一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2y2+y﹣1=0 B．﹣2x=1 C．ax2+bx+c=0 D．x2=0
2．（3分）下列汽车标志可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）已知双曲线y=上有一点P（2，﹣3），则点A（6，1）、B（﹣2，3）、C（，﹣12）、D（﹣7，1）中，在该双曲线上的还有（ ）
A．点A、B B．点A、C C．点B、C D．点B、D
4．（3分）已知x2﹣2x﹣1=0，则2x2﹣4x的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣2或6 D．2或6
5．（3分）某商品连续两次降价10%后的价格是81元，则该商品原来的价格是（ ）
A．100元 B．90元 C．810元 D．819元
6．（3分）将抛物线y=﹣（x﹣2）2向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为（ ）
A．y=﹣（x﹣1）2+2 B．y=﹣（x﹣1）2﹣2 C．y=﹣（x﹣3）2+2 D．y=﹣（x﹣3）2﹣2
7．（3分）如图，CD为⊙O的直径，且CD⊥弦AB，∠AOC=50°，则∠B大小为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．65°
8．（3分）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，若∠BIC=145°，则∠BOC的度数为（ ）
A．110° B．125° C．130° D．140°
10．（3分）已知圆锥的高线长为4cm，底面半径为3cm，则此圆锥则面展开图的面积为（ ）
A．12πcm2 B．13πcm2 C．14πcm2 D．15πcm2
11．（3分）给出下列函数①y=2x；②y=﹣x+1；③y=（x＞0）；④y=x2（x＜﹣1）其中y随x的增大而减小的函数是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③④
12．（3分）二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y=在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）如图，点A在双曲线y=上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积是2，则k的值是 ．
14．（3分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA= ．
15．（3分）已知α、β是关于x的一元二次方程的x2+（2m+3）x+m2=0两个不相等的实数根，且满足α+β+αβ=0，则m的值是 ．
16．（3分）网球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足函数关系式h=﹣t2+6t，则网球在飞行中距离地面的最大高度是 ．
17．（3分）在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若P在线段CA的延长线上，且∠ABP=30°，则CP的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共69分）
18．（6分）用两种不同的方法解下列方程：x2﹣4x=12．
19．（4分）图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上．
（1）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可）
（2）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（画一个即可）
20．（5分）如图，一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点B的纵坐标为﹣2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知S△AOB的面积为6，则A（ ， ）；
（3）当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．
21．（7分）已知：△ABC是⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一点（与点B、C不重合）．
（1）如图1，若点P是弧BC的中点，则PB+PC PA（填“＞、=、＜”）；
（2）如图2，若点P在弧BC上移动时，（1）的结论还成立吗？请说明理由．
22．（7分）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m，鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
23．（8分）如图，已知P是正方形ABCD内一点，以点B为旋转中心，将△ABP按顺时针方向旋转使点A与点C重合，这时P点旋转到G点．
（1）设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），在图中用阴影标出△ABP旋转到△CBG的过程中，边PA所扫过区域的面积，并用含a、b的式子表示它 ；
（2）若PA=，PB=1，PC=2，连接PG，试猜想△PGC的形状，并说明理由．
24．（10分）家乐福超市在我市开业时，玩具专柜新到一种儿童益智玩具，购进时的成本是20元/件，当超市的销售单价是30元/件时，月销售量是720件，试销后分析发现：销售单价每上涨1元，月销售量就减少30件．
（1）求月销售利润y（元）与每件玩具的上涨价格x（元）之间的函数关系式；
