一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．

1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为．

3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为．

4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．

5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．

6．已知，那么tanβ的值为．

7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为．

8．在三角形ABC中，则的最小值为．

9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1008=1，则a2016的值为．

10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．

11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范

围为．

12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为．

13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2016个等分点从左到右依

次为点M1，M2，…，M2015，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2015点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4029，P4030两点，P4029点在x轴上方，则4030条直线AP1，AP2，…，AP4030的斜率乘积为．

14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有

，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．

（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；

（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．

16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．

（I）求证：DE⊥平面ABCD；

（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．

17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、

B点．

（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；

（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；

（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．

18．如图，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形

区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；

（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？

请说明理由．

19．已知数列{a n }满足

．数列

{a n }前n 项和为S n ．

（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值；

（Ⅲ）是否存在正整数m ，使得

恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条

件的m 值，若不存在，说明理由．

20．已知函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2+a （a ∈R ），其导函数为f ′（x ）． （Ⅰ）求函数g （x ）=f ′（x ）+（2a ﹣1）x 的极值；

（Ⅱ）当x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．

三.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．若AB 为定圆O 一条弦（非直径），AB=4，点N 在线段AB 上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O 相交于点F ，求NF 的最大值．

B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

22．已知矩阵，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=

，属于特征值1

的一个特征向量为

=

．求A 的逆矩阵．

C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）

23．过点P （﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．

D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）

24．设 x ，y ，z ∈R +，且x +y +z=1，求证：

．

四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”．

（Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；

（Ⅱ）当

时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．

26．数列{a n }各项均为正数，

，且对任意的n ∈N *，有

．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．2017-2018学年江苏省高考数学二模试卷

参与试题解析

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．

1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为3．【考点】交集及其运算．

【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断．

【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），

∵B={﹣1，0，1，2，3}，

∴A∩B={﹣1，0，1}，

则集合A∩B中元素的个数为3，

故答案为：3

2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．

【解答】解：（2﹣3i）z=3+2i，

∴z====i，

∴|z|=1，

故答案为：1．

3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2．

【考点】极差、方差与标准差．

【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．

【解答】解：∵一组数据8，10，9，12，11，

∴这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，

这组数据的方差为S2= [（8﹣10）2+（10﹣10）2+（9﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2]=2．故答案为：2．

4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15．

【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案

【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4；

当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7；

当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10；

当l=10时，不满足进行循环的条件，

故输出的S值为15．

故答案为：15

5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2

只球，则这2只球颜色不同的概率为．

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．

【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，

从中随机一次摸出2只球，

∴基本事件总数n==6，

这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3，

∴这2只球颜色不同的概率为p==．

故答案为：．

6．已知，那么tanβ的值为3．

【考点】两角和与差的正切函数．

【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．

【解答】解：∵，

∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣2，

∴tan（α+β）===，整理可得：tanβ=3．

故答案为：3．

7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为+12．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出．

【解答】解：侧面三角形的斜高h==2，

∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12，

故答案为： +12．

8．在三角形ABC中，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并

进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b2≥2ab

即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值．

【解答】解：根据条件，=；

∴；

由得，；

∴；

∴

=

=，当且仅当

即时取“=”；

∴；

∴的最小值为．

故答案为：．

9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1008=1，则a2016的值为1．【考点】等比数列的通项公式．

【分析】由已知结合，得到a2016=b1b2…b2015=（b1b2015）•（b2b2014）…（b1007b1009）•b1008，结合b1008=1，以及等比数列的性质求得答案．

【解答】解：，且a1=1，得b1=，

b2=，∴a3=a2b2=b1b2，

b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，

…

a n=b1b2…

b n

．

﹣1

∴a2016=b1b2…b2015=（b1b2015）•（b2b2014）…（b1007b1009）•b1008，

∵b1008=1，

∴b1b2015=b2b2014=…=b1007b1009=（b1008）2=1，

∴a2016=1，

故答案为：1．

10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．

【考点】基本不等式．

【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=＞0．则

a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：∵正数a，b满足2ab+b2=b+1，

∴a=＞0．

则a+5b=+5b=+≥+=，当且仅当b=，a=2时取等号．

故答案为：．

11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范

围为a≥﹣1或a=﹣2．．

【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥﹣1时，2x+a在x≤0时，与y=﹣x

有一交点，而x++a在x＞0无交点，符合题意；

再考虑当a＜﹣1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．

【解答】解：根据指数函数的图象易知：

当a≥﹣1时，y=2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，y=x++a在x＞0与y=﹣x无交点，符合题意；

