2018年普通高等学校招生全国统一考试

全国卷1

理科数学

本试题卷共6页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

    1、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第卷3至5页.

2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.    

3、全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

4、考试结束后，将本试题和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

1、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设，则

A.            B.            C.            D. 

解析：，所以，故答案为C.

2. 已知集合，则

A.                        B. 

C.                    D. 

解析：由得，所以或，所以，故答案为B.

3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 

则下列结论中不正确的是

A. 新农村建设后，种植收入减少

B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

解析：由已知条件经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，，所以尽管种植收入所占的比例小了，但比以往的收入却是增加了.故答案为A.

4. 设为等差数列的前项和，若，，则

A.           B.           C.           D. 

解析：由得即，所以， ，故答案为B.

5. 设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为

A.       B.           C.       D. 

解析：由为奇函数得，所以切线的方程为.故答案为D.

6. 在中，为边上的中线，为的中点，则

A.     B.    C.      D. 

解析：

故答案为A.

7.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为

A.        B.        C. 3             D. 2

解析：如图画出圆柱的侧面展开图，在展开图中线段MN的长度即为最短长度，故答案为B.

8.设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则

A. 5                    B.6                 C. 7             D. 8

解析：联立直线与抛物线的方程得M(1，2),N(4,4)，所以8，故答案为D.

9.已知函数，.若存在个零点，则的取值范围是

A.        B.    C.    D. 

解析：∵存在个零点，即与有两个交点，的图象如图，要使得与有两个交点，则有即，故答案为 C.

10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边.的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为，则

A.    B.     C.    D. 

解析：取,则，

∴区域Ⅰ的面积为，区域Ⅲ的面积为，

区域Ⅱ的面积为，故.故答案为A.

11.已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为.若为直角三角形，则

A.     B. 3        C.        D. 4

解析：渐近线方程为：，即，∵为直角三角形，假设，如图，∴，直线方程为.联立∴，即，∴，∴，故答案为B.

12. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在的直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为

A.        B.    C.   D. 

解析：由于截面与每条棱所成的角都相等，所以平面中存在平面与平面平行（如图），而在与平面平行的所有平面中，面积最大的为由各棱的中点构成的截面，而平面的面积.故答案为A.

第卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答.

2、填空题：本题共4小题，每小题5分.

13.若，满足约束条件，则的最大值为_______________.

解析：

画出可行域如图所示，可知目标函数过点时取得最大值，.

故答案为6.

14.记为数列的前项和，若，则_______________.

解析：由已知得作差得，所以为公比为的等比数列，又因为，所以，所以，所以，故答案为-63.

15.从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有__________种。（用数字填写答案）

解析：分2类：

恰有位女生，有种；

恰有位女生，有种，∴不同的选法共有种.

故答案为16.

16.已知函数，则的最小值是______________________.

解析：∵，∴最小正周期为，∴，令，即，∴或.

∴当，为函数的极小值点，即或,

当

∴.，，

∴最小值为.

故答案为.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

在平面四边形中，，，，.

（1）求；                    

（2）若，求.

解：（1）在中，由正弦定理得：,∴,    ∵,∴.

（2）,∴，∴,∴,∴.∴.

（18）（本小题满分12分）

如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

（1）证明：平面平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

解：（1）分别为的中点，则，∴，又，，∴平面，

平面，∴平面平面.

（2），，∴，

又，，∴平面，∴，

设，则，，∴，

过作交于点，

由平面平面，

∴平面，连结，

则即为直线与平面所成的角，

由，∴，

而，∴，

∴与平面所成角的正弦值.

（19）（本小题满分12分）

设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）设为坐标原点，证明：.

解：（1）如图所示，将代入椭圆方程得，得，∴，∴，∴直线的方程为：.

（2）证明：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当斜率存在时，设其

方程，，联立椭圆方程有即为，∴，，，∴，∴.

（20）（本小题满分12分）

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互。

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;

（ii）以检验费用与赔偿费用的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

解：（1）由题意（）.

∴

∴当时，，即在上递增；当时，，即在上递减.

∴在点处取得最大值，即.

（2）（）设余下产品中不合格品数量为，则，由题可知，∴.

∴（元）.

（）由（）可知一箱产品若全部检验只需花费元，若余下的不检验则要元，所以应该对余下的产品作检验.

（21）（本小题满分12分）

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，证明：.

解：（1）①∵，∴，∴当时，，，∴此时在上为单调递增.