（2）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
（3）按照物价部门的规定，每件玩具的售价不能高于35元，如果专柜想要月销售利润在8400元以上，直接写出上涨价格x（元）的取值范围．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠BAD的平分线交⊙O于点C，过点C的直线与AD互相垂直，垂足为点E，直线EC与AB的延长线交于点P，连接BC，已知PB：PC=1：．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为r，试探究线段PB与r的数量关系并证明；
（3）当r=3时，求DE的长．
26．（12分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，﹣3），直线y=﹣x与BC边相交于D点，过原点的抛物线y=ax2+bx经过A、D两点．
（1）求抛物线的解析式，并写出对称轴；
（2）试判断△OCD与△ABD是否相似？并说明理由．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得△POD为直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标（并在“备用图”中画出P点得到的痕迹）；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年湖北省襄阳市樊城区九年级（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2y2+y﹣1=0 B．﹣2x=1 C．ax2+bx+c=0 D．x2=0
【分析】只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断．
【解答】解：A、是关于y的一元二次方程，不符合题意；
B、为分式方程，不符合题意；
C、当a=0时，边上一元二次方程，不符合题意；
D、只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意；
故选D
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，为整式方程；特别注意二次项系数不为0．
2．（3分）下列汽车标志可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）已知双曲线y=上有一点P（2，﹣3），则点A（6，1）、B（﹣2，3）、C（，﹣12）、D（﹣7，1）中，在该双曲线上的还有（ ）
A．点A、B B．点A、C C．点B、C D．点B、D
【分析】根据待定系数法可求双曲线y=，再将A（6，1）、B（﹣2，3）、C（，﹣12）、D（﹣7，1）代入即可求解．
【解答】解：∵双曲线y=上有一点P（2，﹣3），
∴﹣3=，解得k=﹣6，
∵6×1=6，﹣2×3=﹣6，×（﹣12=﹣6，﹣7×1=﹣7，
∴在该双曲线上的还有点B、C．
故选：C．
【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标满足该函数．
4．（3分）已知x2﹣2x﹣1=0，则2x2﹣4x的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣2或6 D．2或6
【分析】由x2﹣2x﹣1=0得到x2﹣2x=1，再把原式变形为2（x2﹣2x），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1=0，
∴x2﹣2x=1，
∴2x2﹣4x=2（x2﹣2x）
=2×1
=2．
故选B．
【点评】本题考查了代数式求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．注意利用整体代入的方法计算代数式的值．
5．（3分）某商品连续两次降价10%后的价格是81元，则该商品原来的价格是（ ）
A．100元 B．90元 C．810元 D．819元
【分析】可设该商品原来的价格是x元，根据等量关系式：原价×（1﹣降低率）2=81，列出方程即可求解．
【解答】解：设原价为x．
x×（1﹣10%）2=81，
解得x=100．
故选：A．
【点评】考查一元一次方程的应用；解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
6．（3分）将抛物线y=﹣（x﹣2）2向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为（ ）
A．y=﹣（x﹣1）2+2 B．y=﹣（x﹣1）2﹣2 C．y=﹣（x﹣3）2+2 D．y=﹣（x﹣3）2﹣2
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标间，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y=﹣（x﹣2）2的顶点坐标为（2，0），
∴向右平移1个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标是（3，﹣2）
∴所得抛物线解析式是y=﹣（x﹣3）2﹣2，
故选D．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
7．（3分）如图，CD为⊙O的直径，且CD⊥弦AB，∠AOC=50°，则∠B大小为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．65°
【分析】本题关键是理清弧的关系，找出等弧，则可根据“同圆中等弧对等角”求出∠D的度数，即可得出结果．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴，
∴∠D=∠AOC=25°，
