作者：杨美花 杨武昌

来源：《云南教育·小学教师》2012年第06期

        《数学课程标准（实验稿）》指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”“鸡兔同笼”问题是我国古代数学名著《孙子算经》中记载的一道数学趣题，是义务教育课程标准实验教科书人教版数学六年级上册第七单元“数学广角”中的教学内容。教材先引入《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题，通过提问激发学生解答古代名题的兴趣。考虑到原题的数据较大，教材在例1中安排一道数据较小的“鸡兔同笼”问题，先后呈现了多种不同的解决问题的策略，旨在让学生感受我国古代数学问题的趣味性、解法的巧妙以及思考的独特性。那么，这些策略蕴含着哪些重要的数学思想方法，又该如何向学生有效渗透这些重要的数学思想方法呢？对此，教师要准确把握教材，立足学生的发展，以“鸡兔同笼”问题为载体，引导学生体验方法策略的多样性，丰富感知，掌握基本的数学思考方法，使学生在知识、能力、情感态度等方面都有所收获。

        一、挖掘教材内涵，在知识的形成过程中感悟数学思想方法

        数学思想是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识，数学方法则是数学思想的具体表现形式，数学思想和数学方法合在一起，称为数学思想方法。数学是知识与方法的有机结合，没有不包含思想方法的数学知识，也没有游离于数学知识之外的思想方法。可以说，数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是数学素养的重要内容之一。因此，教学中我们必须深入钻研教材，充分挖掘教材中隐含的数学思想方法，注重展现结论的形成过程，引导学生积极参与，有意识地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的各种思想方法，并通过具体的过程来实现数学思想方法的教学。

        1?郾由简到繁。教材用一个富有情趣的古代名题，生动地呈现了《孙子算经》中记载的“鸡兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”考虑到学生对古代语言文字的理解有困难，于是解释为：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？”由于原题涉及的数量较大，会影响学生对问题本质的理解，于是通过小精灵的提示：“我们可以从简单的问题入手。”将问题的数量适当缩小但不改变问题的结构，这样就引出了例题1：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”同样是“鸡兔同笼”问题，由于数量由大到小变化，为分析和解决问题提供了许多方便，同时又降低了难度，学生在解决问题的过程中，经历了由简到繁的思维过程，同时也获得了解决复杂问题的基本方法。

        2?郾猜想方法。波利亚说过：“数学事实首先是被猜想，然后是被证实。”数学猜想是依据已有的材料或知识经验，对研究的数学对象（或数学问题）做出符合一定规律的推测性想象。猜想是一种在已有知识经验的基础上对问题进行直觉试探，从而形成某种假设的一种思维活动和思想方法。例如，先引导学生根据例题1中的“从上面数，有8个头”，大胆猜测“鸡和兔各有几只”，再根据“从下面数，有26只脚”让学生对猜测进行初步的估算。在初步理解“鸡兔同笼”头和脚的变化关系后，启发学生思考：如果总脚数猜多了，就要增加鸡的只数，减少兔的只数，如果总脚数猜少了，就要增加兔的只数，减少鸡的只数。由于学生已经具备一定的生活经验和知识，他们会猜测出各种答案（直到全部猜对），这样的猜测不仅为解决问题指明了方向，还增强了学生的数感，发展了推理能力。

        3?郾列举方法。有些实际问题往往无法一时建立合适的数学模型，就可利用已知条件用一一列举的方法将所有可能出现的结果呈现出来，通过比较，从中获得符合条件的答案，为数学模型的建立奠定基础。例如，如果全是鸡，共有脚8×2=16（只），如果全是兔共有脚8×4=32（只），显然不可能全是一种动物。假设全是鸡，脚的只数比已知条件（26只）少，因而就在总头数不变的条件下减少鸡的只数，增加兔的头数，这样脚的总只数就会增加，这样的一增一减就将全部的可能性一一列举出来，如下表：

        只要完成上表，从表中的数不难看出，只有鸡3只，兔5只符合题意。

        4?郾画图方法。画图的思想方法已成为学生学习数学的一种需要。借助简单图形（示意图），不仅促进了学生形象思维和抽象思维的协调发展，还沟通了数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。具体解法如下：