②∵，即或，此时方程两根为，当时，此时两根均为负，∴在上单调递减.当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.∴综上可得，时，在上单调递减；时，在，上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）可得，两根得，，令，∴，.∴，要证成立，即要证成立，∴，

即要证()

令，可得在上为增函数，∴，∴成立，即成立.

请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

（22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的直角坐标方程；

（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.

解：（1）由可得：，化为.

（2）与有且仅有三个公共点，说明直线与圆相切，圆圆心为，半径为，则，解得，故的方程为.

（23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲

已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时不等式成立，求的取值范围.

解：（1）当时，，

∴的解集为.

（2）当时，，当时，不成立.

当时，，∴，不符合题意.

当时，，成立.

当时，，∴，即.

综上所述，的取值范围为.

2018年普通高等学校招生全国统一考试

全国卷2

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 

A．            B．            C．            D． 

解析： ，故答案为D.

2．已知集合，则中元素的个数为 

A．9                    B．8                C．5                D．4

解析：由于所以，因为，所以。

当时，；当时，；当时。所以集合A共有9个元素，故答案为A.

3．函数的图像大致为

解析：时，，为奇函数，所以A不正确；又，所以D不正确；又时，，所以B正确，故答案为B.

4．已知向量，满足，，则

A．4                    B．3                C．2                D．0

解析：

5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

A．    B．    C．          D． 

解析：因为所以所以渐近线的方程为，故答案为A.

6．在中，，，，则

A．    B．    C．          D． 

解析：因为，所以

，故答案为A.

7．为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白中框应填入

A． 

B． 

C． 

D． 

解析：由，及所给程序框图知，先对奇数项累加、偶数项累加，再对和作差，故在空白框内应填入，故答案为B.

8．我国数学家陈景润在哥德猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

   A．                B．                C．                 D． 

解析：不超过30的素数有2,3,5,7，11,13,17,19,23,29共有10个，随机选取两个不同的数共有种取法，因为7+23=11+19=13+17=30，其中和为30的共有3个，利用古典概型的概率计算公式得所求概率为，故答案为C.

9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为

A．                B．                C．                 D． 

解析：

10．若在是减函数，则的最大值是

A．                B．                C．                 D． 

解析：，由得

，因为，从而有，解得，故答案为A.

11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则

A．                B．0                C．2                D．50

解析：因为为奇函数且，所以，所以为周期函数，，

又，所以一个周期内的和为0，50项共12个周期余2项，和为2，故答案为C.

12．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率

为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A．                B．                C．                   D． 

解析：由题意直线的倾斜角为600，，所以点P的坐标为，代入直线PA的方程得a=4c，所以离心率为，故答案为D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线在点处的切线方程为__________．

解析：，切线方程.

14.若满足约束条件则的最大值为__________．

解析：画出不等式组表示的平面区域，利用直线截距的几何意义可知当时，故答案为9.

15．已知，，则__________．

解析：将已知的两式平方后相加得.    

16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．

    解析：由题意，解得，所以圆锥的侧面积为，故答案为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

记为等差数列的前项和，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）求，并求的最小值．

解：（1）设的公差为d，由题意得.

由得d=2.

所以的通项公式为.

（2）由（1）得.

所以当n=4时,取得最小值,最小值为-16.

18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

(亿元).

利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

(亿元).

（2）利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下：

（?）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.学.科网

（?）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.

19．（12分）

设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．

（1）求的方程；

（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．

解：（1）由题意得，l的方程为.

设，

由得.

，故.

所以.

由题设知，解得（舍去），.

因此l的方程为.

（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即.

设所求圆的圆心坐标为，则

解得或

因此所求圆的方程为或.

20．（12分）

如图，在三棱锥中，，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．

解：（1）因为，为的中点，所以，且.

连结.因为，所以为等腰直角三角形，

且，.

由知.

由知平面.

（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.

由已知得取平面的法向量.

设，则.

设平面的法向量为.

由得，可取，

所以.由已知得.

所以.解得（舍去），.

所以.又，所以.

所以与平面所成角的正弦值为.

