数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题）下列各题给出的四个选项中，只有一个符合要求，请将正确

1．（3分）计算a2•a6的结果是（）

A．a3B．a4C．a8D．a12

2．（3分）未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考!下列表示计算机视觉交互应月的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

3．（3分）下列事件中，必然事件是（）

A．早晨的太阳从西方升起B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数C．从地面向上抛出的篮球会落下D．任意掷一个矿泉水瓶盖，盖口向上4．（3分）下列计算正确的是（）

A．a（a﹣I）＝a2﹣1B．（a+2）2＝a2+4

C．（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣1D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9

5．（3分）血小板是人体中最小的细胞，平均厚度约0.0000005～0.0000015米，将数据“0.0000015米”用科学记数法表示为（）

A．1.5×10﹣6米B．15×10﹣7米C．1.5×10﹣5米D．0.15×10﹣5米6．（3分）如图，已知直线MN∥AB，直线l截两条平行线，点C是直线l上一点CD⊥MN 于点D．若∠C＝40°，则∠1的度数是（）

A．30°B．50°C．40°D．60°7．（3分）如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均为格点，△ABC≌△CDE，点B，C，D在同一直线上，则下列结论不正确的是（）

A．∠BAC＝∠ECD B．∠BAC+∠CED＝90°

C．AC⊥EC D．AC＝CD

8．（3分）一个不透明的袋子中装有4个白球和6个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球是白球的概率为（）

A．B．C．D．

9．（3分）如图，已知∠AOB＝40°按如下步骤作图：

①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA和OB于点C，D；

②分别以点C，D为圆心、OC长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E；

③作射线OE；

④连接DE，CE．

由作图可知∠OEC的度数为（）

A．40°B．30°C．25°D．20°

10．（3分）小乐放学后骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续以原来的速度骑车回家，小乐离家的路程s（单位：米）与时间t（单位：分钟）的关系如图所示，则从该十字路口到小乐家的路程为（）

A．1500米B．1200米C．900米D．700米二、填空题（本大题共5个小题）把结果直接填在横线上

11．（3分）计算2﹣2的结果是．

12．（3分）晋祠是中国最美宗祠之一，周末两名老师带领x名学生到晋祠博物馆参观研学，已知成人票每张80元，学生票每张40元，设门票的总费用为y元，则y与x的关系式为．

13．（3分）如图，在△ABC与△DCB中，∠ACB＝∠DBC．若添加一个条件，可以判定△ABC≌△DCB，则这个条件可以是．

14．（3分）如图是一个可以自由转动的转盘，该转盘被等分为16个扇形，现计划将其中一些扇形分别涂上红色、蓝色、黄色，转动转盘任其自由停止，若指针正好指在红色、蓝色、黄色区域，即可分别获得一、二、三等奖，已知其中2个扇形涂红色，4个扇形涂蓝色，如果要使转动一次转盘中奖的概率为75%，则涂黄色的扇形应有个．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝50°，AC的垂直平分线交BC 于点E．垂足为点D．若点F在射线DE上，且CF＝CA，则∠EAF的度数为．

三、解答题（本大题共8个小题）解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程16．（1）计算：①2；②（m﹣2n）2﹣4n2．

