平测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若001a b ><<，
，则2a ab ab ，的大小关系为 A ．2a ab ab >> B ．2a ab ab << C ．2ab a ab >> D ．2ab ab a >>
2．如图所示，向量,,,5OA a OB b OC c AC CB ====-，则（ ）
A ．1544c a b =-+
B ．2c a b =-+
C ．1322c a b =-+
D ．1
433
c a b =-+ 3．将一个底面半径和高都是R 的圆柱挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，剩余部分的体积记为1V ，半径为R 的半球的体积记为2V ，则1V 与2V 的大小关系为( )
A ．12V V >
B ．12V D ．不能确定 4．圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的公切线条数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（ ） B ． C ． D ． 6．若向量()2cos ,1a α=-， ()2,tan b α=，且//a b ，则sin α＝( ) A ．22 B ．－22 C ．4π D ．－4 π 7．3,3,6这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( ) A ．12π B ．18π C ．36π D ．6π 8．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实 数a 的值是( ) A ．2- B ．4- C ．6- D ．8- 9．已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD = =P ABCD -外接球的表面积为（ ） A ．10π B ．4π C ．16π D ．8π 10．已知向量(1,2)a =，(4,2)b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．512π D ．2 π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 11．已知正实数x ，y 满足22x y +=，则21x y +的最小值为________. 12．已知角α的终边经过点(),1P x ，若5sin α=，则x =______. 13．等差数列{}n a 满足3198,4a a a =+=，则其公差为__________． 14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 15．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 16．设函数()f x 满足()()sin f x f x x π+=+，当0x π≤≤时，()0f x =，则 23()6 f π=________. 三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知圆C 的圆心为(1，1)，直线40x y +-=与圆C 相切. （1）求圆C 的标准方程； （2）若直线过点(2，3)，且被圆C 所截得的弦长为2，求直线的方程. 18．设等差数列{}n a 中，268, 0a a =-=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若等比数列{}n b 满足121238,b b a a a =-=++，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，21n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11 n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．已知函数()cos 16g x x π⎛ ⎫=-+ - ⎪⎝⎭，作如下变换：6()()y g x y h x π==向右平移个单位12() y t x =纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍2()y f x =横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍. （1）分别求出函数()y g x =的对称中心和单调增区间； （2）写出函数()y f x =的解析式、值域和最小正周期. 21．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知(),2m a c b =-，()cos ,cos n C A =，且m n ⊥． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若123 AB AC -=，求ABC ∆面积的最大值． 参 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A 【解题分析】 利用作差比较法判断得解. 【题目详解】 ①()2 1ab ab ab b -=-， ∵001a b ><<， ， ∴20ab ab ->， 故2ab ab >. ②∵001a b ><<， ， ∴(1)0a ab a b -=->， 所以a ＞ab. 综上2a ab ab >>， 故选A . 【题目点拨】 本题主要考查作差比较法比较实数的大小，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2、A 【解题分析】 根据平面向量的加法的几何意义、平面向量的基本定理、平面向量数乘运算的性质，结合 5AC CB =-进行求解即可. 【题目详解】 1555()4544 AC CB AO OC CO OB OC OA OB c a b =-⇒+=-+⇒=-+⇒=-+. 故选：A 【题目点拨】 本题考查了平面向量基本定理及加法运算的几何意义，考查了平面向量数乘运算的性 质，属于基础题. 3、C 【解题分析】 根据题意分别表示出12,V V ，通过比较12V V =。 【题目详解】 23=h=?V S R R R ππ=圆柱 23111=333V Sh R R R ππ=⨯⨯=圆锥 ∴333112-=33 V V V R R R πππ=-=圆柱圆锥 3321142==2233 V V R R ππ=⨯球 所以12V =V ， 选C 。 