当a＜﹣1时，只需x++a=﹣x有且仅有一根，

△=a2﹣8=0，

解得a=﹣2．

故答案为a≥﹣1或a=﹣2．

12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为0．

【考点】两点间距离公式的应用．

【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．

【解答】解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，

设P（x，y），则有（x﹣3）2+y2=4x2+4y2，

∴（x+1）2+y2=4，表示以（﹣1，0）为圆心、半径等于2的圆．

点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离

d==≥，

故距离d可以是2，此时PQ=0，

故线段PQ长度的最小值为0．

13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2016个等分点从左到右依

次为点M1，M2，…，M2015，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2015点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4029，P4030两点，P4029点在x轴上方，则4030条直线AP1，AP2，…，AP4030的斜率乘积为﹣2﹣2015．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k （x﹣t），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得

•=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．

【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，

设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），

代入椭圆方程x 2+2y 2=2b 2，可得（1+2k 2）x 2﹣4tk 2x +2k 2t 2﹣2b 2=0，

即有x 1+x 2=

，x 1x 2=

，

•=•=

==

===，

可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，…，，

即有AP 1，AP 2，…，AP 4030的斜率乘积为•（

•…

•

）

•

•（

•

…

•

）=﹣

．

故答案为：﹣2﹣2015．

14．已知函数f （x ）=x |x ﹣a |，若对任意x 1∈[2，3]，x 2∈[2，3]，x 1≠x 2恒有

，则实数a 的取值范围为 [3，+∞） ．

【考点】分段函数的应用．

【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合进行求解即可．

【解答】解：满足条件有

的函数为凸函数，

f （x ）=，作出函数f （x ）的图象，

由图象知当x ≤a 时，函数f （x ）为凸函数，当x ≥a 时，函数f （x ）为凹函数，

若对任意x 1∈[2，3]，x 2∈[2，3]，x 1≠x 2恒有，

则a ≥3即可，

故实数a 的取值范围是[3，+∞）， 故答案为：[3，+∞）

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．

（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；

（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．

【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．

【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值．

（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从

而可求sinB=1，

sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式

即可计算得解．

【解答】（本题满分为14分）

解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB

又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=．

∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=，

∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…

（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=，

∴==，解得：c2=，c=，

∴cosB===0，可得：sinB=1，

∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA==．

∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣．…

16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．

（I）求证：DE⊥平面ABCD；

（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．

【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．

【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；

（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．【解答】证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，

∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP⊂平面ABCD，AP⊥CD，

∴AP⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，

∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD⊂平面ABCD，AP⊂平面ABCD，AD∩AP=A，

∴DE⊥平面ABCD．

（2）假设MN∥平面ABCD，

∵MN⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，

∴MN∥BC，

∴，

与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．

∴MN不可能与平面ABCD平行．

17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、

B点．

（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；

（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；

（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；

（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程

可得离心率；

（Ⅲ）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F1|，即可得到所求最小值．

【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，

可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4﹣a2b2=0，

可得判别式为4a2e6﹣4（b2+a2e2）（a4﹣a2b2）=﹣4（a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2）

=﹣4[a2b2（a2﹣b2）﹣a2c2b2]=0，

即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；

（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），

由（Ⅰ）可得x T=﹣=﹣=﹣ea，

由=e，可得﹣ea+=e（0+），

即e2+e﹣1=0，解得e=（负的舍去）：

（Ⅲ）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），

即有=﹣，=+a，结合e=，b2+c2=a2，

解得m=﹣c，n=2a，

即为F'（﹣c，2a），

则|F'F1|=2a．

故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．

18．如图，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形

区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．

（Ⅰ） 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；

（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？

请说明理由．

【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（I ）在△OCE 中，CE=15t ，使用余弦定理表示出OE ；

（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2，通过导数判断f （t ）的单调性计算f （t ）的最小值，判断OE 与测控半径r 的大小关系． 【解答】解：（I ）在△OCE 中，CE=15t ，OC=90，

由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ．

∴OE=

．

（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3，

令r=3t =81，解得t=9．∴0≤t ≤9

∴f ′（t ）=﹣27t 2+450t ﹣1350

=﹣27（t ﹣）2+1875﹣1350

＜0．

∴f （t ）在[0，9]上是减函数．

f （9）=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93＞0． ∴当0≤t ≤9时，f （t ）＞0，即OE ＞r ． ∴雷达不能测控到无人侦察机．

