理科数学试卷
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：________
祝考试顺利！
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项最符合题意。）
1、设复数且，则的虚部为（ ）
A. ﹣2 B. ﹣4 C. 2 D. 4
2、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是
A.2 B.1024 C.1225 D.1378
3、70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩一个数学游戏.这个游戏十分简单：任意写出一个自然数，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成；如果是个偶数，则下一步变成.不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入.为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1.准确地说，是无法逃出落入底部的循环，永远也逃不出这样的宿命.这就是著名的“冰雹猜想”.按照这种运算，自然数经过十步运算得到的数为 ( )
A． B． C． D．
4、已知双曲线： （， ）的左右焦点分别为、，点关于双曲线的一条渐近线的对称点在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
5、已知向量，，，若与的夹角为60°，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. 6 D. 4
6、某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则图中的值为（ ）
A． B． C. D．
7、已知函数，若的图象与的图象重合，记的最大值为，函数的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
8、对定义在上的连续非常函数，如果总成立，则称成等比函数.若成等比函数，则下列说法中正确的个数是（ ）
①若都是增函数，则是增函数；②若都是减函数，则是减函数；
③若都是偶函数，则是偶函数；④若都是奇函数，则是奇函数；
A． B． C. D．
9、设，满足约束条件若的最大值为2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10、在中,内角的对边分别为是外接圆的圆心,若,且,则的值是( )
A. B. C. D.
11、定义在上的函数满足，其中为的导函数，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12、定义在上的函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题纸的对应位置上。）
13、的展开式中的系数为__________（用数字填写答案）．
14、已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__________。（把你认为正确的答案全部写上）
15、体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段上一点，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________．
16、对于函数，下列5个结论正确的是__________（把你认为正确的答案全部写上）．
(1)任取， ,都有；
(2)函数在上单调递增；
(3) ，对一切恒成立；
(4)函数有3个零点；
(5)若关于的方程有且只有两个不同的实根,，则.
三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17、（本小题满分10分）
已知数列的前n项和（n为正整数）。
（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。
18、（本小题满分10分）
2016年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：
| 满意度评分 | 低于60分 | 60分到79分 | 80分到分 | 不低于90分 |
| 满意度等级 | 不满意 | 基本满意 | 满意 | 非常满意 |
（Ⅰ）若市民的满意度评分相互，以满意度样本估计全市市民满意度．现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；
（Ⅱ）在等级为不满意市民中，老年人占.现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E(X)；
（Ⅲ）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由.
19、（本小题满分12分）
如图，已知矩形中， 、分别是、上的点， ， ， ， 、分别是、的中点，现沿着翻折，使得二面角大小为.
（Ⅰ）求证： 平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
20、（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，动圆经过点，，.其中.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；（4分）
（Ⅱ）过点作直线交轨迹于不同的两点，直线与直线分别交直线于两点，记与的面积分别为. 求的最小值.
21、（本小题满分12分）
已知，其中.
（Ⅰ）若，且曲线在处的切线过原点，求直线的方程；（3分）
（Ⅱ）求的极值；
（Ⅲ）若函数有两个极值点， ，证明.
22、（本小题满分7分）
选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为： ，直线的参数方程是（为参数， ）．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；(2分)
（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求．（至少用2种方法解答才能得满分。写出一种得3分，两种得5分。两种以上的每多一种加3分。成绩计入总分。）
23、（本小题满分7分）
选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知，证明： ；(3分)
（Ⅱ）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.(4分)
参
1. A 2.C 3.C
4. D
5.A
6.C
7.A 【解析】, 的图象与的图象重合，说明函数的周期，由于， ， ， ,，
，则， ，选 8.A 9.C
10、C 解析:因为，由余弦定理得，整理得，所以，即，因为是的外心，则对于平面内任意点，均有： ，令与重合，及得，∵，∴．故选C．
三角形的四心与向量关系：
（1）是重心，是平面内任一点， 是重心．（2）是垂心，若是垂心，则．
（3）是外心，若是外心，则．
若是外心，则对于平面内任意点，均有： ．
（4）是内心
是内心，是内心．
11、B
12 D【解析】由于定义在上的函数的图象关于轴对称，则函数为偶函数.，原不等式化为：
偶函数在上单调增，则在上单调减，图象关于轴对称，则： ， ， ,故 ， ，设 ， ，易知当 时， ，则 ；令 ， ， ， ， 在 上是减函数， ，则 ，综上可得： ，选D.
13、-29解：由题意可知： ，其中分子的展开式的通项公式为： ，满足题意时，分子为取 ，此时： ，则实数 的取值可以是： ，据此可得系数为： .
14、【答案】4、5、32(不全不得分)
【解析】（1）若为偶数，则为偶, 故
①当仍为偶数时， 故
②当为奇数时，故得m=4。
（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数
，所以=1可得m=5
15.【答案解析】设，如图，设的中心为，连接.设三棱锥的高为,在中，由勾股定理可得，即，即又，所以所以，解得，故易得，所以，当截面与垂直时，截面圆的面积有最大值，此时截面圆的半径，此时截面圆的面积为，当截面经过平均发展速度时，截面圆的面积最大 ，且最大值为.
