一．填空题（本大题共48分）
1．已知集合A = { –1 , 3 , 2m – 1 }，集合B = { 3 , m2 }。若B A，则实数m =__________。
2．已知圆x2 – 4x – 4 +y2 = 0的圆心是点P，则点P到直线x – y – 1 = 0的距离是______。
3．若函数f(x) = ax（a > 0且a 1）的反函数的图像过点( 2 , –1 )，则a =_____。
4．计算： =__________。
5．若复数z同时满足（i为虚数单位）。则=__________。
6．如果，且是第四象限的角，那么=_____________。
7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(, 0 )，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________。
8．在极坐标系中，是极点，设点。则△OAB的面积是___。
9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本。将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是______。（结果用分数表示）
10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是__________。
11．若曲线y2 = |x| + 1与直线y = kx + b没有公共点，则k , b分别应满足的条件是__________。
12．三个同学对问题“关于x的不等式x2 + 25 + |x3 – 5x2| ax在[ 1 , 12 ]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路。
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”。
乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”
丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是__________。
二．选择题（本大题共16分）
13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的（ ）
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件
15．若关于x的不等式( 1 + k2 )x k4 + 4的解集是M，则对任意实常数k，总有（ ）
(A)2 M , 0 M (B) 2 M , 0 M
(C) 2 M , 0 M (D) 2 M , 0 M
16．如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O。对于平面上任意一点M，若p , q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对( p , q )是点M的“距离坐标”。已知常数p ≥ 0 , q ≥ 0，给出下列三个命题：
①若p = q = 0，则“距离坐标”为( 0 , 0 )的点有且仅有1个。
②若pq = 0，且p + q 0，则“距离坐标”为( p , q )的点有且仅有2个。
③若pq 0，则“距离坐标”为( p , q )的点有且仅有4个。
上述命题中，正确命题的个数是（ ）
(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3
三．解答题（本大题86分）
17．（本小题满分12分）
求函数的值域和最小正周期。
18．（本小题满分12分）
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1°）?
19．（本小题满分14分）
在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形。∠DAB = 60°，对角线AC与BD相交于点O，PO 平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°。
(1)求四棱锥P-ABCD的体积；
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。
20．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2 = 2x相交于A , B两点。
(1)求证：“如果直线l过点T( 3 , 0 )，那么”是真命题；
(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。
21．（本小题满分16分）
已知有穷数列{an}共有2k项（整数k 2），首项a1 = 2。设该数列的前n项和为Sn，且an+1 = ( a – 1 )Sn + 2 ( n = 1 , 2 ,…, 2k – 1 )，其中常数a > 1。
(1)求证：数列{an}是等比数列；
(2)若，数列{bn}满足( n = 1 , 2 ,…, 2k )，求数列{bn}的通项公式；
(3)若(2)中的数列{bn}满足不等式++…++ 4，求k的值。
22．（本小题满分18分）
已知函数有如下性质：如果常数a > 0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数。
(1)如果函数( x > 0 )的值域为，求b的值；
(2)研究函数（常数c > 0）在定义域内的单调性，并说明理由；
(3)对函数和（常数a > 0）作出推广 ，使它们都是你所推广的函数的特例。研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）。
参
一．填空题：
1、； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、； 7、；
8、5 ； 9、； 10、36 ； 11、； 12、；
二．选择题：
13、C ； 14、A ； 15、A ； 16、D
三．解答题
17． [解]
∴ 函数的值域是,最小正周期是；
18． [解] 连接BC,由余弦定理得
BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10.
∵, ∴sin∠ACB=,
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
19． [解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,
于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面积为2.
∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.
（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、
OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立
空间直角坐标系.
在Rt△AOB中OA=,于是,点A、B、
D、P的坐标分别是A(0,－,0),
B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0,).
E是PB的中点,则E(,0,) 于是=(,0,),=(0, ,).
设的夹角为θ,有cosθ=,θ=arccos,
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos；
解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.
由E是PB的中点,得EF∥PA，
∴∠FED是异面直线DE与PA所成
角(或它的补角)，
在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP，
于是, 在等腰Rt△POA中，
PA=，则EF=.
在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=，
cos∠FED==
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.
20． [解]（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－). ∴=3；
当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，
由得
又 ∵，
∴，
综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；
(2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,
直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；
说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=－6，
或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线
AB过点(－1,0),而不过点(3,0).
21． (1) [证明] 当n=1时,a2=2a,则=a；
2≤n≤2k－1时, an+1=(a－1) Sn+2, an=(a－1) Sn－1+2,
an+1－an=(a－1) an, ∴=a, ∴数列{an}是等比数列.
(2) 解：由(1) 得an=2a, ∴a1a2…an=2a=2a=2,
bn= (n=1,2,…,2k).
（3）设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时, bn<；
当n≥k+1时, bn>.
原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－)
=(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)
==.
当≤4,得k2－8k+4≤0, 4－2≤k≤4+2,又k≥2,
∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.
22． [解]（1）函数y=x+ (x>0)的最小值是2，则2=6, ∴b=log29.
(2) 设0 当0 该函数在(－∞,－]上是减函数, 在[－,0)上是增函数； (3) 可以把函数推广为y= (常数a>0),其中n是正整数. 当n是奇数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－]上是增函数, 在[－,0)上是减函数； 当n是偶数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－]上是减函数, 在[－,0)上是增函数； F(x)= + = 因此F(x) 在 [,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数. 所以，当x=或x=2时，F(x)取得最大值()n+()n； 当x=1时F(x)取得最小值2n+1；下载本文
