在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这就是勾股定理。老师在给我们讲解勾股定理时都会通过以三角形的边为边长做正方形，再计算正方形的面积让我们了解勾股定理。但如果把正方形换成其它图形，那有会有怎样的面积关系呢？
a
b
c
老师讲解所用的图：
S2
S1
a²+b²＝c²
S1+S2＝S3
S3
F
b
如果把正方形换成三角形，以直角三角形的三边为底，画三个等边三角形。如图：
B
S3
S1
P
c
D
a
C
A
S2
E
画出三角形的高。
通过勾股定理，我们可以用代数式表示出各个三角形的高：
∵DP⊥CB
∴△DPC是直角三角形
∵△CBD是等边三角形
∴DC＝a
通过勾股定理求DP：
DP²＝DC²-PC²
＝a²-﹙ ﹚²
＝a²- ²
DP＝a-
S1＝a×（a- ）÷2
＝ ²－ ²
＝ ²
以此类推：
S2＝ ²
S3＝ ²
∵c²＝a²+b²
∴S3＝
S1+S2=
S3=S1+S2
换成三角形时，以直角边为底的两个三角形的面积之和等于以斜边为底的三角形的面积。
以直角三角形的三条边为直径画半圆，如图：
S3
S1
c
a
b
S2
S1=π×（ ）²÷2
=π× ²÷2
=π× ²
以此类推：
S2=π× ²
S3=π× ²
∵c²=a²+b²
∴S3=π×
S1+S2=π× ²+π× ²
=π×
S1+S2=S3
如果把斜边上的半圆旋转180°，求阴影部分面积。
因为两个小的半圆的面积之和等于大的半圆的面积，上图中，如果去除重叠部分，大的半圆就只剩下三角形的部分，所以两块阴影面积之和等于三角形的面积。
b
c
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