∴∠B=90°﹣25°=65°；
故选：D．
【点评】此题综合考查垂径定理和圆周角的求法及性质；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
8．（3分）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．
【解答】解：有三个．
①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．
9．（3分）点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，若∠BIC=145°，则∠BOC的度数为（ ）
A．110° B．125° C．130° D．140°
【分析】因为点I为△ABC的内心，推出∠IAB+∠IBA=（∠ABC+∠ACB）=180°﹣145°=35°，推出∠ABC+∠ACB=70°，推出∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=110°，作△ABC的外接圆如图，在⊙O上取一点D，连接BD、CD．因为∠D=180°﹣∠A=70°，根据∠BOC=2∠D即可解决问题．
【解答】解：∵点I为△ABC的内心，
∴∠IAB+∠IBA=（∠ABC+∠ACB）=180°﹣145°=35°，
∴∠ABC+∠ACB=70°，
∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=110°
∵点O为△ABC的外心，作△ABC的外接圆如图，在⊙O上取一点D，连接BD、CD．
∴∠D=180°﹣∠A=70°，
∴∠BOC=2∠D=140°．
故选D．
【点评】本题主要考查了三角形的内心与外心，正确得出∠A的度数是解题关键．
10．（3分）已知圆锥的高线长为4cm，底面半径为3cm，则此圆锥则面展开图的面积为（ ）
A．12πcm2 B．13πcm2 C．14πcm2 D．15πcm2
【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：∵圆锥的高为4cm，底面半径为3cm，
∴圆锥的母线长为：=5cm，
∴圆锥的侧面展开图的面积为：π×5×3=15πcm2．
故选D．
【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键；注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形这个知识点．
11．（3分）给出下列函数①y=2x；②y=﹣x+1；③y=（x＞0）；④y=x2（x＜﹣1）其中y随x的增大而减小的函数是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③④
【分析】根据正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的性质解答．
【解答】解：①y=2x，正比例函数，k＞0，故y随x的增大而增大；
②y=﹣x+1，一次函数，k＜0，故y随x增大而减小；
③y=（x＞0），反比例函数，k＞0在第一象限内y随x的增大而减小；
④y=x2（x＜﹣1），图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x的增大而减小．
故选D．
【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．
12．（3分）二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y=在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据各选项中反比例函数图象的位置确定a的范围，再根据a的范围对抛物线的大致位置进行判断，从而确定该选项是否正确．
【解答】解：A、对于反比例函数y=经过第二、四象限，则a＜0，所以抛物线开口向下，故A选项错误；
B、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，故B选项正确；
C、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，故C选项错误；
D、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，而b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了反比例函数的图象．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）如图，点A在双曲线y=上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积是2，则k的值是 ﹣4 ．
【分析】根据反比例函数的系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变，可得|k|=S△AOB=2，据此求出k的值是多少即可．
【解答】解：∵△AOB的面积是2，
∴|k|=2，
∴|k|=4，
解得k=±4，
又∵双曲线y=的图象经过第二、四象限，
∴k=﹣4，
即k的值是﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】此题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：比例系数k的几何意义在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
14．（3分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA= ．
【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据邻边比斜边，可得角的余弦值．
