太湖县教育局教研室 余学明
太湖县刘畈中学 胡继开
2010年安徽省的中考数学试卷遵循《数学课程标准》中有关评价的基本理念，充分体现以学生为本的精神，努力实现数学学科的基础性、普及性和发展性，着眼于全体学生的发展。试卷的编制既较好地考查了学生对基础知识和基本技能的理解与掌握情况，又较好地考查了学生的数学能力，同时还注重考查学生能否结合具体情境发现问题并提出数学问题；能否从不同角度分析问题并选择恰当的方法解决问题；能否用适当的方式来表达所解决的问题。试题紧扣双基，贴近生活和时事，既考虑到了知识的覆盖面，又突出了重点。试卷在注意控制难度的同时，又有比较恰当的区分度，是一份非常成功的中考数学试卷。
下面本人结合太湖县的中考数学阅卷情况，对2010年安徽省的中考数学试题和学生的作答情况进行简要分析，并谈几点启示，供大家参考。
一、试题分析
1、试题结构
今年中考的数学试卷试题结构与往年相同，继续保持了中考命题思路的连续性与稳定性。具体情况如下表：
表一
| 选择题 | 填空题 | 解答题 | 数与代数 | 空间与图形 | 概率与统计 | |
| 题目数 | 10 | 4 | 9 | 12 | 9 | 2 |
| 分值 | 40 | 20 | 90 | 72 | 62 | 16 |
| 百分比 | 26.67% | 13.33% | 60% | 48% | 41.33% | 10.67% |
本套试题严格按照《数学课程标准》界定的内容、要求，依据2010年的安徽省中考《考试纲要》，着重考查了“双基”，考查了数学中的重点、重要知识，考查了作为初中生必需必备的数学能力。试题的覆盖面广，分值分布合理，难易度适当。主要考查内容包括：
①“数与代数”：正负数的概念，整式、根式、分式的运算，科学计数法，不等式（组）的解法，一元二次方程与二元一次不定方程的应用，一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质等。
②“空间与图形”：平行线的性质；特殊图形（等腰三角形、直角三角形、菱形、圆）的性质和判定；全等三角形、相似三角形的性质和判定；三种几何变换（旋转、平移与轴对称）；图形与坐标；视图；解直角三角形的应用；简单的推理证明。
③“统计与概率”：从统计图表中获取有效信息，用枚举法列出所有可能情况，进行简单随机事件概率的计算。
涉及的数学思想方法有：方程思想，函数思想，归纳思想，配方思想，类比思想，待定系数法，特殊值法，反证法等。
试题还存在以下几个突出特点：
（1）在着重考查基础知识和核心内容的同时，突出了“观察、操作、实验、猜想、探究”能力的考查。例如第9题着重考查学生的观察、发现、归纳、探究能力。第18题着重考查学生的动手操作能力和实验探究能力。第23题着重考查学生的阅读理解能力，猜想、实验与论证能力。
（2）注重考查学生必要的运算（估算）能力和基本的推理能力。考查人人都能获得的必需的数学，人人都要学的有价值的数学。例如第2题，第11题，第12题，第15题都是直接考查学生的运算能力，涉及实数的计算，整式的运算，分式的运算，二次根式的计算和不等式的运算。第3题，第13题，第20题是考查学生简单的几何推理能力和几何运算能力。第16题，第19题题干给出了参考数据，主要考查学生引用参考数据及估算的能力。
（3）注重对学生“应用意识”的考查。要求学生能够分析问题，建立恰当有效的数学模型，进而解决问题。本套试题涉及到实际应用的试题有第4、6、10、16、19、21、22题等，约有54分，占36%。问题的背景都非常贴近生活和时事，如世博会门票销售问题、商品房交易问题、城镇就业问题、市场销售问题、河道宽度问题、企业利润问题、阳光体育问题等，学生对背景既感到新颖又感到亲切，便于考场的发挥。
（4）注重对学生的创新意识和自主探究能力进行考查。数学学习是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。创新是思维的高级阶段，是一个民族的灵魂，数学教学应注重培养学生的创新意识，发展学生的探究能力。本套试卷的第9、14、18、20、23题都具有一定的探究性和挑战性，有利于考查学生的创新意识和探究能力，同时也使试卷具有恰当的区分度，符合中考试题具有部分选拔功能的要求。
3、试题的难度
今年的数学试卷与去年相比难度有所下降，试题的起步较低，坡度不大。试题着眼于全体学生，以基础性试题为主，难度较大的试题只有两三题，这突出了中考检测性与选拔性相结合的特点。阅卷后随机抽取了300份试卷进行分析，得到试题的难度值如下表：
表二
| 难度值 | ≥0.75 | 0.75~0.3 | ≤0.3 |
