函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕函数零点个数的判断问题，例题说法，高效训练.

【典型例题】

第一招 应用函数性质，判定函数零点个数 例1.已知偶函数()()4log ,04{

8,48

x x f x f x x <≤=-<<，且()()8f x f x -=，则函数()()12

x

F x f x =-

在区间

[]2018,2018-的零点个数为（ ）

A. 2020

B. 2016

C. 1010

D. 1008 【答案】A 【解析】

当08x <<时，函数()f x 与函数12

x

y =

图象有4个交点

201825282=⨯+

由()42111

2224

2f log ==

>=知，

当02x <<时函数()f x 与函数12

x

y =

图象有2个交点

故函数()F x 的零点个数为()2524222020⨯+⨯= 故选A .

第二招 数形结合，判定函数零点个数

例2.【2018届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上第二次联考】定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x +=+，且[]0,1x ∈时， ()4x

f x =； (]1,2x ∈时， ()()1f f x x

=

. 令

()()[]24,6,2g x f x x x =--∈-，则函数()g x 的零点个数为（ ）

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10 【答案】B

∵函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ）+1，即自变量x 每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位， 分别画出函数y=f （x ）在x ∈[﹣6，2]，y=

1

2

x+2的图象，

2

x+2有8个交点，

故函数g（x）的零点个数为8个．

故选：B．

第三招应用零点存在性定理，判定函数零点个数

例3.【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研】已知函数

.

（1）讨论的单调性；

（2）讨论在上的零点个数.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

∴当时，在上单调递增.

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）设，则由（1）知①当时，即，当时，在单调递减

，

∴当，即，时，在上恒成立，

∴当时，在内无零点.

当，即，时，

根据零点存在性定理知，此时，在内有零点，

∵在内单调递减，∴此时，在有一个零点.

②当时，即，当时，在单调递增，

，.

∴当，即时，根据零点存在性定理，此时，在内有零点. ∵在内单调递增，∴此时，在有一个零点.

当时，∴此时，在无零点.

③当时，即，当时，；当时，；

则在单调递减，在单调递增.

∴在上恒成立，∴此时，在内无零点.

∴综上所述：

当时，在内有1个零点；

当时，在有一个零点；

当时，在无零点.

第四招构造函数，判定函数零点个数

例4．【山东省菏泽市2019届高三上学期期末】已知函数f（x）＝lnx+﹣1，a∈R.（1）当a＞0时，若函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为，求a的值；

（2）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数.

【答案】（1）；（2）详见解析.

f’（x）min＝f（a）＝lna，令，得.

当a≥3时，f’（x）＜0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为减函数，

∴，令得a＝4﹣3ln3＜2（舍去）.

综上知.

（2）∵函数，

令g（x）＝0，得.

设，

当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，此时φ（x）在（0，1）上单调递增，

当x∈（1，+∞）时，φ’（x）＜0，此时φ（x）在（1，+∞）上单调递减，

所以x＝1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是（x）的最大值点，

φ（x）的最大值为.

又φ（0）＝0，结合φ（x）的图象可知：

①当时，函数g（x）无零点；

②当时，函数g （x ）有且仅有一个零点；

③当

时，函数g （x ）有两个零点；

④a≤0时，函数g （x ）有且只有一个零点； 综上所述，当时，函数g （x ）无零点；当

或a ≤0时，函数g （x ）有且仅有一个零点；

当

时，函数g （x ）有两个零点.

【规律与方法】

函数零点个数的求解与判断：

(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

(4)构造函数模型，判断零点个数.构造函数可根据题目不同，直接做差构造函数、分离参数后构造函数、先求导数再构造函数、先换元再构造函数等.

【提升训练】

1．【浙江省杭州地区(含周边)重点中学2019届高三上期中】已知定义在R 上的奇函数

，满足当

时

，则关于x 的方程

满足

A ．对任意，恰有一解

B ．对任意，恰有两个不同解

C ．存在，有三个不同解

D ．存在

，无解

【答案】A 【解析】 当

时，

，

，

时，；时，

在

上递减，在

上递增，

，

在

上递增，

又x 大于0趋近于0时，也大于0趋近于0；

x 趋近于正无穷时，

也趋近于正无穷，

又为R上的奇函数，其图象关于原点对称，

结合图象知，对任意的a，方程都恰有一解．

故选：A．

2．【吉林省延边州2019届高三2月复检测】已知函数在上可导且，其导函数满足

，对于函数，下列结论错误的是( )