16【答案】（1）（4）（5）【解析】由题意，得的图象如图所示， 由图象 ，则任取， ,都有故（1）正确；函数在上先增后减，故（2）错误；当时，
，即，故（3）错误；在同一坐标系中作出和的图象，可知两函数图象有三个不同公共点，即函数有3个零点，故（4）正确；
在同一坐标系中作出和的图象，由图象可知当且仅当 时，关于的方程有且只有两个不同的实根,，且,关于对称，即；故（5）正确
17.（I）在中，令n=1，可得，即
当时，.
又数列是首项和公差均为1的等差数列. 于是.
(II)由（I）得，所以
由①-②得
于是确定的大小关系等价于比较的大小
由
可猜想当证明如下：证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。
（2）假设时
所以当时猜想也成立综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有
证法2：当时
综上所述，当，当时
18[解] (1)由频率分布直方图可知则10×(0.035＋a＋0.020＋0.014＋0.004＋0.002)＝1，所以a＝0.025，所以市民非常满意的概率为0.025×10＝.2分又市民的满意度评分相互，
故所求事件的概率P＝1－C04－C13＝1－＝.4分
(2)按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽15×＝5人，从15人中选取3名整改督导员的所有可能情况为C，由题知X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，6分
X分布列为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
(3)由频率分布直方图，得(45×0.002＋55×0.004＋65×0.014＋75×0.02＋85×0.035＋95×0.025)×10＝80.7，所以估计市民满意度程度的平均得分为80.7.因此市民满意度指数为＝0.807＞0.8，所以该项目能够通过验收.12分
19、Ⅰ）取的中点，连接， ，又为的中点，所以， 平面， 平面，所以平面，同理可证， 平面，又因为，所以平面平面， 平面，所以平面.
（Ⅱ）在平面内，过点作的垂线，易证明这条垂线垂直平面，因为二面角大小为，所以，建立空间直角坐标系如图所示，则， ， ， ， ，则， ， ，
设平面的一个法向量，根据 ，令，则， ，所以，设平面的一个法向量，根据 ，令，则， ，所以，
所以 ，所以二面角的余弦值为.
变式 如图，直角三角形ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝90°，AB＝2，E为线段BC上一点，且BE＝BC，沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置．
(1)求证：BD⊥PE；
(2)当平面PBD⊥平面BCD时，求二面角CPBD的余弦值．
[解] 由已知得DC＝PD＝PB＝BD＝2，BC＝2.1分(1)证明：取BD的中点O，连接OE，PO.∵OB＝1，BE＝且∠OBE＝30°，∴OE＝，∴OE⊥BD.3分∵PB＝PD，O为BD的中点，∴PO⊥BD.又PO∩OE＝O，∴BD⊥平面POE.∵PE⊂平面POE，∴BD⊥PE.5分
(2)∵平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，PO⊥BD，∴PO⊥平面BCD，∴OE，OB，OP两两垂直，如图以O为坐标原点，以OE，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B(0,1,0)，P(0,0，)，C(，－2,0)，∴＝(0，－1，)，＝(，－3,0).7分设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则∴不妨令y＝，得n＝(3，，1).10 又平面PBD的一个法向量为m＝(1,0,0)，∴cos〈m，n〉＝，故二面角CPBD的余弦值为.12
20、解：（1）设动圆的圆心为E则即：∴ 即：动圆圆心的轨迹E的方程为………….4分
（2）当直线AB的斜率不存在时，AB⊥x轴，此时，
∴∴∴ ………………………….5分
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，则，直线AB的方程是，.
设，联立方程，消去y，得：，即：∴，，
由知，直线AC的方程为，直线AC的方程为，∴ ∴ ∴，…………..9分
令，则，
由于 函数在上是增函数……………………………………………11分
∴ ∴ 综上所述，
∴的最小值为…………………………………………………………………………12分
21、（Ⅰ）当时， ， ，………1分所以切线的斜率，又直线过原点，所以，由得， .所以，故切线的方程为，即.………3分
（Ⅱ）由 ，可得，
①当时 ， ， 在上单调递增，在上单调递减，在时取到极小值，且， 没有极大值；.………4分
②当时 或， . 在， 上单调递增，在上单调递减， 在时取到极大值，且， 在时取到极小值，且；………5分
③当时恒成立， 在上单调递增， 没有极大值也没有极值；6分
④当时 或， ， 在， 上单调递增，在上单调递减， 在时取到极小值，且. 在时取到极大值，且.………7分
综上可得，当时， 在时取到极小值， 没有极大值；当时， 在时取到极大值，在时取到极小值；当时， 没有极大值也没有极小值；当时， 在时取到极小值.在时取到极大值.………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当且时， 有两个极值点， ，且 .所以 ，10分
设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，由且可得，所以 ，即 .……12分
22、（I）曲线,即,于是有,化为直角坐标方程为:
（II）方法: 即
由的中点为得,有,所以由 得
方法2:设,则,∵,∴,由 得.方法3: 设,则由是的中点得,
∵,∴,知∴,由 得.
方法4:依题意设直线,与联立得,即
由得 ,因为 ,所以.
23.（Ⅰ）证明：因为，所以.所以要证明，即证明.
因为，
所以.因为，所以.
所以.
（Ⅱ）设，则“对任意实数，不等式恒成立”等价于“”.当时， 此时，
要使恒成立，必须，解得.当时， 不可能恒成立.
当时， 此时，
要使恒成立，必须，解得.综上可知，实数的取范为.下载本文
