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第二章过关测试卷

(100分，60分钟)

一、选择题（每题5分，共30分）

1.圆与直线相切于点A(3，1)，则直线的方程为(   )

A.        B. 

C.         D. 

2.已知直线的方程是y＝ax＋b，的方程是y＝bx－a(ab≠0，a≠b)，则如图1中，正确的是(   )

A           B         C          D

图1

3.过点(1，0)的直线与圆(x＋1)2＋(y-1)2＝4相交，截得的弦的中点M的轨迹是(   )

A.圆弧       B.圆        C.线段        D.直线

4.已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，交点为(1，p)，则m－n＋p的值是(   )

A.24          B.20          C.0           D.－4

5.〈2013·湖北重点中考〉已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(   )

A.          B.          C.或           D.或

6.已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有(   )

A.66条       B.72条        C.74条       D.7

二、填空题(每题6分，共24分)

7.直线(2λ＋1)x＋(λ－1)y＋1＝0(λ∈R)，恒过定点            ．

8.过直线x＋y－＝0上的点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是            ．

9.〈2013·苏州一模〉过直线：y＝2x上一点P作圆C：(x－8)2＋(y－1)2＝2的切线，，若，关于直线对称，则点P到圆心C的距离为            ．

10.〈安徽〉在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点.下列命题中正确的是             (写出所有正确命题的编号)．

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；

③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；

④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；

⑤存在恰经过一个整点的直线．

三、解答题(13题16分，其余每题15分，共46分)

11.△ABC的两条高所在直线的方程为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，且A(1，2)是其一个顶点．求BC边所在直线的方程．

12.已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0与x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求正方形的其他三边所在的直线方程.

13.〈2013·大连模拟〉已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1，1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．

(1)求圆M的方程；

(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．

参及点拨

一、1.D   点拨：由已知条件可得32＋12－3a+2＝0，解得a=4.此时圆x2＋y2－4x＋2＝0的圆心为C(2，0)，半径为，所以kAC=1.

则直线l的方程为y－1＝(x－3)，即得x＋y－4＝0.

2.A        点拨：直线l1的斜率为a，在y轴上的截距为b;直线l2的斜率为b，在y轴上的截距为－a.选项A中，由直线l1知由l2知即没有矛盾.其他选项都有矛盾.

3.A        点拨：定点A(1，0)，圆心C(－1，1)，设M(x，y)．∵△AMC为直角三角形，∴(x+1)2+(y－1)2+(x－1)2＋y2＝5.∴x2＋y2－y＝1.又中点M应在圆内，且两圆相交，∴轨迹为圆弧.

4.B        点拨：直线mx+4y－2=0与2x－5y+n＝0互相垂直，则有，m＝10.而交点为(1，p)，故∴因此m－n＋p＝20.

5.C        点拨：由题意及点到直线的距离公式得，解得或.

6.B        点拨：因为在圆x2＋y2＝50上，横、纵坐标都为整数的点一共有12个，即(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1).由经过其中任意两点的割线有12×(12×11)＝66(条)，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78(条).而方程ax＋by－1＝0表示的直线不过原点，上述7直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72(条)．故选B.

二、7.     点拨：将直线方程整理为x－y+1+λ(2x+y)=0.令解得∴直线恒过定点．

8.      点拨：如答图1，|OP|＝＝2.易得P为CD的中点，故P ．

    答图1                     答图2

9.     点拨：如答图2，根据题意得，∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.∴2∠2＋2∠3＝180°.∴∠2＋∠3＝90°.∴CP⊥l.∴点P到圆心C的距离等于C到l的距离d＝＝.

10.①③④⑤     点拨：①直线y＝x＋满足条件，正确．

②直线y＝x＋经过(－1，0)，不正确．

③设y＝kx＋b经过两个整点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b，y1－y2＝k(x1－x2－)＋b.需令∈Z.即有y＝kx＋b过整点(x1－x2－，y1－y2)．依此类推，可得无穷多个整点；反之明显成立，正确．

④由③知，需有∈Z.若b，k均为无理数，不妨令b＝2k=，则直线y＝x+仅过整点(－2，0)，不成立．正确．

⑤如y＝x，正确．

三、11.解：可以判断A不在两条高所在的直线上，不妨设AB，AC边上的高所在的直线方程分别为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，则AB，AC所在的直线方程分别为：y－2= (x－1)和y－2＝x－1，即3x＋2y－7＝0和y－x－1＝0.

由得B(7，－7)；

由得C(－2，－1)．

所以直线BC的方程为2x＋3y＋7＝0.

12.解：设与正方形一边所在的直线l:x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1:x＋3y＋c＝0.

由得正方形的中心坐标为P(－1，0)，由点P到两直线l，l1的距离相等，得，解得c＝－5(舍去)或c＝7，∴l1为x＋3y＋7＝0.又∵正方形另两边所在的直线与l垂直，∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.∵正方形中心到四条边的距离相等，∴，解得a＝9或a＝－3.同理可求b=9或b=－3.∴正方形的另外两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.∴正方形的其他三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.

13.解：(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，根据题意得：解得故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.

(2)因为四边形PAMB的面积S＝S△PAM＋S△PBM=|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|.又|AM|＝|BM|=2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|.而|PA|＝＝，即S＝2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可.即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝＝3.所以四边形PAMB面积的最小值为S＝2＝2=.下载本文