19．已知数列{a n }满足

．数列

{a n }前n 项和为S n ．

（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值；

（Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条

件的m 值，若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（Ⅰ）化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；

=3m﹣1﹣1+m2，从而可得（Ⅲ）化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2，S2m

﹣1

=1+，从而讨论求值．

【解答】解：（Ⅰ）∵，∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，

数列{a n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，

故a n=；

=m•2•m﹣1=m+2，

（Ⅱ）若m为奇数，则a m a m

+1

无解；

=（m+1）2•m﹣2=2•m，

若m为偶数，则a m a m

+1

即=2，

解得，m=2；

综上所述，m=2；

（Ⅲ）由题意知，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1

=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣1）

=•m+

=3m﹣1+m2，

=1+2+3+6+…+2m﹣1

S2m

﹣1

=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣2）

=•m+﹣2•3m﹣1

=3m﹣1﹣1+m2，

故==1+，

若m=1，则=3=a3，

若=1时，即m=2时，=2=a2，

所有满足条件的m值为1，2．20．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．

（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；

（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a

的范围即可．

【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，

则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，

当0＜x＜1时，g（x）为增函数；当x＞1时，g

（x）为减函数．

所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．

（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，

（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，

则f（x）在（1，+∞）上单调递增，

所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．

（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．

①当2a≥1，即时，

于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，

所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．

则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，

所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．

②当0＜2a＜1，即时，＞1，

若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；

若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．

又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，

所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，

所以不符合题意．

综上所述，a的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）

21．若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，∠ONF=90°，NF与圆O相交于点F，求NF的最大值．

【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由

此能求出结果．

【解答】解：∵ON⊥NF，

∴NF=，

∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，

弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，

∴|NF|max=|BE|=2．

B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

22．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1

的一个特征向量为=．求A的逆矩阵．

【考点】特征向量的意义．

【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵

A，丨A丨及A*，由A﹣1=×A*，即可求得A﹣1．

【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，

∴=6，即=，

属于特征值1的一个特征向量为=．

∴=，=，

∴，解得：，

矩阵A=，

丨A丨==6，A*=，

A﹣1=×A*=，

∴A﹣1=．

C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）

23．过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点．求线段AB 的长．

【考点】简单曲线的极坐标方程．

【分析】过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数）．曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．把直线

参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参

数），

曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4化为x2﹣y2=4，

把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，

∴t1+t2=6，t1t2=10．

∴|AB|=|t1﹣t2|===．

D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）

24．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．

【考点】不等式的证明．

【分析】由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+

≥2y， +≥2z，累加即可得证．

【解答】证明：由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，

可得+≥2=2x ，

同理可得+≥2y ，

+≥2z ，

三式相加，可得+++x +y +z ≥2（x +y +z ），

即为++≥x +y +z ，

则++≥1成立．

四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”．

（Ⅰ）当

时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；

（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（Ⅰ）当时，ξ=|S 3|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E ξ．

（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．

【解答】解：（Ⅰ）当

时，ξ=|S 3|的可能取值为1，3，

P （ξ=1）=+=，

P （ξ=3）==，

Eξ==．

（Ⅱ）∵，S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4），

∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，

并且满足下列条件：

若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，

若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，

∴S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率：

p=（）•（）5•（）3=．

26．数列{a n}各项均为正数，且对任意的n∈N*，有．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，

请说明理由．

【考点】数列递推式．

【分析】（1）把已知数列递推式取倒数，可得，然后利用累加法证得答案；

=a n+a n2＞a n，然后利用放缩法得a1＜a2＜…a2017（2）把代入已知递推式，得a n

+1

＜1＜a2018＜a2019＜…，从而说明存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．

【解答】（1）证明：由，得

，

即，

∴，

，

…

，

累加得：，

即，

∵a n＞0，

∴；

∴数列a n单调递增，

=a n+a n2＞a n，

（2）解：当时，a n

+1

得，

=a n+a n2，得

由a n

+1

，

∴，

∵a i＞0（i=1，2，…，2016），

∴，

则a2017＜1；

又，

∴×2017=1．

即a2018＞1．

即数列{a n}满足a1＜a2＜…a2017＜1＜a2018＜a2019＜…，

综上所述，存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．2017-2018学年10月17日下载本文