A．函数在上为单调递增函数

B．是函数的极小值点

C．函数至多有两个零点

D．时，不等式恒成立

【答案】D

若，则有2个零点，

若，则函数有1个零点，

若，则函数没有零点，故正确；

由在递减，则在递减，

由，得时，

故，故，故错误,故选D．

3.已知函数()y f x =的图像为R 上的一条连续不断的曲线，当0x ≠时，()()

'0f x f x x

+>，则关于x 的函数()()1

g x f x x

=+

的零点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2 【答案】A

4．【乌鲁木齐市2019届高三一模】已知函数.

（Ⅰ）若的图像在点处的切线与直线

平行，求的值；

（Ⅱ）若

，讨论

的零点个数. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1个

【解析】 （Ⅰ）函数， 导数为，

， 图象在点处的切线斜率为

，

由切线与直线平行，可得

，

解得； （Ⅱ）若，可得，

由，可得（舍去），即

的零点个数为； 若，由

，即为，

可得

，

，

设， 当

时，

，

递减；当

时，

，

递增，

的图象如图：

由，即，可得和的图象只有一个交点，

即时，的零点个数为，

综上可得在的零点个数为.

5．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次（3月)双基测试】已知函数f（x）=lnx+ax2-x（x＞0，a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）求证：当a≤0时，曲线y=f（x）上任意一点处的切线与该曲线只有一个公共点．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）f′（x）=+2ax-1=（x＞0），

设g（x）=2ax2-x+1（x＞0），

（1）当0＜a＜时，g（x）在（0，），（，+∞）上大于零，

在（，）上小于零，

所以f（x）在（0，），（，+∞）上递增，

在（，）上递减，

（2）当a≥时，g（x）≥0（当且仅当a=，x=2时g（x）=0），

所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，

（3）当a=0时，g（x）在（0，1）上大于零，在（1，+∞）上小于零，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，

（4）当a＜0时，g（x）在（0，）上大于零，在（，+∞）上小于零，

所以f（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减；

（Ⅱ）曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的曲线方程为：

y=（+2at-1）（x-t）+lnt+at2-t，

曲线方程和y=f（x）联立可得：

lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1=0，

设h（x）=lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1（x＞0），

h′（x）=，

当a≤0时，在（0，t）h′（x）＞0，在（t，+∞）h′（x）＜0，

故h（x）在（0，t）递增，在（t，+∞）递减，

又h（t）=0，

故h（x）只有唯一的零点t，

即切线与该曲线只有1个公共点（t，f（t））．

6．【四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟】已知函数，. （Ⅰ）当，函数图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？

（Ⅱ）讨论函数的零点个数.

【答案】(Ⅰ)存在；(Ⅱ)详见解析.

【解析】

（Ⅰ），，

则函数在单调递减，上单调递增，上单调递减，

因为，，，

所以存在切线斜率，使得，，

所以函数图象上是存在3条互相平行的切线.

（Ⅱ），

当，有；，

在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；

当，有，；，

在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；

当，有，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

，

，，

所以函数一个零点在区间内，一个零点在区间内，一个零点在内.所以函数有三个不同零点.

综上所述：当函数一个零点；当函数三个零点.

7．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】已知，其中，为自然对数的底数．

若函数的切线l经过点，求l的方程；

Ⅱ若函数在为递减函数，试判断函数零点的个数，并证明你的结论．

【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析Ⅱ判断：函数的零点个数是0，

下面证明恒成立，

，故，

若在递减，则，

因此，要证明对恒成立，只需证明对恒成立，

考虑等价于，

记，

先看，

令，解得：，

令，解得：，

故在递减，在递增，

，

再看，.

令，解得：，

令，解得：，

故在递增，在递减，

.

，且两个函数的极值点不在同一个x处，

故对恒成立，

综上，对恒成立，

故函数函数零点是0个．

8.【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（一)】已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）证明：当且时，只有一个零点.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）．

当时，由得，由得，在单调递减，在单调递增．当时，由得，由得或，在单调递减，在

和单调递增．令，当时，故在单调递增，所以

，在单调递增，所以，因此．因为在单调递增，所以在有唯一零点．所以只有一个零点.