| 试题 | 1~7，11，12，13，21 | 8~10，15~20，22 | 14，23 |
| 分值 | 55 | 76 | 19 |
| 百分比 | 36.67% | 50.67% | 12.66% |
按照中考考试纲要，对数学知识的考查分为四个层次。本套试题的考查层次分布大致如下表：
表三
| 了解 | 理解 | 掌握 | 运用 | 数学活动与思考、解决问题 | |
| 试题 | 1~6,11~13,15 | 7,10,16,17,19,20 | 8,9,14,21 | 18 | 22,23 |
| 分值 | 47 | 44 | 25 | 8 | 26 |
| 百分比 | 31.33% | 29.34% | 16.67% | 5.33% | 17.33% |
（1）选择题
选择题的得分情况如下表：
表四
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 分值 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 平均得分 | 3.93 | 3.51 | 3.76 | 3.71 | 3.32 | 3.36 | 3.17 | 1.77 | 2.08 | 2.28 |
| 得分率 | 0.98 | 0.88 | 0.94 | 0.93 | 0.83 | 0.84 | 0.79 | 0.44 | 0.52 | 0.57 |
（2）填空题
填空题的得分情况如下表：
表五
| 题号 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 分值 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 平均分 | 4 | 3.95 | 3.73 | 1.33 |
| 得分率 | 0.8 | 0.79 | 0.75 | 0.27 |
（3）解答题
解答题的得分情况如下表：
表六
| 题号 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |
| 分值 | 8 | 8 | 8 | 8 | 10 | 10 | 12 | 12 | 14 |
| 平均分 | 5.59 | 5.53 | 4.79 | 4.13 | 5.85 | 5.9 | 9.19 | 5.44 | 4.04 |
| 得分率 | 0.7 | 0.69 | 0.6 | 0.52 | 0.59 | 0.59 | 0.77 | 0.45 | 0.29 |
第18题主要考查图形变换。将初中所学的三种全等变换（旋转、平移与轴对称）放在同一问题中考查，是一道绝妙的好题。大部分学生能解答出（1）问，不能解答出（2）问，此题得分不理想，说明了学生的动手操作能力较差，探索、发现、描述的能力不足。
第19题主要考查一元二次方程的应用。要求学生理解平均降低率的含义，能建立恰当的方程模型，在求解时要充分注意应用参考数据（），在第（2）问中要求学生会正确进行估算。本题部分学生由于解题不够规范而导致失分，也有一些学生不能建立恰当的方程模型来求解，说明这部分学生的数学应用能力不足。
第20题有多种证明方法，大多数学生都能给出证明， 但书写时有部分学生条理不清楚，而导致部分失分。说明部分学生思维混乱，缺乏思维的逻辑性和严密性。
第21题考查具体情境中随机事件概率的计算，以时事“上海世博会门票”为背景，突出了知识与生活的密切联系。对于第（1）问列举所有可能结果，学生有多种解决方法，可以用枚举法，可以用二元一次不定方程求正整数解来解，也可以用不等式来求解，是一道考查学生应用能力的好题。本题学生得分良好。
第22题着重考查函数知识。涉及到“一次函数中k的含义”，“求二次函数的解析式”， “用配方法求二次函数的顶点、对称轴” ，“讨论函数的增减性”等。这些知识对学生后续的高中学习十分有用，为初中升高中进行了有效衔接，可以说本题解答的好坏足以判定学生在初中阶段是否完成了为继续就读于高中所必要的知识储备和能力。本题学生得分一般，其具体解析详见本文第5面。
第23题是试卷的压轴题，主要考查相似三角形的有关概念和性质，突出了对学生能力的考查。第（1）问由相似比切入，第（2）问让学生给出特例并加以说明，第（3）问则在特例的基础上要求学生用反证法证明其不存在，由浅入深，逐步引导，步步深入。本题要求学生有一定的阅读理解能力、自主学习能力、探究能力和逻辑推理能力，是整卷中难度最大的一题，区分度较好，优秀学生能在这一题充分展示自己的数学才华，起到了较好的“选拔”作用。
二、学生解答分析
1、学生的成绩分布