（2）先化简，再求值：[（x﹣y）（x﹣4y）+（x+2y）（x﹣2y）]÷（2x），其中x＝﹣1，y ＝2．17．已知：∠α，线段b，c．

求作：△ABC，使∠A＝∠α，AC＝b，AB＝c．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

作图区域：

结论：

18．如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，将这枚骰子掷出，求“6”朝上的概率．

19．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF线段BD与CD相等吗？说明理由．

20．数学课上，老师提出问题：如果两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？

小颖认为角的两边是射线，因此要分如下三种情况讨论．请按她的思路完成探究：

问题

已知∠ABC 与∠DEF ，AB ∥DE ，EF ∥BC ，探究∠ABC 与∠DEF 的数量关系

情况

①两边方向均相同，射线BA 与EF 交于点O ．

②一边方向相同，一边方向相反，射线EF 与BA 交于点P ．

③两边方向均相反，点E 在∠ABC 的外部，反向延长射线EF 交

射线BA 于点Q ．

图示

结论∠ABC ＝∠DEF ∠ABC +∠DEF ＝180°∠ABC ＝∠DEF

说理

∵AB ∥DE ，∴∠E ＝∠1（依据）

∵EF ∥BC ，∴∠1＝∠B ．∴∠E ＝∠B ．即∠ABC ＝∠DEF ．

∵AB ∥DE ，∴∠DEF ＝∠2．∵EF ∥BC ，∴∠2＝∠B ．∴∠DEF ＝∠B ．即∠ABC ＝∠DEF ．

结论

如果两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为：

．

（1）情况①说理过程中的“依据”是：．

（2）请补全情况②的说理过程；（3）请补全小颖发现的结论．

21．电动汽车的电池容量与续航里程是用户最为关心的问题，对某型号电动汽车充满电后进行测试，其电池剩余电量y （度）与行驶里程x （千米）之间的关系如下表所示：

行驶里程x （千米）010203040…剩余电量y （度）

60

58

56

54

52

…

（2）该型号电动汽车的电池容量为度；

（3）电动汽车在电量剩余20%﹣30%时充电最佳．请根据上表直接写出该电动汽车剩余电量y（度）与行驶里程x（千米）之间的关系式，并求剩余电量为30%时的已行驶里程．

22．阅读下列材料，完成相应的任务：

神奇的“算两次”

数学中常对同一图形的面积用两种不同的方法表示，从而可得到一个等式．即

用方法甲计算某图形面积表示为A，用方法乙计算同一图形面积表示为B，进

而得到等式A＝B，我们称这一方法为“算两次”．

初步感知：运用“算两次”的方法计算图1中最大正方形的面积，可得等式：

方法应用：如图2，将四个直角边为a、斜边为c的等腰直角三角形拼成正方

形ABCD．用“算两次”的方法计算正方形ABCD的面积，可得：

，

，

则a与c之间满足的等式为.

任务：

（1）补全由图1得到的等式：＝a2+2ab+b2．

（2）写出由图2得到的等式：．

（3）将四个直角边为a、2a，斜边为c的直角三角形按图3的方式拼成正方形ABCD和正方形EFGH．请用“算两次”的方法验证等式”c2＝5a2“

23．综合与实践

问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形和平行线为背景展开探究．如图1，在△ABC 中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，过点A作BC的平行线l．

思考：（1）在图1中的直线l上取点E（点E在点A左侧），使AE＝BD，连接DE 交AB于点F，得到图2．试判断EF与DF的数量关系，并说明理由；

（2）在图1中的直线l上取点G，H（点G，H分别在点A的两侧），使AG＝AH，连接DG交AB于点M，连接DH交AC于点N，得到图3．小字发现GM＝HN，请你帮她说明理由；

合作交流：（3）同学们在图3的基础上展开了更深入的探究．若∠BAC＝40°，当△AGM 是等腰三角形时，直接写出∠GDH的度数．

2022-2023学年山西省太原市七年级（下）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题）下列各题给出的四个选项中，只有一个符合要求，请将正确

1．【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．

【解答】解：a2•a6＝a2+6＝a8．

故选：C．

【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．2．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，

选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，

故选：A．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3．【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．【解答】解：A、早晨的太阳从西方升起，是不可能事件，故A不符合题意；

B、任意买一张电影票，座位号是2的倍数，是随机事件，故B不符合题意；

C、从地面向上抛出的篮球会落下，是必然事件，故C符合题意；

D、任意掷一个矿泉水瓶盖，盖口向上，是随机事件，故D不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．

4．【分析】利用整式的运算法则逐项进行判断即可．

【解答】解：A、a（a﹣1）＝a2﹣a．故错误，不符合题意；

B、（a+2）2＝a2+4a+4，故错误，不符合题意；

C、（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2，故错误，不符合题意；

D、（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，故正确，符合题意．【点评】本题考查整式的混合运算，正确记忆相关的运算法则是解题关键．

