一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合，1，2，3，，，3，，，则　　

A．    B．，    C．，2，    D．，2，3，

2．设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为　　

A．2    B．3    C．5    D．6

3．设，则“”是“”的　　

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的值为　　

A．5    B．8    C．24    D．29

5．已知，，，则，，的大小关系为　　

A．    B．    C．    D．

6．已知抛物线的焦点为，准线为．若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且为原点），则双曲线的离心率为　　

A．    B．    C．2    D．

7．已知函数，，是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若，则　　

A．    B．    C．    D．2

8．已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为　　

A．，    B．，    C．，    D．，

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．是虚数单位，则的值为　　．

10．设，使不等式成立的的取值范围为　　．

11．曲线在点处的切线方程为　　．

12．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为　　．

13．设，，，则的最小值为　　．

14．在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则　　．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．（13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．

（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为，，，，，．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．

设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率．

16．（13分）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

17．（13分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，．

（Ⅰ）设，分别为，的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

18．（13分）设是等差数列，是等比数列，公比大于0．已知，，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足求．

19．（14分）设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为．已知为原点）．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且．求椭圆的方程．

20．（14分）设函数，其中．

（Ⅰ）若，讨论的单调性；

（Ⅱ）若，

证明恰有两个零点；

设为的极值点，为的零点，且，证明．

2019年天津市高考数学试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合，1，2，3，，，3，，，则　　

A．    B．，    C．，2，    D．，2，3，

【思路分析】根据集合的基本运算即可求，再求；

【解析】：设集合，1，2，3，，，

则，，，3，，，，3，，2，3，；故选：．

【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2．设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为　　

A．2    B．3    C．5    D．6

【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【解析】：由约束条件作出可行域如图：

联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，有最大值为5．故选：．

【归纳与总结】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

3．设，则“”是“”的　　

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【思路分析】解出关于的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．

【解析】：，，

推不出，，

是的必要不充分条件，即是的必要不充分条件故选：．

【归纳与总结】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．

4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的值为　　

A．5    B．8    C．24    D．29

【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解析】：，；

第一次执行第一个判断语句后，，，不满足条件；

第二次执行第一个判断语句后，，，，不满足条件；

第三次执行第一个判断语句后，，，满足退出循环的条件；

故输出值为8，

故选：．

【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题

5．已知，，，则，，的大小关系为　　

A．    B．    C．    D．

【思路分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．

【解析】：由题意，可知：

，

，

，

．

故选：．

【归纳与总结】本题主要考查对数式与指数式的大小比较，可利用整数作为中间量进行比较．本题属基础题．

6．已知抛物线的焦点为，准线为．若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且为原点），则双曲线的离心率为　　

A．    B．    C．2    D．

【思路分析】推导出，准线的方程为，，，从而，进而，由此能求出双曲线的离心率．

【解析】：抛物线的焦点为，准线为．

，准线的方程为，

与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且为原点），

，，，，

，

双曲线的离心率为．

故选：．

【归纳与总结】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．

7．已知函数，，是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若，则　　

A．    B．    C．    D．2

【思路分析】根据条件求出和的值，结合函数变换关系求出的解析式，结合条件求出的值，利用代入法进行求解即可．

【解析】：是奇函数，，

的最小正周期为，

，得，

则，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．

则，

若，则，即，

则，则，

故选：．

【归纳与总结】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出，和的值是解决本题的关键．

8．已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为　　

A．，    B．，    C．，    D．，

【思路分析】分别作出和的图象，考虑直线经过点和时，有两个交点，直线与在相切，求得的值，结合图象可得所求范围．

【解析】：作出函数的图象，

以及直线的图象，

关于的方程恰有两个互异的实数解，

即为和的图象有两个交点，

平移直线，考虑直线经过点和时，

有两个交点，可得或，

考虑直线与在相切，可得，

由△，解得舍去），

综上可得的范围是，．故选：．

【归纳与总结】本题考查分段函数的运用，注意运用函数的图象和平移变换，考查分类讨论思想方法和数形结合思想，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．是虚数单位，则的值为　　．

【思路分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算．

【解析】：由题意，可知：

，．故答案为：．

【归纳与总结】本题主要考查复数定义及模的概念及基本运算．本题属基础题．

10．设，使不等式成立的的取值范围为　　．

【思路分析】解一元二次不等式即可．

【解析】：，将分解因式即有：；；

由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：；

即：；或；故答案为：；

【归纳与总结】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．

11．曲线在点处的切线方程为　　．

【思路分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将代入导数方程得出在点处的斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．

【解析】：由题意，可知：，．

曲线在点处的切线方程：，

整理，得：．故答案为：．

【归纳与总结】本题主要考查函数求导以及某点处导数的几何意义就是切线斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．本题属基础题．

