数学(文科)

时间：120分钟　　　满分：150分

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U＝{x∈N|y＝}，A＝{x∈N＋|x－4<0}，B＝{2，4}，则(∁UA)∪B＝(　　)

A．{2}             B．{4}              C．{2，4，5}            D．{0，2，4，5}

2．已知i是虚数单位，直线2x＋y＋2＝0在x轴、y轴上的截距分别为复数z(1－i)的实部与虚部，则复数z的共轭复数为(　　)

A.－i             B.＋i             C．－－i               D．－＋i

3．若双曲线E：－＝1(m>1)的焦距为10，则双曲线E的离心率为(　　)

A.                 B.                 C.                      D.

4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S9＝126，a4＋a10＝40，则S4＋a4的值为(　　)

A．52               B．37              C．26                    D．10

图3­1

5．在《九章算术》中有这样一个问题：某员外有小米一囤，该囤的三视图如图3­1所示(单位：尺)，已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3.1，则该囤所储小米斛数约为(　　)

A．459                B．138            C．115                  D．103

6．已知某班某个小组8人的物理期末考试成绩的茎叶图如图3­2所示，若用如图3­3所示的程序框图对成绩进行分析(其中框图中的a表示小组成员的物理成绩)，则输出的A，B值分别为(　　)

图3­2

图3­3

A．76，37.5%      B．75.5，37.5%     C．76，62.5%      D．75.5，62.5%

7．已知在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，AB＝2，∠ACB＝120°，AA1＝4，则该三棱柱外接球的表面积为(　　)

A.        B．π       C．32π        D．8π

8．使命题p：∃x0∈R＋，x0ln x0＋x－ax0＋2<0成立为假命题的一个充分不必要条件为(　　)

A．a∈(0，3)  B．a∈(－∞，3]  C．a∈(3，＋∞)  D．a∈[3，＋∞)

9．已知实数x，y满足则z＝x2＋y2＋2y的取值范围为(　　)

A.          B.        C.           D.

10．若函数f(x)满足：①对定义域内任意x，都有f(x)＋f(－x)＝0，②对定义域内任意x1，x2，且x1≠x2，都有>0，则称函数f(x)为“优美函数”．下列函数中是“优美函数”的是(　　)

A．f(x)＝                     B．f(x)＝ln(1＋x)＋ln

C．f(x)＝           D．f(x)＝tan x

11．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2n－1，则数列{an}的前100项和S100为(　　)

A．399－5051       B．3100－5051     C．3101－5051        D．3102－5051

12．已知函数y＝xex＋x2＋2x＋a恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围为(　　)

A.     B.     C.       D.

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某地网通公司为了了解用户对宽带网速的满意程度，从本地1002个宽带用户中，采用系统抽样方法抽取40个用户进行调查，先随机从1002个用户中删去2个，再将余下的1000个用户编号为000，001，…，999，再将号码分成40组，若第8组抽到的号码为184，则第25组抽到的号码为________．

14．已知非零向量a，b满足|a|＝2，若向量b在向量a方向上的投影为－2，b⊥(b＋2a)，则|a＋b|＝________．

15．已知直线2x＋y－2＝0与x轴的交点是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线C的焦点F，P是抛物线C上一点，若x轴被以P为圆心，|PF|为半径的圆截得的弦长为2，则圆P的方程为________．

16．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图像如图3­4所示，则关于函数g(x)＝－2Asin2＋＋A，给出下列说法：

①g(x)的单调递增区间为，＋，k∈Z；

②直线x＝－是曲线y＝g(x)的一条对称轴；

③将函数f(x)图像上所有的点向左平移个单位长度即可得到函数y＝g(x)的图像；

④若函数g(x＋m)为偶函数，则m＝－，k∈Z.

其中，正确说法的序号是________．

图3­4

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)已知在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，＝.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝2，△ABC是锐角三角形，求＋c的取值范围．

18．(本小题满分12分)中国某文化研究机构为了解国人对中国传统戏剧的态度，随机抽取了68人进行调查，相关的数据如下表所示：

(2)用分层抽样的方法在喜爱传统戏剧的16人中随机抽取8人，再从这8人中任取2人，求恰有1人年龄在五十岁以下(不含五十岁)的概率．

附：

(1)求证：BE⊥PC；

(2)求点A到平面PBC的距离．

图3­5

20．(本小题满分12分)已知A，B分别是离心率为的椭圆E：＋＝1(a>b>0)的上顶点与右顶点，右焦点F2到直线AB的距离为.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点M(0，2)作直线l交椭圆E于P，Q两点，求·的取值范围．

21．(本小题满分12分)函数f(x)＝(a－1)ln x＋＋bx＋2(a，b∈R)．

(1)若函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程为x－y＋1＝0，求实数a，b的值；

(2)已知b＝1，当x>1时，f(x)＞0，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy和极坐标系中，极点与原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，直线l过点(1，1)，倾斜角α的正切值为－，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin.