5．【分析】根据科学记数法的定义表示即可．

【解答】解：0.0000015＝1.5×10﹣6．

故选：A．

【点评】本题考查了的科学记数法的应用，掌握表示方法是解题关键．

6．【分析】先根据CD⊥MN于点D可得出∠CDE＝90°，由∠C＝40°可得出∠CED＝50°，根据平行线的性质即可得出结论．

【解答】解：∵CD⊥MN于点D，

∴∠CDE＝90°，

∵∠C＝40°，

∴∠CED＝90°﹣40°＝50°．

∵直线MN∥AB，

∴∠1＝∠CED＝50°．

故答案为：B．

【点评】本题考查的是平行线的性质及垂线的定义，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．

7．【分析】根据题意可得：∠CDE＝90°，从而可得∠ECD+∠CED＝90°，然后根据全等三角形的性质AC＝EC，∠BAC＝∠ECD，∠ACB＝∠CED，从而可得∠BAC+∠CED＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，再利用平角定义可得∠ACE＝90°，最后在Rt△CED中，根据CE＞CD，从而可得AC＞CD，即可解答．

【解答】解：由题意得：∠CDE＝90°，

∴∠ECD+∠CED＝90°，

∵△ABC≌△CDE，

∴AC＝EC，∠BAC＝∠ECD，∠ACB＝∠CED，

∴∠BAC+∠CED＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，

∴∠ACE＝180°﹣（∠ACB+∠ECD）＝90°，

∴AC⊥EC，

故A、B、C都正确；

在Rt△CED中，CE＞CD，故D不正确；

故选：D．

【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．8．【分析】根据题意可知，从中任意摸出1个球，一共有10种可能性，其中摸到白球的可能性有4种，从而可以计算出相应的概率．

【解答】解：∵一个不透明的袋子中装有4个白球和6个红球，

∴从中任意摸出1个球，一共有10种可能性，其中摸到白球的可能性有4种，

∴从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是＝，

故选：B．

【点评】此题考查了几何概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．

9．【分析】先判定四边形OCED是菱形，再根据菱形的性质求解．

【解答】解：由作图得：OC＝OD＝DE﹣CE，OE平分∠AOB．

∴四边形OCED是菱形，∠BOE＝∠AOB＝20°，

∴OD∥CE，

∴∠OEC＝∠BOE＝20°，

故选：D．

【点评】本题考查了基本作图，掌握菱形的性质是解题的关键．

10．【分析】先求得小乐骑车的速度，然后再求得小乐两分钟行驶的距离，最后，再用总路程﹣行驶的路程从而可求得十字路口与小乐家的距离．

【解答】解：小乐骑车的速度＝1500÷（6﹣1）＝300（米/分钟），

十字路口与小乐家的距离＝1500﹣300×2＝900（米）．

故选：C．

【点评】本题主要考查了函数的图象，依据函数图象求得小涵骑车的速度是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题）把结果直接填在横线上

11．【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可．

【解答】解：原式＝＝．故答案为．【点评】幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．

12．【分析】根据师生的总票价＝老师的票价+学生的票价，可得出函数关系式．【解答】解：∵总费用＝老师的费用+学生的费用，

∴y＝2×80+40x＝40x+160，

故答案为：y＝40x+160．

【点评】本题考查了函数关系式，解题的关键是明确总票价＝老师的总票价+学生的总票价．

13．【分析】由全等三角形的判定，即可得到答案．

【解答】解：添加一个条件AC＝BD，

在△ABC和△DCB中，

，

∴△ABC≌△DCB（SAS）．

故答案为：AC＝DB（答案不唯一）．

【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法，

14．【分析】根据几何概率的意义，设涂黄色的扇形有x个，则＝75%，解出x即可．【解答】解：设涂黄色的扇形有x个，

∵要使中奖率为75%，

∴＝75%，

解得x＝6．

即涂黄色的扇形为6个．

故答案为：6．

【点评】此题考查了几何概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．

15．【分析】求解∠ACB＝90°﹣50°＝40°，证明∠EAC＝∠ECA＝40°，∠CAF＝∠CFA ＝∠ACF＝60°，再利用角的和差关系可得答案．

【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝50°，

∴∠ACB＝90°﹣50°＝40°，∵ED是AC的垂直平分线，

∴EA＝EC，FA＝FC，

∴∠EAC＝∠ECA＝40°，∠FAC＝∠FCA，

∵CF＝CA，

∴∠CAF＝∠CFA，

∴∠CAF＝∠CFA＝∠ACF＝60°，

∴∠EAF＝∠CAF﹣∠CAE＝20°；

故答案为：20°．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，证明∠CAF＝∠CFA＝∠ACF＝60°是解本题的关键．