21．（12分）

已知函数．

（1）若，证明：当时，；

（2）若在只有一个零点，求．

解析：（1）当时，等价于．

设函数，则．

当时，，所以在单调递减．

而，故当时，，即．

（2）设函数．

在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．

（i）当时，，没有零点；

（ii）当时，．

当时，；当时，．

所以在单调递减，在单调递增．

故是在的最小值．学&科网

①若，即，在没有零点；

②若，即，在只有一个零点；

③若，即，由于，所以在有一个零点，

由（1）知，当时，，所以．

故在有一个零点，因此在有两个零点．

综上，在只有一个零点时，．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为

（为参数）．

（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

解：（1）曲线的直角坐标方程为．

当时，的直角坐标方程为，

当时，的直角坐标方程为．

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．

又由①得，故，于是直线的斜率．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围．

解：（1）当时， 

可得的解集为．

（2）等价于．

而，且当时等号成立．故等价于．

由可得或，所以的取值范围是．

2018年普通高等学校招生全国统一考试

全国卷3

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则

A．                B．                C．            D．

解析：∵，，∴.故答案为C.

2．

A．                B．            C．                D．

解析：，故答案为D.

3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

解析：由几何体及选项可知答案为A.

4．若，则

A．                B．                C．                D．

解析： .故答案为B.

5．的展开式中的系数为

A．10                B．20                C．40                D．80

解析：展开式的通项公式为，令得，系数为，故答案为C.

6．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是

A．            B．            C．        D．

解析：由直线得，∴，圆的圆心为，∴圆心到直线的距离为，∴点到直线的距离的取值范围为，即，∴.故答案为A .

7．函数的图像大致为

解析：由得，排除A,B;又，所以时，，此时函数单调递增，故答案为D.

8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则

A．0.7                B．0.6                C．0.4                D．0.3

解析：由题意随机变量，所以，解得或，又有得，即，，所以，故答案为B.

9．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则

A．                B．                C．                D．

解析：，又，故，∴.故答案为C.

10．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为

A．        B．    C．        D． 

解析：如图，为等边三角形，点为，，，外接球的球心，为的重心，由，得，取的中点，∴，∴，∴球心到面的距离为，∴三棱锥体积最大值.故答案为B.

11．设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为

A．                B．2                C．                    D． 

解析：由题意直线PO的方程为，直线PF2的方程为，联立方程得点P的坐标为，因为，所以，解得，，故答案为C.

12．设，，则

A．                            B．

C．                            D．

解析：由对数函数的性质知，所以，又所以，故答案为B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，．若，则________．

解析：，∵，∴，解得.

14．曲线在点处的切线的斜率为，则________．

    解析：，    由得，故答案为-3.

15．函数在的零点个数为________．

    解析：由得所以，又，所以，函数的零点共有3个，故答案为3.

16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若

，则________．

解析：将直线方程与抛物线的方程联立消去得，设，由题意向量，即整理得，故答案为2.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．学科.网

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

等比数列中，．    

（1）求的通项公式；

（2）记为的前项和．若，求．

解：（1）设的公比为，由题设得.

由已知得，解得（舍去），或.

故或.

（2）若，则.由得，此方程没有正整数解.

若，则.由得，解得.

综上，.

18．（12分）

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

附：， 

理由如下：

（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.

（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网

以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

（2）由茎叶图知.

列联表如下：

19．（12分）

如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．

（1）证明：平面平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.

因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以 DM⊥CM.

又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.

而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.

（2）以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

当三棱锥M-ABC体积最大时，M为的中点.

由题设得

，

设是平面MAB的法向量,则

即

可取.

是平面MCD的法向量,因此

，

，

所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.

20．（12分）

已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．

（1）证明：；

（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．

解：（1）设，则.

两式相减，并由得

.

由题设知，于是

.①

由题设得，故.

（2）由题意得，设，则

.

由（1）及题设得.

又点P在C上，所以，从而，.

于是

.

同理.

所以.

故，即成等差数列.

设该数列的公差为d，则

.②

将代入①得.

所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.

故，代入②解得.

所以该数列的公差为或.

21．（12分）

已知函数．

（1）若，证明：当时，；当时，；

（2）若是的极大值点，求．

解：（1）当时，，.

设函数，则.

当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，.

所以在单调递增.

又，故当时，；当时，.

（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.

（ii）若，设函数.

由于当时，，故与符号相同.

又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.

.

如果，则当，且时，，故不是的极大值点.

如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.

如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点

综上，.

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．

（1）求的取值范围；

（2）求中点的轨迹的参数方程．

解：（1）的直角坐标方程为．

当时，与交于两点．

当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．

综上，的取值范围是．

（2）的参数方程为为参数，．

设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．

于是，．又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是为参数，．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

设函数．

（1）画出的图像；

（2）当，，求的最小值．

解：（1）的图像如图所示．

（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．下载本文