从随机抽取的300份试卷考查学生的总成绩，其中最高分为满分150分，最低分为0分（缺考），平均分为94.4分，及格率为63.34%，各分数段的分布如下表：
表七
| 分数段 | 150~140 | 139~130 | 129~120 | 119~110 | 109~100 | 99~90 | 90分以下 |
| 人数 | 14 | 42 | 47 | 41 | 25 | 21 | 110 |
| 百分率 | 4.67% | 14% | 15.67% | 13.67% | 8.33% | 7% | 36.66% |
2、学生易错题的解答分析
在阅卷过程中，我们也发现了导致许多学生普遍失分的易错题，下面对此加以分析：
第8题、如图，⊙O过点B 、C。圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝900，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为……（ ）
（A） （B） （C） （D）
简析：本题其实并不难，主要根据轴对称性考查圆的垂径定理和等腰直角三角形的性质。反向延长线段OA交BC于点D，可知AD⊥BC，由等腰直角△ABC，∠BAC＝900，BC＝6，可知AD=CD=3，AC=,再连OC，在Rt△ODC中利用勾股定理便可求得正确答案OC=。许多同学误把AC看做⊙O的半径而错选C,这说明同学们审题不够仔细。还有一些同学无法判断AD⊥BC，从而无从下手，说明他们对图形的轴对称性理解不透彻。
第9题、下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是…………………………………………（ ）
（A）495 （B）497 （C）501 （D）503
简析：本题主要考查学生的阅读理解能力，从问题中发现规律，再应用规律解决问题。学生只要看懂了题意，就能写出当第1位数字是3时，这个多位数是362486248……，从而发现6248循环出现的规律而解答本题。部分学生无从下手说明其阅读理解能力较差，归纳发现能力不足，我们在教学中要注重对学生进行这方面能力的培养。
第14题、如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是__________________。（把所有正确答案的序号都填写在横线上）
①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD， ③AB+BD＝AC+CD ④AB-BD＝AC-CD
简析：本题实质上是一个开放性试题，将几何中的勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定和代数中的平方差公式、方程组进行综合。本题的难点在于如何使用勾股定理。此定理有两种类型：a2+b2型及 a2-b2型。涉及到垂线问题，经常用a2-b2型。由勾股定理AD2=AB2-BD2, AD2=AC2-CD2,所以AB2-BD2= AC2-CD2，即（AB+BD）（AB-BD）=（ AC+CD）（AC-CD）。故③和④是相互依存的，有③就有④，有④就有③，由③、④得方程组便可解得AB=AC,故正确答案是②③④。解决本题时也可用排除法，①可直接排除，②明显正确，只要③正确，④就正确，学生只需证明③、④两个中的一个即可。此题有部分同学原本不会解，但也猜出了正确答案②③④而得分。本题综合性强，考查点较多，大部分学生不能得分，这说明了学生知识的综合运用能力较差，解决问题方法单一，对所给选项分析不够深刻。
第22题、春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售。
九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第天（且为整数）的捕捞与销售的相关信息如下：
⑴在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？
⑵假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第天的收入（元）与（天）之间的函数关系式？（当天收入＝日销售额—日捕捞成本）
(3)试说明⑵中的函数随的变化情况，并指出在第几天取得最大值，最大值是多少？
简析：函数是初中数学的重点，是安徽省中考数学的重要考点。怎样在中考中做到常考常新呢？本题以班级数学建模兴趣小组进行数学活动为背景，将一次函数与二次函数紧密结合在一起，以最基础的知识解决学生身边的实际问题，这又是今年中考中的一个亮点。