【解答】解：如图，
由勾股定理得AC=2，AD=4，
cosA=，
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，角的余弦是角邻边比斜边．
15．（3分）已知α、β是关于x的一元二次方程的x2+（2m+3）x+m2=0两个不相等的实数根，且满足α+β+αβ=0，则m的值是 3 ．
【分析】由方程有两个不相等的实数根，可得出△=12m+9＞0，解之即可得出m的取值范围，由根与系数的关系结合α+β+αβ=0，可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再由m的取值范围可确定m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程的x2+（2m+3）x+m2=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2m+3）2﹣4m2=12m+9＞0，
解得：m＞﹣．
∵α、β是关于方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣（2m+3），αβ=m2．
∵α+β+αβ=0，
∴m2﹣2m﹣3=0，
解得：m1=﹣1，m2=3．
∵m＞﹣，
∴m=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据根与系数的关系结合α+β+αβ=0，列出关于m的一元二次方程是解题的关键．
16．（3分）网球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足函数关系式h=﹣t2+6t，则网球在飞行中距离地面的最大高度是 9m ．
【分析】把二次函数的解析式化成顶点式，即可得出答案．
【解答】解：h=﹣t2+6t
=﹣（t2﹣6t）
=﹣（t2﹣6t+9）+9
=﹣（t﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，有最大值，
当t=3时，h有最大值是9m．
故答案为：9m．
【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是把函数式化成顶点式．
17．（3分）在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若P在线段CA的延长线上，且∠ABP=30°，则CP的长为 6或4 ．
【分析】根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用直角三角形的性质解答．
【解答】解：如图1：
当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；
如图2：
当∠C=60°时，∠ABC=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠CBP=60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴CP=BC=6；
如图3：
当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°﹣30°=30°，
∴PC=PB，
∵BC=6，
∴AB=3，
∴PC=PB=；
但不符合P在线段CA的延长线上，
如图4：
当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°+30°=90°，
∴PC=BC÷cos30°=4．
故答案为：6或4．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共69分）
18．（6分）用两种不同的方法解下列方程：x2﹣4x=12．
【分析】分别根据配方法和因式分解法的步骤依次计算可得．
【解答】解：配方法：x2﹣4x=12，
x2﹣4x+4=12+4，即（x﹣2）2=16，
∴x﹣2=4或x﹣2=﹣4，
解得：x1=6，x2=﹣2；
因式分解法：x2﹣4x﹣12=0，
（x﹣6）（x+2）=0，
x﹣6=0或x+2=0，
∴x1=6，x2=﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法
19．（4分）图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上．
（1）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可）
（2）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（画一个即可）
【分析】先要找出什么样的图形是轴对称图形，什么样的图形是中心对称图形．
【解答】解：（1）有以下答案供参考：
．
（2）有以下答案供参考：
．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，考查中心对称、轴对称的概念与画图的综合能力．
20．（5分）如图，一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点B的纵坐标为﹣2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知S△AOB的面积为6，则A（ ﹣2 ， 4 ）；
（3）当y1＜y2时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）利用一次函数y1=﹣x+2的图象经过点B，可得B（4，﹣2），把B（4，﹣2）代入反比例函数y2=，可得反比例函数的解析式；
（2）设点A（a，b），根据S△AOB的面积为6，可得OC（|b|+|﹣2|）=6，进而得到b的值，再根据反比例函数解析式，即可得到点A的坐标；