三、解答题（本大题共8个小题）解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程16．【分析】（1）①根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则计算；

②根据完全平方公式、合并同类项法则计算；

（2）根据多项式乘多项式的运算法则、平方差公式、合并同类项法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．

【解答】解：（1）①a2b•（﹣2ab2）2

＝a2b•4a2b4

＝2a4b5；

②（m﹣2n）2﹣4n2

＝m2﹣4mn+4n2﹣4n2

＝m2﹣4mn；

（2）原式＝（x2﹣4xy﹣xy+4y2+x2﹣4y2）÷（2x）

＝（2x2﹣5xy）÷（2x）

＝x﹣y，

当x＝﹣1，y＝2时，原式＝﹣1﹣×2＝﹣6．

【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式、多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．

17．【分析】根据作角等于已知角和作线段等于已知线段的基本作法作图．

【解答】解：如图：△ABC即为所求．

【点评】本题考查了复杂作图，掌握基本作图的方法是解题的关键．

18．【分析】首先确定标有“6”的面的个数，然后利用概率公式确定答案即可．【解答】解：∵正二十面体形状的骰子的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，

∴标有“6”的面个数为20﹣1﹣2﹣3﹣4﹣5＝5，

∴这枚骰子掷出，“6”朝上的概率＝．

【点评】此题考查了几何概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．

19．【分析】根据角平分线的性质得出DE＝DF，根据垂直定义得出∠DEB＝∠DFC＝90°，根据SAS证明△DEB≌△DFC，得出BD＝CD即可．

【解答】解：BD＝CD；理由如下：

∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEB＝∠DFC＝90°，

又∵BE＝CF，

∴△DEB≌△DFC（SAS），

∴BD＝CD．

【点评】本题主要考查了角平分线的性质，垂线定义理解，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明△DEB≌△DFC，

20．【分析】（1）由平行的性质“两直线平行，同位角相等”即可得到答案；

（2）由“两直线平行，同位角相等”可得∠B＝∠APE，由“两直线平行，同旁内角互补”可得∠APE+∠DEF＝180°，进而得到结论∠ABC+∠DEF＝180°；（3）根据①②③中的结论即可得到结果．

【解答】解：（1）∵AB∥DE，

∴∠E＝∠1（两直线平行，同位角相等），

∵EF∥BC，

∴∠1＝∠B，

∴∠E＝∠B，

即∠ABC＝∠DEF．

故答案为：两直线平行，同位角相等；

（2）∵EF∥BC，

∴∠B＝∠APE，

∵AB∥DE，

∴∠APE+∠DEF＝180°，

∴∠B+∠DEF＝180°，

即∠ABC+∠DEF＝180°；

（3）由①④可得，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等，由②可得，若两个角的两边分别平行，则这两个角互补．

故答案为：相等或互补．

【点评】本题主要考查平行线的性质，熟知平行线的性质是解题关键．平行线性质定理：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．