12．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为　　．

【思路分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可．

【解析】：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，

由勾股定理得：正四棱锥的高为2，

由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，

有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于；

由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，

则该圆柱的体积为：；故答案为：

【归纳与总结】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题．

13．设，，，则的最小值为　　．

【思路分析】利用基本不等式求最值．

【解析】：，，，

则；

，，，

由基本不等式有：，，，故：；

（当且仅当时，即：，时，等号成立），

故的最小值为；故答案为：．

【归纳与总结】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．

14．在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则　　．

【思路分析】利用和作为基底表示向量和，然后计算数量积即可．

【解析】：，，，

在等腰三角形中，，

又，，，

，

又，

故答案为：．

【归纳与总结】本题考查了平面向量基本定理和平面向量的数量积，关键是选好基底，属中档题．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．（13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．

（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为，，，，，．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．

设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率．

【思路分析】（Ⅰ）根据分层抽样各层所抽比例相等可得结果；

（Ⅱ）用列举法求出基本事件数；

用列举法求出事件所含基本事件数以及对应的概率；

【解析】：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为，

由于采用分层抽样从中抽取25位员工，

因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；

（Ⅱ）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为

，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，，共15种；

由表格知，符合题意的所有可能结果为

，，，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，，共11种，

所以，事件发生的概率．

【归纳与总结】本题考查了用列举法求古典概型的概率问题以及根据数据分析统计结论的问题，是基础题目

16．（13分）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

【思路分析】（Ⅰ）根据正余弦定理可得；

（Ⅱ）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．

【解答】解（Ⅰ）在三角形中，由正弦定理，得，又由，

得，即．又因为，得，，由余弦定理可得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，从而，

，

故．

【归纳与总结】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．属中档题．

17．（13分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，．

（Ⅰ）设，分别为，的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

【思路分析】（Ⅰ）连结，由题意得，，由，得，由此能证明平面．

（Ⅱ）取棱中点，连结，推导出，从而平面，进而，再上，能证明平面．

（Ⅲ）连结，由平面，知是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）连结，由题意得，，

又由，得，

平面，平面，平面．

（Ⅱ）取棱中点，连结，依题意得，

又平面平面，平面平面，平面，

又平面，，

又，，平面．

解：（Ⅲ）连结，由（Ⅱ）中平面，

知是直线与平面所成角，

是等边三角形，，且为中点，

，又，

在中，．

直线与平面所成角的正弦值为．

【归纳与总结】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力．

18．（13分）设是等差数列，是等比数列，公比大于0．已知，，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足求．

【思路分析】（Ⅰ）由等差等比数列通项公式和前项和的求解和的通项公式即可．

（Ⅱ）利用分组求和和错位相减法得答案．

【解析】：（Ⅰ）是等差数列，是等比数列，公比大于0．

设等差数列的公差为，等比数列的公比为，．

由题意可得：①；②

解得：，，

故，

（Ⅱ）数列满足，

令①，

则②，

②①得：；

故

【归纳与总结】本题主要考查等差等比数列通项公式和前项和的求解，考查数列求和的基本方法分组和错位相减法的运算求解能力，属中档题．

19．（14分）设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为．已知为原点）．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且．求椭圆的方程．

【思路分析】（Ⅰ）由题意可得，再由离心率公式可得所求值；

（Ⅱ）求得，，可得椭圆方程为，设直线的方程为，联立椭圆方程求得的坐标，以及直线的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得，即可得到所求椭圆方程．

【解析】：（Ⅰ），即为，

可得；

（Ⅱ），，即，，

可得椭圆方程为，设直线的方程为，

代入椭圆方程可得，解得或，

代入直线方程可得或（舍去），可得，

圆心在直线上，且，可设，

可得，解得，即有，可得圆的半径为2，

由直线和圆相切的条件为，

可得，解得，

可得，，可得椭圆方程为．

【归纳与总结】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用直线和椭圆方程联立，求交点，以及直线和圆相切的条件：，考查化简运算能力，属于中档题．

20．（14分）设函数，其中．

（Ⅰ）若，讨论的单调性；

（Ⅱ）若，

证明恰有两个零点；

设为的极值点，为的零点，且，证明．

【思路分析】，．时，，即可得出函数在上单调性．

由可知：，．令，，可知：可得存在唯一解．可得是函数的唯一极值点．令，可得时，．．（1）．可得函数在，上存在唯一零点1．

由题意可得：，，即，，可得，由，可得．又，可得，取对数即可证明．

【解答】解：，．

时，，

函数在上单调递增．

证明：由可知：，．

令，，可知：在上单调递减，又（1）．

且，

存在唯一解．

即函数在上单调递增，在，单调递减．

是函数的唯一极值点．

令，，，

可得（1），时，．

．

（1）．

函数在，上存在唯一零点1．因此函数恰有两个零点；

由题意可得：，，即，，

，即，

，可得．

又，故，取对数可得：，

化为：．

【归纳与总结】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．下载本文