（3）根据一次函数y1=﹣x+2的图象在反比例函数y2=的图象下方，可得对应的自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）在一次函数y1=﹣x+2中，令y=﹣2，可得
﹣2=﹣x+2，
解得x=4，
∴B（4，﹣2），
把B（4，﹣2）代入反比例函数y2=，可得
k=﹣2×4=﹣8，
∴反比例函数的解析式为y=﹣；
（2）设点A（a，b），则
由S△AOB的面积为6，可得OC（|b|+|﹣2|）=6，
∴×2×（|b|+2）=6，
解得b=4，（负值已舍去）
又∵ab=﹣8，
∴a=﹣2，
∴A（﹣2，4），
故答案为：﹣2，4；
（3）∵A（﹣2，4），B（4，﹣2），
∴当y1＜y2时，﹣2＜x＜0或x＞4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及数形结合思想的运用．
21．（7分）已知：△ABC是⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一点（与点B、C不重合）．
（1）如图1，若点P是弧BC的中点，则PB+PC = PA（填“＞、=、＜”）；
（2）如图2，若点P在弧BC上移动时，（1）的结论还成立吗？请说明理由．
【分析】（1）连OB，OC，由点P是弧BC的中点，△ABC是⊙O的内接正三角形，根据垂径定理的推论得到AP为⊙O的直径，易得△OBP和△OPC都是等边三角形，于是得到结论；
（2）截取PE=PC，则△PEC为等边三角形，得到CE=CP，∠PCE=60°，易证△CAE≌△CBP，得到AE=PB，即有PB+PC=PA．
【解答】解：（1）连OB，OC，如图
∵点P是弧BC的中点，△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴AP为⊙O的直径，
∴∠BPO=∠ACB，∠APC=∠ABC，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠BPO=∠APC=60°，
∴△OBP和△OPC都是等边三角形，
∴PB=PC=OP=OA，
∴PB+PC=PA；
故答案为=．
（2）（1）的结论还成立．理由如下：
在PA上截取PE=PC，
∵∠APC=60°，
∴△PEC为等边三角形，
∴CE=CP，∠PCE=60°，
而∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠BCP，
而CA=CB，
∴△CAE≌△CBP，
∴AE=PB，
∴PB+PC=PA．
【点评】本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质以及证明一条线段等于两条线段和的方法．
22．（7分）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m，鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【分析】设垂直于墙的边长为未知数，则平行于墙的边长为木栏长﹣2×垂直于墙的边长，鸡场的面积=垂直于墙的边长×平行于墙的边长，把相关数值代入，看是否有合适的解即可
【解答】解：设垂直于墙的边长为xm．
依题意得：x（35﹣2x）=180，
2x2﹣35x+180=0．
∵△＜0，
∴此方程无解．
答：鸡场的面积不能达到180m2．
【点评】考查一元二次方程的应用；得到长方形的两个边长是解决本题的突破点．
23．（8分）如图，已知P是正方形ABCD内一点，以点B为旋转中心，将△ABP按顺时针方向旋转使点A与点C重合，这时P点旋转到G点．
（1）设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），在图中用阴影标出△ABP旋转到△CBG的过程中，边PA所扫过区域的面积，并用含a、b的式子表示它 S= ；
（2）若PA=，PB=1，PC=2，连接PG，试猜想△PGC的形状，并说明理由．
【分析】（1）因为将△ABP按顺时针方向旋转使点A与点C重合，即旋转了90°，利用面积差可得边PA所扫过区域的面积=S=S扇形BAC+S△CBG﹣S△ABP﹣S扇形BPG，代入可得结论；
（2）先利用勾股定理得PG=，根据勾股定理的逆定理可得：△PGC是等腰直角三角形．
【解答】解：（1）如图1，由旋转得：∠PBG=∠ABC=90°，BG=PB=b，
△ABP≌△CBG，
∴S=S扇形BAC+S△CBG﹣S△ABP﹣S扇形BPG，
=﹣，
=，
故答案为：；
（2）如图2，△PGC是等腰直角三角形，
理由是：∵∠PBG=90°，PB=BG=1，
∴△PBG是等腰直角三角形，
∴PG=，
△PGC中，PC=2，CG=，
∴PC2=PG2+CG2，
∴△PGC是直角三角形，
∵CG=PG，
∴△PGC是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质和判定、扇形的面积，明确旋转前后的边和角对应相等，并熟练掌握扇形面积的计算公式．
24．（10分）家乐福超市在我市开业时，玩具专柜新到一种儿童益智玩具，购进时的成本是20元/件，当超市的销售单价是30元/件时，月销售量是720件，试销后分析发现：销售单价每上涨1元，月销售量就减少30件．
（1）求月销售利润y（元）与每件玩具的上涨价格x（元）之间的函数关系式；
（2）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
（3）按照物价部门的规定，每件玩具的售价不能高于35元，如果专柜想要月销售利润在8400元以上，直接写出上涨价格x（元）的取值范围．
【分析】（1）根据题意可以求得月销售利润y（元）与每件玩具的上涨价格x（元）之间的函数关系式；
（2）根据（1）中的函数解析式，将它化为顶点式，即可解答本题；