(1)写出直线l的参数方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)判断直线l与曲线C的位置关系，若直线l与曲线C相交，求直线l被曲线C截得的弦长．

23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－1|－|2x－3|.

(1)已知f(x)≥m对0≤x≤3恒成立，求实数m的取值范围；

(2)已知f(x)的最大值为M，a，b∈R＋，a＋2b＝Mab，求a＋2b的最小值．

参·数学(文科)

高考原创押题卷（三）

1．D

2．B　[解析] 由题知，直线2x＋y＋2＝0在x轴、y轴上的截距分别为－1，－2，

所以z(1－i)＝－1－2i，所以z＝－＝－＝－i，

故复数z的共轭复数为＋i，故选B.

3．C　[解析] 由题可知a2＝2m－2，b2＝m，c＝5，所以c2＝2m－2＋m＝25，解得m＝9，所以a＝4，所以双曲线E的离心率e＝，故选C.

4．B　[解析] 设首项为a1，公差为d，由题知126＝S9＝＝9a5，解得a5＝14，由a4＋a10＝2a7＝40，得a7＝20，所以d＝＝3，所以a1＝a5－4d＝2，所以S4＋a4＝37，故选B.

5．C　[解析] 由三视图知，粮囤是由一个底面半径为3、高为6的圆柱和一个等底、高为2的圆锥组成的组合体，其体积为3.1×32×6＋×3.1×32×2＝186(立方尺)，所以该囤所储小米斛数约为186÷1.62≈115，故选C.

6．A　[解析] 由程序框图知，输出的A表示本小组物理成绩的平均值，B表示本小组物理成绩大于或等于80分的人数占小组总人数的百分比，故A＝＝76，B＝×100%＝37.5%，故选A.

7．C　[解析] 设该三棱柱的外接球的半径为R，底面所在截面圆的半径为r，由正弦定理，知2r＝＝＝4，所以r＝2，所以R＝＝＝2，所以该三棱柱外接球的表面积S＝4π×(2)2＝32π，故选C.

8．A　[解析] 若命题p为假，则綈p：∀x∈R＋，xln x＋x2－ax＋2≥0是真命题，即a≤ln x＋x＋对x∈R＋恒成立．设f(x)＝ln x＋x＋(x>0)，则f′(x)＝＋1－＝，当01时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝3，∴a≤3，故命题p为假命题的一个充分不必要条件为a∈(0，3)，故选A.

9．B　[解析] 目标函数z＝x2＋y2＋2y＝x2＋(y＋1)2－1表示可行域内点(x，y)与点M(0，－1)距离的平方减去1，作出可行域，如图中阴影部分所示，

过M作直线x＋2y－4＝0的垂线，垂足为N，由图知，N在线段AB上，MN＝＝，故zmin＝－1＝.由图可知，可行域内点C与点M的距离最大，由得C，，所以MC＝＝，所以zmax＝－1＝.所以z的取值范围为，，故选B.

10．B　[解析] 依题意，“优美函数”是奇函数，且在定义域上是增函数．对选项A，定义域为R，∀x∈R，f(－x)＝＝＝－f(x)，∴该函数是奇函数，f(－1)＝>0＞f(1)＝，∴该函数在定义域内不是增函数，故A不是“优美函数”；对选项B，∵∴－10，∴该函数在(－1，1)上是增函数，∴该函数是“优美函数”；对选项C，∵f＝－＋2×＋1＝＞f＝＋2×－1＝－，∴该函数在定义域上不是增函数，故该函数不是“优美函数”；对选项D，由y＝tan x的图像知，该函数在定义域上不单调，故不是“优美函数”．故选B.

11．B　[解析] ∵an＋1＝3an＋2n－1，∴an＋1＋n＋1＝3(an＋n)，∵a1＝1，∴a1＋1＝2≠0，∴数列{an＋n}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋n＝2×3n－1，∴an＝2×3n－1－n，∴S100＝2×30－1＋2×3－2＋2×32－3＋…＋2×399－100＝2×30＋2×3＋2×32＋…＋2×399－1－2－3－…－100＝－＝3100－5051，故选B.

