长方体与正方体涂色与三视图
一、表面涂色问题：
对于棱长大于2的长方体和正方体，表面涂色后切成小正方体：
三面涂红色的在顶点处
两面涂红色的在棱长处
一面涂红的表面中间部分
每面都没涂色的只有正方体体内。
三视图：是指观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个几何体而画出的图形
【例 1】右图是正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？
【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；
两面涂红色的在棱长处，共块； 【答案】8, 12
【巩固】右图是正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？
【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；
两面涂红色的在棱长处，共块； 【答案】8, 36
【例 2】右图是正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面被涂成红色和未被涂色的小正方体各有多少块？
一面涂红的表面中间部分：块．
六面都没涂色的只有正方体内的小方块：块 【答案】6, 1
【巩固】右图是正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？
【解析】一面涂红的表面中间部分：块．
六面都没涂色的只有正方体内的小方块：块
【例 3】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形
只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？
【解析】长：3115厘米；宽：1113厘米；高：1113厘米；
所以原长方体的表面积是：（353533）3278平方厘米． 【答案】78
【巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块．
【解析】沿着长边等距离切5刀，可切为块；沿着宽边等距离切4刀，可切为块；沿着高边等距离
切刀，可切为块．由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共个，因各面均没有红色的小方块为24块，所以，，解得． 【答案】3
【例 4】右图是长方体，如果将其表面涂成红色，再切成5个小正方体，那么各个正方体有几面被涂成红色？
【解析】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；
【答案】两端的正方体有5面，中间的正方体有4面；
【巩固】右图是长方体，如果将其表面涂成红色，再切成20个小正方体，共有几种不同的涂色情况？
【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面；
【解析】共有两种不同的染色情况：顶角上的8个正方体有3面，棱上的12个正方体有2面
【例 5】右图是长方体，如果将其表面涂成红色，再切成10个小正方体，共有几种不同的涂色情况？
【解析】共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面；
【解析】共有两种不同的染色情况：两端的4个正方体有4面，中间的6个正方体有3面；
【巩固】将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体。则三个面涂漆的小正方体有________块。
【解析】因为只有1层，故有三个面涂漆的小正方体位于棱上，共有8块。 【答案】8块
【例 6】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）。从上体上面看这个立方体，看到的图形是图①～③中的 。（填序号）
2007年，第五届希望杯，5年级初赛，第9题，6分 【答案】③
【巩固】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）。从右侧面看这个立方体，看到的图形是图 。
A B C D
【答案】B
【例 7】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从正面、上面和右面看到的图形
正视图 上视图 右视图
【巩固】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从上面和正面看到的图形
【解析】如下：
【例 8】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图a，从正面看这个立体，如下
图b，则这个形体最多由_______个小正方体构成。
【解析】从上往下看，图中数字为每一格的木块数：
可知，最多由13块正方体构成 【答案】13
【巩固】用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图a，从正面看这个立体，如下图b，则这个形体最少由________个小正方体构成。
【解析】从上往下看，图中数字为每一格的木块数：
可知，最少由11块正方体构成 【答案】11
【例 9】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图，那么他最
多用了________块木块.
【解析】从上往下看，分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数)。 【答案】最多25
【巩固】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图，那么他最少用了_____块木块。解析：从上往下看，分别如左下图和右下图(图中数字为每一格的木块数)。 【答案】最少9
【例 10】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图1所示，从上面看如图2，那么这个几何体至少用了 块木块．
【解析】这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响,认为图2中每一格都要至少放一块．其实,有些
格不放,看起来也是这样的．如下图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23块． 【答案】23块
【巩固】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了 块木块．
【解析】这道题很多同学认为答案是32块．这是受思维定势的影响，认为图2中每一格都要至少放一块．其实，
有些格不放，看起来也是这样的．如图5，带阴影的5块不放时，小正方体块数最少，为27块．【答案】27块
课堂检测
1．一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切3刀，沿着高边等距离切_______
次后，要使各面上均没有红色的小方块为40块．
【解析】沿着长边等距离切5刀，可切为块；沿着宽边等距离切3刀，可切为块；沿着高边等距离
切刀，可切为块．由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共个，因各面均没有红色的小方块为40块，所以，，解得． 【答案】6
2.将8个相同的小正方体拼成一个体积为8立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，则3个面涂漆的小正方
体最多有_________个，最少有________个。
【解析】有下列组合：8×1×1，4×2×1， 2×2×2的情况，对于8×1×1，两端的小正方体各有5个面涂漆，它们之间
的小正方体各有4个面涂漆，没有3个面涂漆的。对于4×2×1的情况，四个角上的小正方体各有4个面涂漆，它们之间夹着的4个小正方体各有3个面涂漆。对于2×2×2的情况， 8个小正方体各有3个面涂漆，所以，最多有8个，最少有0个。 【答案】最多有8个，最少有0个
3.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从正面、上面和右面看到的图形。
【答案】 上视图 右视图 正视图
4.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上、从右看这个立体都如下图，则这个形体最多由________个
小正方体构成。
【解析】从上往下看，图中数字为每一格的木块数：可知，最多由21块正方体构成 【答案】21
家庭作业：
1．右图是块小长方体堆叠而成，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小长
方体各有多少块？
【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个长方体；
两面涂红色的在棱长处，共块；
一面涂红的表面中间部分：块．
2.一个长方体的长是12厘米，宽8厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜色后，截成棱长是1厘米的小正
方体，其中一面有色的小正方体有280个．求原来长方体的体积。
【解析】先求出长方体的高，再求其体积和表面积．设长方体的高为厘米，则按题意截成的一面有色的小正方体
有个，因为一面有色的小正方体有280个，所以，，解得． 所以，长方体的体积为立方厘米 【答案】672立方厘米
3.将长为6，宽为5，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小正方体。则三个面涂漆的小
正方体有________块。 【答案】14块
【解析】因为只有1层，故有三个面涂漆的小正方体位于棱上，共有块。
4.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从正面、上面和右面看到的图形
上视图 右视图 正视图
5.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上、从右看这个立体都如下图，则这个形体最少由________个小正方体构成，
【解析】从上往下看，图中数字为每一格的木块数：可知，最少由16块正方体构成 【答案】16
6.小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了 块木块．
【解析】这道题很多同学认为答案是35块．这是受思维定势的影响，认为图2中每一格都要至少放一块．其实，
有些格不放，看起来也是这样的．如图5，带阴影的5块不放时，小正方体块数最少，为30块．【答案】30块下载本文