（3）根据题意可以得到相应的不等式组，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
y=（30+x﹣20）（720﹣30x）=﹣30x2+420x+7200，
即月销售利润y（元）与每件玩具的上涨价格x（元）之间的函数关系式是y=﹣30x2+420x+7200；
（2）∵y=﹣30x2+420x+7200=﹣30（x﹣7）2+8670，
∴当x=7时，y取得最大值，此时y=8670，
∴x+30=37，
答：每件玩具的售价定为37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是8670元；
（3）由题意可得，
，
解得，4＜x≤5，
答：上涨价格x（元）的取值范围是4＜x≤5．
【点评】本题考查二次函数的应用、不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠BAD的平分线交⊙O于点C，过点C的直线与AD互相垂直，垂足为点E，直线EC与AB的延长线交于点P，连接BC，已知PB：PC=1：．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为r，试探究线段PB与r的数量关系并证明；
（3）当r=3时，求DE的长．
【分析】（1）先判断出∠CAE=∠CAB，进而得出∠CAE=∠OCA，即可得出OC∥AE，即可得出结论；
（2）设出PB=x，则PC=x，先判断出△PBC∽△PCA，即可得出比例式即可得出PA=3x，即可得出结论；
（3）利用锐角三角函数求出∠BAC=30°，即可求出∠ABD=30°，即可求出AD，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，连接OC，
∴OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠CAE=∠CAB，
∴∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵PC⊥AE，
∴PC⊥OC，
∵点C在⊙O上，
∴PC是⊙O的切线；
（2）PB=r，
理由：由（1）知，PC是⊙O的切线，
∴∠PCB=∠PAC，
∵∠A=∠A，
∴△PBC∽△PCA，
∴=，
设PB=x，则PC=x，
∴，
∴PA=3x，
∴PA=PB+AB=x+2r=3x，
∴r=x，
∴PB=r，
（3）如图2，
连接OC，
由（1）知，OC⊥PC，
由（2）知，BP=r=OB，
∴BC=OP=r，
AC=BC=r=3，
在Rt△ABC中，sin∠BAC===，
∴∠BAC=30°，
∴∠BAD=2∠BAC=60°，
连接BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=30°，
∴AD=AB=r=3．
在Rt△ACE中，∠ACE=30°，cos∠CAE==，
∴AE=3×cos30°=，
∴DE=AE﹣AD=﹣3=．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了角平分线定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，解（1）的关键是判断出OC∥AE，解（2）的关键是表示出PA，解（3）的关键是求出∠BAC=30°，是一道中等难度的中考常考题．
26．（12分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，﹣3），直线y=﹣x与BC边相交于D点，过原点的抛物线y=ax2+bx经过A、D两点．
（1）求抛物线的解析式，并写出对称轴；
（2）试判断△OCD与△ABD是否相似？并说明理由．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得△POD为直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标（并在“备用图”中画出P点得到的痕迹）；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据矩形的性质得到OA∥BC，得到D点的纵坐标为﹣3，求得D（4，﹣3），把A（6，0），D（4，﹣3）代入y=ax2+bx即可得到结论；
（2）根据已知条件即可得到结论；
（3）设P（3，m），根据勾股定理得到OP2=9+m2，PD2=（4﹣3）2+（﹣3﹣m）2=m2+6m+10，OD2=32+42=25，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴OA∥BC，
∵C（0，﹣3），
∴D点的纵坐标为﹣3，
∵直线y=﹣x与BC边相交于D点，
∴D（4，﹣3），
把A（6，0），D（4，﹣3）代入y=ax2+bx得，，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x，其对称轴为直线x=3；
（2）∵OC=3，CD=4，
∴AB=OC=3，BD=2，
∵，=，
∴，
∴△OCD与△ABD不相似；
（3）设P（3，m），
∴OP2=9+m2，PD2=（4﹣3）2+（﹣3﹣m）2=m2+6m+10，OD2=32+42=25，
∴①当OP2+PD2=OD2时，
即9+m2+m2+6m+10=25，
解得：m=，
②当OP2+OD2=PD2时，
即9+m2+25=m2+6m+10，
解得：m=4，
③当OP2=OD2+PD2时，
即9+m2=m2+6m+10+25，
解得：m=﹣，
∴点P的坐标为：（3，），（3，），（3，4），（3，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用了自变量与函数值的对应关系是求点与坐标轴的交点坐标的关键，待定系数求函数解析式，相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；勾股定理的应用．