综上，当且时，只有一个零点．

9．【云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考】已知函数．求的单调区间和极值；

当时，证明：对任意的，函数有且只有一个零点．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

解：函数的定义域为，

当时，在定义域上单调递增，无极值；

当时，由，得，

当时，得的单调递增区间是；

当时，得的单调递减区间是，

故的极大值为，无极小值．由，得，

当时，则在上单调递增；

当时，则在上单调递减，

所以，

于是，则在上单调递减．

设，则，由，得，

当时，则在上单调递减；

当时，则在上单调递增，

所以，即当时，

所以当时，

对任意的，有

当时，有；

当时，有，

又在上单调递减，所以存在唯一的，有；

当时，有，当时，有，

又在上单调递减，所以存在唯一的，有，

综上所述，对任意的，方程有且只有一个正实数根，

即函数有且只有一个零点．

10．【2019届高三第一次全国大联考】已知函数（其中）．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，求函数的极值点；

（3）讨论函数零点的个数．

【答案】（1）在上单调递增；在上单调递减；（2）函数无极大值点，有2个极小值点，分别为和；（3）详见解析.

（2）先考虑时的情况，

当时，则；

所以当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增．

又因为函数的图象关于直线对称，

所以在和上单调递减，在和上单调递增．

所以函数无极大值点，有2个极小值点，分别为和．

令，

则．

由，解得；由，解得，

所以在上递增，在上递减，

所以，

当时，注意到，知此时在上单调递减，在上单调递增，且，这表明的图象与轴相切，

所以此时函数在上只有1个零点，且为；

当或时，又当或时，

所以此时函数在上有2个零点，一个零点是，另一个零点在区间或内．

又由函数的图象关于直线对称，

综上可得，当或时，函数有2个零点；当或时，函数有4个零点．11．【2019年四川省达州市高考一诊】已知，函数，．求证：；

讨论函数零点的个数．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

解：，

，

，方程有两个不相等的实根，分别为，

，且，

，

当时，递减，当时，递增，

，

，即，

．

设，则，是减函数，

当，即时，

函数只有一个零点，

当，即时，

函数没有零点，

当，即时，且，

由知，

若，则有，

，

函数有且只有一个大于的零点，

又，即函数在区间有且只有一个零点，

综上，当时，函数有两个零点；当时，函数只有一个零点，

当时，函数没有零点．

12．【北京延庆区2019届高三一模】已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）当时，求函数在上区间零点的个数.

【答案】（1）（2）在区间上单调递增，在区间上单调递减（3）见解析【解析】

（1）当时，，,，切点，所以切线方程是.

（2），令，

、及的变化情况如下

增减

所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减.

（3）由（2）可知的最大值为,

（1）当时，在区间单调递增，在区间上单调递减.

由，故在区间上只有一个零点 .

（2）当时，，,

且 .

因为，所以，在区间上无零点.

综上，当时，在区间上只有一个零点，当时，在区间上无零点.

13．【广东省江门市2019届高考模拟（第一次模拟)】设函数，是自然对数的底数，

是常数．

（1）若，求的单调递增区间；

（2）讨论曲线与公共点的个数．

【答案】（1）的单调递增区间为（或）；（2）或时，两曲线无公共点；

或时，两曲线有一个公共点；时，两曲线有两个公共点 .（I）时，有一个零点 .

(II)时，由解得，．当时，；当时，

在取最小值 ,

①时，有一个零点.

②时，无零点 .

③时，由知，在有一个零点，即在有一个零点；由指数函数与幂函数单调性比较知，当且充分

大时，所以在有一个零点，即在有一个零点．从而

有两个零点 .

（III）时，单调递减，，所以在有一个零点，从而在定义域内有一个零点 .（IIII）时，无零点 .

14．【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月联考】设函数.

（1）试讨论函数的单调性；

（2）若，证明：方程有且仅有3个不同的实数根.（附：，

）

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）由，

得，

令，

所以，

所以当时，恒成立，

即恒成立，

所以单调递增；即，所以单调递减；

当时，

即，所以单调递增.

综上，当时，在上单调递增；

当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为

.

（2）当时，

由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，函数有极大值，且，当时，函数有极小值，且.

又因为，

所以直线与函数的图象在区间上有且仅有3个交点，所以当时，方程有且仅有3个不同的实数根.下载本文