【题目点拨】 1=3V Sh 圆锥，=Sh V 圆柱，34V 3 R π=球。记住这几个公式即可，属于基础题目。 4、B 【解题分析】 判断两圆的位置关系，根据两圆的位置关系判断两圆公切线的条数. 【题目详解】 圆2220x y x +-=的标准方程为()2211x y -+=，圆心坐标为()1,0，半径长为1r =. 圆2240x y y ++=的标准方程为()2 224x y ++=，圆心坐标为()0,2-，半径长为2R =. 圆心距为()()2210025d =-++=153<<，即R r d R r -<<+， 所以，两圆相交，公切线的条数为2，故选B. 【题目点拨】 本题考查两圆公切线的条数，本质上就是判断两圆的位置关系，公切线条数与两圆位置 的关系如下： ①两圆相离4⇔条公切线；②两圆外切3⇔条公切线；③两圆相交2⇔条公切线； ④两圆内切1⇔条公切线；⑤两圆内含⇔没有公切线. 5、D 【解题分析】 根据正四棱锥的特征直接判定即可. 【题目详解】 正四棱锥俯视图可以看到四条侧棱与顶点,且整体呈正方形. 故选：D 【题目点拨】 本题主要考查了正四棱锥的俯视图,属于基础题. 6、B 【解题分析】 根据向量平行的坐标表示，列出等式，化简即可求出． 【题目详解】 因为//a b ，所以2cos tan 0αα+=，即2sin 0α=， 解得sin 2α=- ，故选B ． 【题目点拨】 本题主要考查向量平行的坐标表示以及同角三角函数基本关系的应用． 7、A 【解题分析】 先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的表面积. 【题目详解】 =， 所以该球的表面积是2412S ππ==， 故选A. 【题目点拨】 该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求 得结果. 8、B 【解题分析】 试题分析：圆2 2 220x y x y a ++-+=化为标准方程为2 2 (1)(1)2x y a ++-=-，所以圆心为（-1,1），半径2r a =-，弦心距为2 2 112211 d -++= =+ ．因为圆 22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，所以 2 2 222,4a a +=-∴=-．故选B ． 9、D 【解题分析】 因为PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD = =,故 ,则点到平面ABCD 的距离为,而底面正方形的中心到边 的距离也为,则顶点 正方形中心 的距离,正方形的外接圆的半径为,故正方形ABCD 的中心是球心,则 球的半径为,所以该几何体外接球的表面积 ,应选D ． 10、D 【解题分析】 利用夹角公式计算出两个向量夹角的余弦值，进而求得两个向量的夹角. 【题目详解】 设两个向量的夹角为θ，则cos 0525θ==⋅，故π 2 θ=. 故选：D. 【题目点拨】 本小题主要考查两个向量夹角的计算，考查向量数量积和模的坐标表示，属于基础题. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 11、4 【解题分析】 将 21x y +变形为()12122x y x y ⎛⎫ ++ ⎪⎝⎭ ，展开，利用基本不等式求最值. 【题目详解】 解：()21121141222224222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当 4y x x y =时等号成立，又22x y +=，得1 1,2 x y ==，此时等号成立， 故答案为：4. 【题目点拨】 本题考查基本不等式求最值，特别是掌握“1”的妙用，是基础题. 12、2± 【解题分析】 利用三角函数的定义可求x . 【题目详解】 由三角函数的定义可得 sin α=， 故2x =±. 故答案为：2±. 【题目点拨】 本题考查三角函数的定义，注意根据正弦的定义构建关于x 的方程，本题属于基础题. 13、3- 【解题分析】 首先根据等差数列的性质得到52a =，再根据532a a d -=即可得到公差的值. 【题目详解】 19524a a a +==，解得52a =. 5326a a d -==-，所以3d =-. 故答案为：3- 【题目点拨】 本题主要考查等差数列的性质，熟记公式为解题的关键，属于简单题. 14、1 【解题分析】 分析：设塔的顶层共有a 1盏灯，则数列{a n }公比为2的等比数列，利用等比数列前n 项和公式能求出结果． 详解: 设塔的顶层共有a 1盏灯，则数列{a n }公比为2的等比数列， ∴S 7==181，解得a 1=1．故答案为1. 点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力. 15、二 【解题分析】 由点P （tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限． 【题目详解】 因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0， 则角α的终边在第二象限， 故答案为二． 点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号． 16、 1 2 【解题分析】 由已知得f （236π）=f （176π）+sin 176π=f （116π）+sin 116π+sin 176π=f （56 π ） +sin 56π+sin 116π+sin 176 π，由此能求出结果． 【题目详解】 ∵函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x+π）=f （x ）+sinx ， 当0≤x ＜π时，f （x ）=0， ∴f （236π）=f （176π）+sin 176π =f （116π）+sin 116π+sin 176π =f （56π）+sin 56π+sin 116π+sin 176π =0+111222-+ =12 ． 故答案为：1 2 ． 【题目点拨】 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）2 2 (1)(1)2x y -+-=；（2）3460x y -+=或2x =． 【解题分析】 （1）利用点到直线的距离可得：圆心(1,1)C 到直线40x y +-=的距离d ．