12．B　[解析] 由题知，方程xex＋x2＋2x＋a＝0有两个解，即方程xex＝－x2－2x－a恰有两个解．设g(x)＝xex，φ(x)＝－x2－2x－a，即函数y＝g(x)的图像与y＝φ(x)的图像恰有两个交点．因为g′(x)＝ex(x＋1)，当x<－1时，g′(x)＜0，当x>－1时，g′(x)＞0，所以g(x)在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，所以当x＝－1时，g(x)取得最小值g(－1)＝－.因为φ(x)＝－x2－2x－a＝－(x＋1)2－a＋1，所以当x＝－1时，φ(x)取得最大值φ(－1)＝1－a，则1－a>－，所以a<1＋，故选B.

13．609　[解析] 由题知每组为25个用户，根据系统抽样是等距离抽样知，第25组抽取的号码为184＋(25－8)×25＝609.

14．2　[解析] 由向量b在向量a方向上的投影为－2，知＝－2，∴a·b＝－4，∵b⊥(b＋2a)，∴b·(b＋2a)＝|b|2＋2b·a＝0，∴|b|＝2，∴|a＋b|＝ ＝＝2.

15．x2＋y2＝1或(x－2) 2＋(y±2)2＝9　[解析] 由题知F(1，0)，故抛物线C的焦点在x轴上，设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，则＝1，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.设P(x0，y0)，则y＝4x0，根据抛物线的定义，知|PF|＝1＋x0，圆心P到x轴的距离为|y0|，由垂径定理，得(1＋x0)2＝y＋12，即(1＋x0)2＝4x0＋1，解得x0＝0或x0＝2.当x0＝0时，y0＝0，|PF|＝1，圆P的方程为x2＋y2＝1；当x0＝2时，y0＝±2，|PF|＝3，圆P的方程为(x－2)2＋(y±2)2＝9.

16．③④　[解析] 由图知A＝3，f(0)＝3sin φ＝，所以sin φ＝，因为|φ|<，所以φ＝，由＋＝，解得ω＝3，所以f(x)＝3sin，g(x)＝－2Asin2＋＋A＝Acos(ωx＋φ)＝3cos3x＋.令2kπ－π≤3x＋≤2kπ，k∈Z，解得－≤x≤－，k∈Z，所以g(x)的单调递增区间为－，－，k∈Z，故①错；因为g＝3cos3×＋＝0，所以直线x＝－不是曲线y＝g(x)的对称轴，故②错；将f(x)的图像向左平移个单位长度，得到的图像对应的函数解析式是y＝3sin3x＋＋＝3sin＋＝3cos，故③正确；因为g(x＋m)＝3cos3(x＋m)＋＝3cos，所以g(x＋m)是偶函数的充要条件是3m＋＝kπ，k∈Z，解得m＝－，k∈Z，故④正确．故填③④.

17．解：(1)由＝及正弦定理，得＝，即c2－bc－accos B＝abcos C－b2，2分

由余弦定理，得c2－bc－ac·＝ab·－b2，整理得c2＋b2－a2＝bc，4分

∴cos A＝＝＝，5分

∵0(2)由正弦定理，得＝＝，

∴b＝sin B，c＝sin C，8分

∴＋c＝4×bcsin＋c＝(b＋c)＝4(sin B＋sin C)＝4sin B＋sin＝4sin B＋sincos B－cossin B＝4sin B＋cos B＝4sin.10分

由(1)知B＋C＝，∴C＝－B＜，∴∴6<4sin≤4，

∴＋c的取值范围为(6，4].12分

18．解：(1)由题知b＝22－10＝12，c＝52－10＝42.

2分

由2×2列联表中的数据，得K2的观测值k＝≈17.388＞6.635，4分

∴有99%的把握认为喜爱传统戏剧与年龄有关．

5分

(2)由分层抽样方法，知从喜爱传统戏剧的16人中抽取8人，五十岁以上(含五十岁)的有6人，设这6人为x1，x2，x3，x4，x5，x6，五十岁以下(不含五十岁)的有2人，设这2人为y1，y2，6分

从这8人中任取2人的所有情况有：{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，x4}，{x1，x5}，{x1，x6}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，x4}，{x2，x5}，{x2，x6}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，x4}，{x3，x5}，{x3，x6}，{x3，y1}，{x3，y2}，{x4，x5}，{x4，x6}，{x4，y1}，{x4，y2}，{x5，x6}，{x5，y1}，{x5，y2}，{x6，y1}，{x6，y2}，{y1，y2}，共28种，8分