        （1）画出头和身。

        （2）画出鸡的脚。

        （3）顺次添脚差（兔）。

        （4）鸡兔知多少，即鸡3只，兔5只。

        运用画直观图的方法解决“鸡兔同笼”问题，有利于学生感悟数学解题策略，发展思维。

        5?郾假设方法。假设思想是解决数学问题的重要思维方式之一。例如，“鸡兔同笼”问题中要求鸡和兔的只数，有两个未知数，可运用假设思想方法，引导学生这样思考：假设8只都是兔，那么应该有脚4×8=32（只），比实际多32-26=6（只），为什么会多出6只脚呢？因为笼子里不全是兔，还有一部分是鸡。一只兔比一只鸡多2只脚，多出6只脚，所以鸡的只数是6÷2=3（只），兔的只数是8-3=5（只）。一些比较难的题目，通过恰当假设达到化难为易的目的，使解决问题收到意想不到的效果。

        6?郾数形结合方法。数与形是数学研究的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”把复杂问题简单化，抽象问题具体化，促进学生形象思维与抽象思维协调发展，提高解决问题的能力。例如，运用数形结合的思想方法解决“鸡兔同笼”问题时，首先根据题意画出大小相连的两个长方形（如下图）。

        整个面积表示26（把26只脚看成总面积26），大长方形为空白的，小长方形为阴影。空白长方形的面积表示2×8，阴影（长方形）面积表示兔脚比鸡脚多的只数，即26-2×8，所以兔的只数为（26-2×8）÷（4-2）=5（只），鸡的只数为8-5=3（只）。通过“数形结合”实现了解题思路的转化，提升了学生的数学建构能力，发展了学生的数学思想。

        7?郾比较方法。比较思想方法在小学数学教学中无处不在，其重要性不言而喻。“比较”就是在思考问题时对两种或两种以上的同类研究对象的异同进行辨别。例如，运用比较方法解决“鸡兔同笼”问题时，可引导学生这样思考：如果令兔子站立（两只脚着地，都按鸡的只数计算），这时脚数为2×8=16（只），比实际的脚数少26-16=10（只），少的脚数就是兔子站立时少的脚数。所以，兔子的只数为10÷2=5（只），鸡的只数为8-5=3（只）。

        8?郾建模方法。数学建模是解决实际问题的一种模型化方法，它是对量（形）的考查、抽象（或简化），应用有关的定律、原理建立起事物之间的某种关系，用数学语言、符号描述或解释现实世界中的现象。数学模型反映了数学思维的过程，高度的概括化、形式化是其主要特征。例如，在解决“鸡兔同笼”问题的过程中，根据一类实际问题的一般特征归纳出：鸡的只数=（头的总个数×4-脚的总只数）÷（4-2）；兔的只数=（脚的总只数一头的总只数×2）÷（4-2）。运用这个数学模型，可以便捷地解决类似“鸡兔同笼”的问题。由此看出数学模型的构建对学生的发展来说，其意义远远超过仅仅获得某些数学知识。

        9?郾代数方法。代数的思想方法也就是列方程解决问题的方法。通过假设未知数，将未知量做已知，在已知数与未知数之间建立一个等式（方程），解方程求未知数。这种解决问题的方法直接、简单，可化难为易。例如，用方程解“鸡兔同笼”问题：兔的脚数+鸡的脚数=两种动物的总脚数。设兔为x只，则鸡为（8-x）只，列出方程4x+2×（8-x）=26，解得x=5，则鸡为8-5=3（只）。

        二、让学生在解决问题的过程中提升数学思想

        数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象与概括。实践证明，任何一种数学思想方法都需要学生在数学活动中积极实践、反复体验，不断积累，才能逐步理解和掌握。因此，在教学中，我们要遵循数学课程标准的要求，紧扣教材中的习题，让学生在练习与实践活动中不断探究，促进数学思想方法的内化。例如：

        1?郾出示民谣：一队猎手一队狗，二队排成一队走，数头一共三百六，数脚一共八百九，问有多少猎手多少狗？

        2?郾向阳小学老师和学生共100人去义务植树，老师每人植3棵，学生平均3人植一棵，正好植树100棵。老师和学生各有多少人？

        3?郾六年级（1）班举行知识竞赛。答对一题加10分，答错一题扣5分。3号选手李明抢答了12道题，得了90分，他答对了几道题？

        4?郾王丽用14元钱买邮票，买了120分和80分的邮票一共15张。她买了几张80分的邮票？

        5?郾张大爷家养了鸡兔共200只，鸡的脚数比兔的脚数少56只，请你帮忙算一算，鸡和兔各有多少只？

        在教学中，教师要深入钻研教材，挖掘教材中关于数学思想方法教学的各种因素，不失时机地把隐含在教学内容中的数学思想方法传授给学生，并学会运用。只有这样有目的、有层次地进行数学思想方法的教学，才能有效提升学生的数学素养。

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