思路点拨】求多边形的面积可以借助把多边形分成三角形的方法，只要数出多边形被分成了几个三角形，再根据每个三角形的内角和是180°，就可以算出多边形内角的度数了。

解答：180°×3=540°

答：五边形五个内角的和是540°.

【基础巩固】

1、【思路点拨】这是一个直角三角形，∠2+56°=90°，所以∠2=90°-56°

解答：∠2=90°-56°

∠2=34°

答：∠2是34°。

2、【思路点拨】等腰三角形的两个底角相等，根据三角形的内角和是180°，减去顶角的度数求出两个底角的度数，再求一个底角的度数。

解答：180°-114°=66°

66°÷2=33°

答：它的一个底角是33度。

3、【思路点拨】等腰三角形的两个底角相等，告诉一个角是50°，但没有说明它是底角还是顶角，所以有两种可能，一个是这个50°的角作为顶角，求底角；一个是这个50°的角作为一个底角，另一个底角和它相等，再求出顶角。

解答：50°的角作为顶角：（180°-50°）÷2=65°

50°的角作为一个底角：180°-50°×2=80°

答：当50°的角作为顶角时，另外两个角都是65°；当50°的角作为一个底角时，另外两

个分别是50°和80°。

4、思路点拨】因为∠１与130°的和是一个平角，用180°减去130°就是∠１的度数；利用直角三角形中两个锐角和等于90°，再由前面得出的∠１的度数，可以求出∠２的度数；∠２与∠３的和是180°，由此得到∠３的度数．

解答：∠1=138°-130°=50°

∠2=90°-50°=40°

∠3=180°-40°=140°

答：∠1=50°，∠2=40°，∠3=140°。

5、解答：180°-85°-40°＝55°

6、【思路点拨】在等腰梯形中，两个底角相等，两个顶角也相等，一个底角加上一个顶角的

和是180°，另一个底角也是60°， 180°减一个底角60°可以求出一个顶角。

解答：180°-60°=120°

答：这个梯形的另一个底角是60°，它的两个顶角都是120°.

7、【思路点拨】把正十二边形分成三角形，每个三角形的内角和是180°，数出所分成的三角形的个数，再求和，正十二边形分成10个三角形。

解答：180°×10=1800°

答：正十二边形内角的度数和是1800°.

【培训提高】

1、【思路点拨】等腰三角形两个底角相等，因为AB=AC，∠ACB=∠ABC，由∠ACD=110°可求出∠ACB的度数，就能求出∠A的度数。

解答：180°-110°=70°

180°-70°-70°=40°

答：∠A是40°.

2、【思路点拨】画图分析：相交的两条直线，形成的对角相等，本题中一个角

比另一个角大30°，说明这两个角是相邻的角，相邻的角度数和是180°，把180°分成两个角，其中一个角比另一个角大30°，符合这样的是105°和75°的角。

我们可以把180°平均分成12份，每份是15°，多2份才够30°，所以一个角是7个15°，另一个角是5个15°.

解答：180°÷12=15° 15°×7=105° 15°×5=75°

答：这四个角分别是105°、75°、105°、75°。

3、【思路点拨】45°的角三等分，每个角是15°，如图：

三等分后，除了∠1、∠2、∠3，还∠1+∠2，∠2+∠3，∠1+∠2+∠3，

∠1、∠2、∠3都是15°。

解答：∠1+∠2+∠3+（∠1+∠2）+（∠2+∠3）+（∠1+∠2+∠3）

=15°×10

=150°

4、解答：∠DAE=180°-60°÷2=150°

5、【思路点拨】因为∠1＋∠2＋∠abc=180°

∠3+∠4＋∠bac=180°

又因为∠c=90°，

所以∠abc＋∠bac＝90°．

∠1+∠2+∠3＋∠4＝360°-（∠abc+∠bac）

∠1+∠2+∠3＋∠4＝360°-90°=270°

因为∠1=∠2，∠3=∠4

所以2∠1＋2∠3=270°

∠1＋∠3=270°÷2=135°

∠d=180°－∠1-∠3=180°-135°=45°

竞赛提升

1、【思路点拨】：由一部分组成的角之和是180度，由两部分组成的角之和是180+90度，一共180+180+90=450度。

2、【思路点拨】

因为a与d垂直，所以∠1+∠2+30°=90°①，又因为b与c垂直，所以∠1+∠2+∠3=90°②，比较①②两式，得∠3=30°，又因为c和f垂直，所以∠2+∠3+45°=90°，

解答：所以∠2=90°－45°－∠3

=90°－45°－30°

=15°

即：c与d的夹角是15°。下载本文