(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2，b2，求a，c的值，利用公式e＝或利用直接求解.

(2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得的值，通常由已知寻求a，b，c的关系式，再与a2＝b2＋c2组成方程组，消去b得只含a，c的方程，再化成关于e的方程求解.

(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的.

涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a，b，c的不等式，消去b后，转化为关于e的不等式，从而求出e的取值范围.

1.　若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为(　　)

A.       B.     C.       D.

解析　依题意，得＝，∴c＝2b，∴a＝＝b，∴e＝＝.  答案D

点评　本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率.

2.　设P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2是其左，右焦点.已知∠F1PF2＝60°，求椭圆离心率的取值范围.

分析　本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键.

解　方法一　根据椭圆的定义，有|PF1|＋|PF2|＝2a.①

在△F1PF2中，由余弦定理，得

cos 60°＝＝，

即|PF1|2＋|PF2|2－4c2＝|PF1||PF2|.②

①式平方，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2.③

由②③，得|PF1||PF2|＝.④

由①和④运用基本不等式，得

|PF1||PF2|≤，即≤a2.

由b2＝a2－c2，得(a2－c2)≤a2，解得e＝≥.

又e＜1，∴该椭圆的离心率的取值范围是[，1).

方法二　如图，设椭圆与y轴交于B1，B2两点，则当点P位于B1或B2处时，点P对两焦点的张角最大，故∠F1B2F2≥∠F1PF2＝60°，从而∠OB2F2≥30°.

在Rt△OB2F2中，e＝＝sin ∠OB2F2≥sin 30°＝.

又e＜1，∴≤e＜1.

∴该椭圆的离心率的取值范围是[，1).

点评　在求椭圆离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围，建立不等关系的途径有：基本不等式，利用椭圆自身存在的不等关系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围，点与椭圆的位置关系所对应的不等关系，椭圆上点的横、纵坐标的有界性等)，判别式，极端情况等等.如上面方法二就应用了“当点P运动到短轴的端点时，点P对两焦点的张角最大”这一极端情况.

(2016全国Ⅰ高考)直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆的中心到的距离为短轴长的，则该椭圆的离心率为（  B ）

A.      B.     C.      D.

解：设椭圆是焦点在x轴上的标准方程，上顶点与右焦点分别为，则直线的方程为。又椭圆短轴长为2b，椭圆中心到的距离为，所以，即。

（2017济南一中调考）设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形。则椭圆的离心率为（ D  ）

A.    B.    C.    D.

解：由题意得，解得。

椭圆的中点弦方程的求法有三：

（1）方程组法：通过解直线于与椭圆方程联立的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解；

（2）点差法：设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为，将这两点的坐标代入椭圆方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

（3）中点转移法：先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得。

1.已知椭圆，过点P(2,1)作一条弦，使弦在这点被平分，求此弦所在的直线方程.

分析　注意根与系数的关系及中点坐标公式的应用.本题也可用两方程直接相减求解.

解　方法一　由题意，知所求直线的斜率存在，设此直线的方程为y＝k(x－2)＋1.由消去y并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.

设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1，x2是方程的两根，所以x1＋x2＝.

因为点P为弦AB的中点，所以2＝＝，解得k＝－.

故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.

方法二　(点差法)设所求直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).因为点P为弦AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又因为A，B在椭圆上，所以x＋4y＝16，x＋4y＝16.两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，

即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，

所以＝＝－，即kAB＝－.

故所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，

即x＋2y－4＝0.

方法三　（利用对称性，中点转移法）设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y).因为弦中点为P(2,1)，所以另一个交点为B(4－x,2－y).

因为点A，B在椭圆上，所以x2＋4y2＝16，①

(4－x)2＋4(2－y)2＝16，②

从而A，B在方程①－②所形成的图形上，

即在直线x＋2y－4＝0上.

又因为过A，B的直线只有1条，

故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.

解后反思　解决中点弦的问题，最常用的方法有两种：一是把直线方程与曲线方程联立，消元得一元二次方程，利用中点坐标公式和根与系数的关系列关系式，进而求出参数；二是设出弦的两端点坐标，不具体求出，利用点差法整体表示直线斜率，进而求出参数；三利用对称性，设出弦的一个端点坐标，利用中点转移法求出另一端点的坐标，消去二次项直接求出弦所在的直线方程 。下载本文