在第（1）问中部分学生不能定性分析与定量分析相结合，只答出在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比减少了，不能答出每天减少10kg。可能是学生不理解一次函数中k的含义或缺乏定性分析与定量分析相结合的思维方式，教师在教学中要注意引导学生科学地进行数学的定性分析和定量分析。
在第（2）问中有部分学生对问题中的单位捕捞成本理解不透而错误地列出了解析式。
在第（3）问中，学生在讨论函数的增减性和最值时，容易忽略函数自变量的取值范围。没能指出的整数，随的增大而增大；的整数，随的增大而减小。函数的定义域是函数重要的一部分，此题中，若二次函数配方后对称轴不是整数，而仍有定义域的整数，则解答会完全不一样，教师在教学中要引起注意。
3、开放性试题的解答分析
本套试卷中有许多开放性的探究试题，下面对此加以分析：
第18题、在小正方形组成的15×15的网络中，四边形ABCD和四边形的位置如图所示。
⑴现把四边形ABCD绕D点按顺时针方向旋转900，画出相应的图形。
⑵若四边形ABCD平移后，与四边形成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形。
简析：第（1）问学生大都能解决。第（2）问有的学生画不出满足条件的图形；有的学生将（1）中的四边形进行平移，导致答案不符合题意；有的学生能画出图形，但忘记写出平移方法而失分。有的学生改变了题意，对四边形ABCD既进行了平移，又进行了旋转。其实解决本题第（2）问的关键是尝试找到一条合适的对称轴。本题答案具有开放性，综合学生的解答，我们发现如下规律：平移后的图形只要在右图中的红色虚线上（过的格点正方形右上左下对角线所在直线）即可。故有无数种符合条件的平移图形。其平移方法可归结为先向右平移m个单位，再向下平移n个位，此时定有m+n=10。
第21题、上海世博会门票价格如下表所示：
某旅行社准备了1300元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张。
⑴有多少种购票方案？列举所有可能结果；
⑵如果从上述方案中任意选中一种方案购票，求恰好选到11张门票的概率。
简析：本题的第（1）问有多种解决方法。综合学生的解答，列出如下三种解答方法：
方法一：枚举法，有如下6种购票方案。
| 购票方案 | 指定日普通票张数 | 平日优惠票张数 |
| 一 | 1 | 11 |
| 二 | 2 | 9 |
| 三 | 3 | 7 |
| 四 | 4 | 5 |
| 五 | 5 | 3 |
| 六 | 6 | 1 |
方法三：设购买指定日普通票x张，x为正整数，则购买平日优惠票张。所以有，解得，所以、2、3、4、5、6。故有6种购票方案。
第23题、如图，已知△ABC∽△，相似比为（），且△ABC的三边长分别为、、（），△的三边长分别为、、。
⑴若，求证：；
⑵若，试给出符合条件的一对△ABC和△，使得、、和、、都是正整数，并加以说明；
⑶若，，是否存在△ABC和△使得？请说明理由。
简析：相似三角形也是初中数学的重点，是安徽省中考数学的重要考点。本题的第（1）问不难，大多数学生都能写出正确答案。第（2）问开始深入，有部分学生没注意到条件（）和（），使得写出的答案不合题意。还有部分学生写出；，没考虑到三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。还有部分同学写出的正整数，不能使△ABC∽△。此问考虑的内容较多，思维要慎密。但仔细思考，难度并不大，其答案具有开放性。如，；，等等。另外在第（2）问中还存在部分学生不知道从哪些方面对所写的数进行说明也导致失分。第（3）问则在（2）的基础上设，用反证法推出矛盾，从而说明其不存在。本小题难度最大。一方面本小题再次考察了（2）中所隐含的知识点即三角形三边的不等关系，另一方面，本小题含有多个字母（亦称为参数）。此类题颇具挑战性，必须通过“减元”（分多为少，化繁为简，变难为易）来解决它。许多学生就是不会用消元的思想来解题。其实本题有、、和、、六个变量，通过变换，视（或或）为主元，找出与，与的关系，再用不等关系来验证即可解决。此题说明，在教学中，既要重视知识的传授，又要重视数学思想方法的渗透，只有两者和谐地同步实施，才能取得举一反三、触类旁通的教学效果。此问属于思维的拔高题，有部分学生做得很好。
三、几点建议