21．【分析】（1）根据题意可知y随x的增大而减小，故自变量是行驶里程x，因变量是剩余电量y；

（2）根据行驶里程为0千米时，剩余电量是60度，即可求解；

（3）先根据表格中的数据判断y与x之间是一次函数关系，然后利用待定系数法求出解析式即可；先求出剩余电量为30%时的电量，然后代入求解即可．

【解答】解：（1）由表可知，自变量是行驶里程x，因变量是剩余电量y；

故答案为：行驶里程x，剩余电量y；

（2）当行驶里程为0千米时，剩余电量是60度，故电池容量为60度，故答案为：60；

（3）由表格中数据可知，x每增加10，y就减少2，

故设该电动汽车剩余电量y（度）与行驶里程x（千米）之间的关系式为y＝kx+b，当x＝0时，y＝60；当x＝10时，y＝58，

∴，

解得，

∴该电动汽车剩余电量y（度）与行驶里程x（千米）之间的关系式为，∴剩余电量为30%时的电量为：60×30%＝18度，

令y＝18，则，

解得x＝210，

故剩余电量为30%时的已行驶里程为210千米．

【点评】本题考查列表法表示函数关系，熟练掌握自变量、因变量的定义，熟练掌握待定系数法求解析式．

22．【分析】（1）利用大正方形的面积等于各部分面积之和即可求解；

（2）根据“算两次”的定义即可得到答案；

（3）根据“正方形的ABCD的面积＝边长×边长”列出第一个算式，根据“正方形的ABCD的面积＝正方形EFGH的面积+4个直角三角形的面积”列出第二个算式，进而列出等式，化简即可得到答案．

【解答】解：（1）大正方形的面积为（a+b）2，

各部分面积之和为a2+2ab+b2，

∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，

故答案为：（a+b）2；

（2）∵，

，

∴c2＝2a2，

故答案为：c2＝2a2；

＝（a+2a）2＝9a2，

（3）∵S

正方形ABCDS正方形ABCD＝＝c2+4a2，

∴c2+4a2＝9a2，

∴c2＝5a2．

【点评】本题主要考查整式的乘法与图形面积之间的关系，利用不同的方法表示出图形的面积是解题关键．

23．【分析】（1）证明△AEF≌△BDF（ASA），即可得EF＝DF；

（2）由AB＝AC，AD是BC边上的中线，得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，故AD⊥直线l，可得∠BAG＝∠CAH，再证∠AGD＝∠AHD，从而△AGM≌△AHN（ASA），GM＝HN；

（3）由∠BAC＝40°，可得∠GAM＝∠GAD﹣∠BAD＝70°，分三种情况：①若AG＝GM，则∠AMG＝∠GAM＝70°，故∠AGM＝180°﹣∠AMG﹣∠GAM＝40°，∠AHN ＝∠AGM＝40°，即得∠GDH＝180°﹣∠AGM﹣∠AHN＝100°；②若AG＝AM，则∠AGM＝∠AMG＝55°，同理得∠GDH＝70°；③若AM＝GM，则∠AGM＝∠GAM＝70°，可得∠GDH＝40°．

【解答】解：（1）EF＝DF，证明如下：

如图：

∵直线l∥BC，

∴∠AEF＝∠BDF，∠FAE＝∠FBD，

在△AEF和△BDF中，

，

∴△AEF≌△BDF（ASA），

∴EF＝DF；

（2）如图：

∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，

∵直线l∥BC，

∴AD⊥直线l，

∴∠DAG＝∠DAH＝90°，

∴∠DAG﹣∠BAD＝∠DAH﹣∠CAD，即∠BAG＝∠CAH，∵AG＝AH，

∴AD是GH的垂直平分线，

∴DG＝DH，

∴∠AGD＝∠AHD，

在△AGM和△AHN中，

，

∴△AGM≌△AHN（ASA），

∴GM＝HN；

（3）如图：

∵∠BAC＝40°，

∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝20°，

∴∠GAM＝∠GAD﹣∠BAD＝90°﹣20°＝70°，

①若AG＝GM，则∠AMG＝∠GAM＝70°，

∴∠AGM＝180°﹣∠AMG﹣∠GAM＝40°，

∴∠AHN＝∠AGM＝40°，

∴∠GDH＝180°﹣∠AGM﹣∠AHN＝100°；

②若AG＝AM，则∠AGM＝∠AMG＝（180°﹣∠GAM）÷2＝（180°﹣70°）÷2＝55°，

∴∠AHN＝55°，

∴∠GDH＝70°；

③若AM＝GM，则∠AGM＝∠GAM＝70°，

∴∠AHN＝70°，

∴∠GDH＝40°；

综上所述，∠GDH的度数为100°或70°或40°．

【点评】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，平行线的性质及应用，解题的关键是分类讨论思想的应用。下载本文