高三数学（文科）2016.3
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合,则集合为
| A．[0,3) | B．[1,3) | C．(1,3) | D．(-3,1] |
A. B. C. D.
3. 下图为函数，，在同一直角坐标系下的部分图象，则下列结论正确的是 （ ）
A .
B.
C.
D.
4. 如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（ ）
A. B. C. D.
5. 变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
6. 在△ABC中，sin 2A = sin 2B是A = B的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
8. 已知定点，,是圆：上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
第卷 （非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9. 已知向量，且，则实数____________．
10. 若点在函数的图象上，则_______.
11. 在区间[-1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为 .
12. 在中，内角的对边分别是，若，的面积为，则 .
13. 已知双曲线C：的一个焦点是抛物线的焦点，且双曲线 C的离心率为，那么双曲线C的方程为____；渐近线方程是____.
14. 有甲、乙、丙、丁四位选手参加国际数学建模大赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位选手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”.四位选手的话只有两句是对的，则获奖的选手是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15（本小题满分13分）
已知函数
（1）求的最大值和最小正周期；
（2）设，，求的值
16. （本小题满分13分）
一汽车厂生产A,B,C三类轿车,某月的产量如下表(单位:辆):
| 类别 | A | B | C |
| 数量 | 400 | 600 |
（1）求的值；
（2）用分层抽样的方法在A，B类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆A类轿车的概率;
（3）用随机抽样的方法从A,B两类轿车中各抽
取4辆，进行综合指标评分，经检测它们
的得分如图，比较哪类轿车综合评分比较
稳定.
17. （本小题满分14分）
在四棱锥中，，，面，为的中点，．
（1）求证：；
（2）求证：面；
（3）求三棱锥的体积．
18. （本小题满分13分）
在等比数列中，公比，且满足，是与的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前的和为，求数列的前的和
19．（本小题满分14分）
椭圆（）的左焦点为，右焦点为，离心率. 设动直线与椭圆相切于点且交直线于点，的周长为.
求椭圆的方程；
求两焦点.到切线的距离之积；
求证：以为直径的圆恒过点.
20（本小题满分13分）
已知函数.
（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若，求函数的极小值；
（3）若方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围.
参
一．选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 答案 | B | D | C | B | C | B | A | B |
| 题号 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 答案 | 0 | 4 | 丙 |
15.解：（1）…………………1分
………………………4分
且的最大值为…………………………5分
最小正周期……………………………………6分
（2）…………………7分
， …………………8分
又，…………………9分
…………………10分
…………………11分
又
…………………13分
16. 解: (Ⅰ)由题意得, ,所以 --------------------3分
(Ⅱ)根据分层抽样可得,,解得 -------------------4分
∴样本中有A类2辆B类3辆，分别记作A1,A2,B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(A1, A2) (A1, B1), (A1, B2) , (A1, B3) (A2 ,B1), (A2 ,B2), (A2 ,B3),(B1 ,B2), (B1 ,B3) , (B2 ,B3)共10个,其中至少有1辆A类轿车的基本事件有7个: (A1, A2) ,(A1, B1), (A1, B2) , (A1, B3) (A2 ,B1), (A2 ,B2), (A2 ,B3), ,所以从中任取2辆,至少有1辆A类轿车的概率为.
----------------------7分（Ⅲ）, --------9分
∴, ----------------------11分
∵,∴B类轿车成绩较稳定. ----------------------13分
17.解：在四棱锥中，，，面，为的中点，．
（1）求证：；
（2）求证：面；
（3）求三棱锥的体积．
解：（1）证明 取中点，连接. ……1分
在中，，，
则 ,．
而
则 在等腰三角形中 . ① ………………2分
又 在中，,
则 ∥ ……………………………………………………………………3分
因 面，面，
则 ，
又 ，即，
则 面，……………………4分
，
所以 ． ② ………………5分
由①②知 面．
故 ．…………………………6分
（2）（法一）取中点，连接．
则 在中, ∥.
又 面, 面
则 ∥面, …………………………………………………………………7分
在中，
所以为正三角形，
则 ……………………………………………………………………8分
又
则 ∥.
又 面, 面
则 ∥面, …………………………………………………………………9分
而 ，
所以 面∥面. …………………………………………………………10分
又 面
则 ∥面． ………………………………………………………………11分
(法二)延长交于，连接． …………………………………………7分
在中，，，
则 为的中点…………………………………………………………………9分
又
所以 ∥……………………………………………………………………10分
又 面, 面
则 ∥面.…………………………………………………………………11分
（3）由（1）（2）知 ,
因 面， ∥
则 面，……………………………………………………………12分
而 ………………………………………13分
故 ………………14分
18. 解（1）由题可知：…………………1分
，…………………3分
或（舍去）…………5分
…………………7分
（2），…………………9分
所以数列是以为首项1为公差的等差数列，…………………11分
…………………12分
所以数列是以6为首项，为公差的等差数列，所以…………………13分
19. 解：（1）设
则，解得………………………………3分
∴，
∴椭圆E:…………………………………………………………4分
（2）由 +=1
………………………………………………6分
设直线与椭圆E相切于点P
则………………………………………………………7分
焦点到直线的距离分别为
，，………………………………………………………8分
则………………………………………………………9分
（3）
∴=-，∴……………………10分
又联立与，得到………………………………………11分,
…………………………………………………………………………………………13分
∴∴以PN为直径的圆恒过点………………………………………14分
20. 解：（Ⅰ）,由题意可得在上恒成立；---1分
∴， ----------------------2分
∵，∴， ----------------------3分
∴时函数的最小值为，
∴ ----------------------4分
(Ⅱ) 当时， ------------------5分
令得，
解得或（舍），即 ----------------------7分
当时，，当时，
∴的极小值为 ----------------------8分
（Ⅲ）将方程两边同除得
整理得 ----------------------9分
即函数与函数在上有两个不同的交点； ----------------------10分
由（Ⅱ）可知，在上单调递减，在上单调递增
，当时， ∴
实数的取值范围为 ----------------------13分下载本文