2010年的安徽省中考数学试卷结构严谨，知识科学合理，试题难度适中，重点突出，既注重了基础知识、基本能力的考查，又注重了对学生数学思维，数学方法，创新意识的考查，在检测的同时有恰当的区分度，带有一定的升学选拔功能，是一份优秀的中考数学试卷。当然，本人也认为试卷还存在以下几个不足，在此提出几点建议。
1、部分试题题意表述模糊，给考生理解题意造成障碍。例如第5题“下列四个几何体中，其主视图、左视图、俯视图中只有两个相同的是”学生认为直三棱柱的主视图是长方形，俯视图也是长方形，所以误选C。第22题部分同学对表格中的单位捕捞成本（元/kg）理解不透，而导致解析式写错。建议在试题的重点语句，理解易错语句上加着重号。
2、参考数据可能对学生产生误导。例如第19题本应建立一元二次方程模型，设4、5两月平均每月降价的百分率为x，得。再用参考数据，解得。阅卷时我们发现有个别学生建立一元一次方程模型，设3月到5月降价的百分率为x，得，所以，，故4、5两月平均每月降价的百分率为0.05。答案与前者相同，但解决问题的方法显然不正确，因为。为什么此处会有呢？究其原因，都是参考数据惹的祸。建议在命题时多对相关数据进行斟酌，尽可能少用参考数据。
3、试卷的第7题和第22题的第三问都考查了二次函数的配方，给人以重复考查的感觉。当然本题也可将y=（x-2）2 +K展开，再与y=x2 +bx+5类比而得。建议修改第7题考查另外的知识点，避免重复考查。
四、对教学的启示
1、抓纲扣本
中考命题依据是《课程标准》和“考试纲要”。试题一般都紧紧围绕《课程标准》，严格执行考纲的要求。这要求我们在平时教学中要认真研读《课程标准》，了解《课程标准》的基本理念和对学生的一些基本要求。中考复习时要认真研读考纲，把握考试要点，把握知识的考查深度。这样才能做到有的放矢，事半功倍。
2、重视基础知识和基本技能
考查基础知识，基本能力是数学中考的基本思想。中考的数学命题总的趋势是降低难度，试题会日趋平稳。我们在平时的教学中要重视基础知识和基本技能。充分以课本为依据，用好课本，努力让学生掌握课本中每一个概念，理解每一个定理，弄懂每一个例题，会做每一道习题。尽量不钻题海，不出偏题，不做怪题，不死记硬背习题。
3、重视数学思想方法
能力考查是中考的命题方向。学生除了应具有较扎实的基础知识，还应熟练掌握分析判断、尝试探索、猜想论证、合理决策等多种数学思想方法。数学是培养学生思维的科学，它能提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力。在教学中，我们不能以解决问题作为教学的终结点，而应将数学思想方法渗透在教学的全过程中，使学生在学好基础知识的同时掌握数学思想方法，并通过不断的积累运用内化为自己的知识经验。
4、注意语言的规范化
数学语言包括文字语言、符号语言、图形语言，它是数学思维和数学交流的工具。阅卷时我们发现有部分同学因看不懂题干而无法做题；有部分同学因解题不规范，证明时语言不准确、思维混乱而失分，这十分可惜。在教学中我们要加强学生数学语言的训练，让学生能够进行各种数学语言间的转化，能够用数学语言准确、简洁地表达自己的观点。
5、注意计算的准确性
数学是人们对客观世界的定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学离不开计算。阅卷时我们发现有许多同学能从问题的实际背景中抽象出正确的数学模型，但由于计算不过关而解答不出正确答案，由此失分真让人遗憾。为此，在教学中我们应该加强计算训练，提高计算的准确率。
6、突出应用意识，注重操作与实践
现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用。面对实际问题，我们要能够主动尝试从数学的角度运用所学的数学知识方法来解决问题，体会数学的应用价值。中考中数学的应用题几乎接近一半，所占分值的比重很大。近几年我省还出现了一些操作性试题和实践性试题。这要求我们在平时的教学中加强这方面的练习。
7、注意综合性试题与开放性试题
综合性试题与开放性试题是近几年安徽省中考数学的热点问题。这类试题的难度值较大，有一定的区分度，并且考题的形式灵活多样，常考常新，值得大家重视。综合性试题主要考查学生的综合素质，开放性试题主要考查学生的探究能力，考查学生思维的灵活性。这些不是一朝一日之功，我们在平时的教学中要重视数学知识间的联系，对学生进行一些必要的综合知识的训练。同时鼓要励学生分小组直觉地开展一些课题学习，让学生初步学会研究问题的一些方法，提高学生的实践能力和创新意识。在学生学习知识的过程中，教师不能光注重结果，更要注重学生的学习过程，要让学生自主思考，自主探索，自己发现问题，这样学生会逐渐养成自觉思考、直觉探索的习惯。下载本文