∴恰有1人年龄在五十岁以下(不含五十岁)的不同取法有：{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{x4，y1}，{x4，y2}，{x5，y1}，{x5，y2}，{x6，y1}，{x6，y2}，共12种，10分

∴恰有1人年龄在五十岁以下(不含五十岁)的概率P＝＝.12分

19．解：(1)证明：设AB的中点为F，连接PF，EF，FC，设FC∩BE＝O.∵△PAB是边长为4的正三角形，∴PF⊥AB，BF＝2，∵平面PAB⊥平面ABCD，∴PF⊥平面ABCD，

∵BE⊂平面ABCD，∴PF⊥BE.3分

∵E是CD的中点，底面ABCD是平行四边形，BC＝2，∴EF∥BC，AB∥CD，BF＝BC，

∴四边形BCEF是边长为2的菱形，

∴BE⊥FC，

∵FC∩PF＝F，∴BE⊥平面PFC，

∵PC⊂平面PFC，∴BE⊥PC.6分

(2)由(1)知PF＝2，PB＝4，PF⊥平面ABCD，四边形BCEF是边长为2的菱形，∠FBC＝60°，∴FC＝2，∴PC＝＝＝4，

∴S△PCB＝×2×＝.7分

设点A到平面PBC的距离为d，则V四棱锥A­PBC＝S△PBCd＝，V四棱锥P­ABC＝S△ABC·PF＝××4×2×sin 60°×2＝4，9分

∵V四棱锥A­PBC＝V四棱锥P­ABC，∴＝4，解得d＝，11分

∴点A到平面PBC的距离为.12分

20．解：(1)由题知e＝＝，∴c＝a，∴b＝＝a，∴A，B(a，0)，F2，

∴直线AB的方程为x＋2y－a＝0，

∴＝，解得a＝2，∴b＝1，

∴椭圆E的方程为＋y2＝1.4分

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，易知P，Q为椭圆的上、下顶点，可设P(0，1)，Q(0，－1)，此时·＝－1.6分

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程x2＋4y2－4＝0，整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝，7分

由Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k2)>0，得k2>.

·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－＋4＝＝－1＋，9分

由k2>，得4k2＋1>4，∴0＜＜，∴－1＜－1＋＜，∴直线l斜率存在时，·的取值范围为.11分

综上，·的取值范围为.12分

21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－＋b.

由题知解得5分

(2)当b＝1时，f(x)＝(a－1)ln x＋＋x＋2，

∴f′(x)＝－＋1＝＝.7分

当a≥－1时，－a≤1，当x>1时，f′(x)＞0，∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数，∴当x>1时，f(x)＞f(1)＝a＋3≥2，∴a≥－1满足题意.9分

当a<－1时，－a>1，当1－a时，f′(x)＞0，∴f(x)在区间(1，－a)上是减函数，在区间(－a，＋∞)是增函数，∴f(x)min＝f(－a)＝(a－1)ln(－a)＋－a＋2＝(a－1)ln(－a)－a＋1，由题知f(x)min＝(a－1)ln(－a)－a＋1＞0，解得a>－e，∴－e综上所述，实数a的取值范围为(－e，＋∞)．

12分

22．解：(1)由题知tan α＝－＜0，0<α<π，∴<α<π，sin α＝－cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，得＋cos2α＝1，解得cos α＝－，∴sin α＝，∴直线l的参数方程为(t为参数).3分

由ρ＝4sin，得ρ＝4sin θ＋4cos θ，即ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，由ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，得x2＋y2－4x－4y＝0，

∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＝0.5分

(2)∵12＋12－4×1－4×1＝－6<0，∴点(1，1)在圆x2＋y2－4x－4y＝0内部，∴直线l与曲线C相交. 7分

设直线l与曲线C的交点M，N对应的参数分别为t1，t2，将(t为参数)代入

x2＋y2－4x－4y＝0，整理得t2＋t－6＝0，

∴t1＋t2＝－，t1t2＝－6，

∴|MN|＝|t1－t2|＝＝＝，直线l被曲线C截得的弦长为.10分

23．解：(1)∵f(x)＝|x－1|－|2x－3|＝∴f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．∵f(0)＝－2，f(3)＝－1，∴当0≤x≤3时，f(x)min＝f(0)＝－2，则m≤－2. 5分

(2)由(1)知，f(x)max＝f＝，

∴a＋2b＝ab，∴＋＝1，

∴a＋2b＝(a＋2b)＝8＋2≥8＋2×2＝16，

当且仅当＝，即a＝2b＝8时，a＋2b取得最小值16.10分下载本文