根据直线 40x y +-=与圆C 相切，可得r d =．即可得出圆的标准方程． （2）①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程：3(2)y k x -=-，即： 320kx y k -+-=，可得圆心到直线l 的距离d ，又212d +=，可得：k ．即可得出 直线l 的方程．②当l 的斜率不存在时，2x =，代入圆的方程可得：2 (1)1y -=，解得y 可得弦长，即可验证是否满足条件． 【题目详解】 （1）圆心(1,1)C 到直线40x y +-=的距离 d ==． 直线40x y +-=与圆C 相切，r d ∴== ∴圆的标准方程为：22(1)(1)2x y -+-=． （2）①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程：3(2)y k x -=-， 即：320kx y k -+-=， d = 212d +=，1d ∴=． 解得：3 4 k =． ∴直线l 的方程为：3460x y -+=． ②当l 的斜率不存在时，2x =，代入圆的方程可得：2(1)1y -=，解得11y =±，可得弦长2=，满足条件． 综上所述l 的方程为：3460x y -+=或2x =． 【题目点拨】 本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 18、（1）*212,n a n n N =-∈（2）() *413,n n S n N =-∈ 【解题分析】 （1）求出公差d ，由公式()n m a a n m d =+-得通项公式； （2）由（1）求出2b ，计算公比q ，再由等比数列前n 项和公式得和． 【题目详解】 （1）在等差数列{}n a 中，268,0a a =-=，故设{}n a 的公差为d ， 则624a a d =+，即084d =-+，所以2d =， 所以*2(2)212, n a a n d n n N =+-=-∈. （2）设数列{}n b 的公比为q ，则2 21231 108624,3b b a a a q b =++=---=-= =， 所以()()*813413,13 n n n S n N --==-∈-. 【题目点拨】 本题考查等差数列与等比数列的基本量法．求出数列的首项1a 和公差d （或公比q ），则数列的通项公式与前n 项和随之而定． 19、 (1)1 2n n a -=；(2) n T 11121 n +=--. 【解题分析】 （1）由1n n n a S S -=-即可求得通项公式； （2）由（1）中所求的n a ，以及n S ，可得n b ，再用裂项求和求解前n 项和即可. 【题目详解】 （1）当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=--- 整理得12n n a a -=，即数列是以首项为111a S ==，公比为2的等比数列， 故12n n a -= （2）由（1）得12n n a -=，122121n n n S -=⨯-=-， 故1 1n n n n a b S S ++==()() 1 12112121 2121n n n n n ++=----- 故12n n T b b b =+++ 11111 11 1337 2121 n n +=- +-++ --- 11 121 n +=-- 数列{}n b 的前n 项和n T 1 112 1 n +=--. 【题目点拨】 本题考查由n a 和n S 之间的关系求解数列的通项公式，以及用裂项求和求解前n 项和， 属数列综合基础题. 20、（1）2+,1,3k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤ -++∈⎢⎥⎣⎦ ；（2） ()2cos(2)23 f x x π =--，[]4,0-，π. 【解题分析】 （1）由()cos 16g x x π⎛⎫ =- - ⎪⎝ ⎭ ，直接利用对称中心和增区间公式得到答案. （2）根据变换得到函数()y f x =的解析式为()2cos(2)23 f x x π =--，再求值域和 最小正周期. 【题目详解】 由题意知：（1）()cos 1cos 166g x x x ππ⎛ ⎫ ⎛ ⎫=-+ -=-- ⎪ ⎪⎝ ⎭⎝⎭ 由,6 2x k k Z π π π- = +∈得()g x 对称中心2,1,3k k Z ππ⎛⎫ +-∈ ⎪⎝⎭ ， 由22,6 k x k k Z π πππ-+≤- ≤∈，得： ()g x 单调增区间为52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤ - ++∈⎢⎥⎣⎦ ， （2）所求解析式为：()2cos(2)23 f x x π =--0 值域：[4,0]y ∈- 最小正周期：22 T π π==. 【题目点拨】 本题考查了三角函数的对称中心，单调区间，函数变换，周期，值域，综合性强，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用. 21、（Ⅰ）60A ︒=（Ⅱ）【解题分析】 （Ⅰ）先利用向量垂直的坐标表示，得到· cos (2)?cos 0a C c b A +-=，再利用正弦定理以及两角和的正弦公式将· cos (2)?cos 0a C c b A +-=，化为sin 2sin cos 0B B A -=，进而得到1 cos 2 A = ，由此能求出A ． （Ⅱ）将123 AB AC -=两边平方，推导出12bc ，当且仅当6b =，2c =时取等号，由此求出ABC ∆面积的最大值． 【题目详解】 解析：（Ⅰ）由m n ⊥得cos (2)cos 0a C c b A ⋅+-⋅=， 则sin cos (sin 2sin )cos 0A C C B A ⋅+-⋅= 得sin()2sin cos 0A C B A +-⋅=，即sin 2sin cos 0B B A -⋅= 由于sin 0B ≠，得1cos 2 A =，又A 为内角，因此60A ︒=. （Ⅱ）将123A B A C -=两边平方，即 2 2433b bc c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭33bc bc ≥= 所以12bc ≤，当且仅当6b =，2c =时取等号. 此时1sin 24 ABC S bc A ∆==，其最大值为【题目点拨】 本题主要考查数量积的坐标表示及运算、两角和的正弦公式应用、三角形面积公式的应用以及利用基本不等式求最值．
