§7.1  直线的方程

1.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为+45°，则                                                            （     ）

A.0°≤＜180°                                    B.0°≤＜135°

C. 0°＜≤135°                                D. 0°＜＜135°

  答案  D

2.（2008·全国Ⅰ文）曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为                    （     ）

A.30°                        B.45°                C.60°                D.120°

答案  B

3.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为                        (      )

A.1                        B.4                    C.1或3                D.1或4

答案  A

4.过点P（-1，2）且方向向量为a=（-1，2）的直线方程为                            （     ）

A.2x+y=0                      B.x-2y+5=0               C.x-2y=0            D.x+2y-5=0

答案  A

5.(2009·株州模拟)一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为        .

答案  x+2y-2=0或2x+y+2=0

例1 已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）. 

求证：A、B、C三点在同一条直线上. 

证明 方法一 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， 

∴kAB==2,kBC==2，∴kAB=kBC， 

∴A、B、C三点共线. 

方法二 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， 

∴|AB|=2，|BC|=，|AC|=3， 

∴|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三点共线. 

方法三 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， 

∴=（2，4），=（1，2），∴=2. 

又∵与有公共点B，∴A、B、C三点共线. 

例2已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1).

试求：的最大值与最小值.

解  由的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：kPA≤k≤kPB,

由已知可得：A（1，1），B（-1，5），

∴≤k≤8，

故的最大值为8，最小值为.

例3 求适合下列条件的直线方程：

（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；

（2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.

解  （1）方法一  设直线l在x,y轴上的截距均为a,

若a=0，即l过点（0，0）和（3，2），

∴l的方程为y=x，即2x-3y=0.

若a≠0，则设l的方程为，

∵l过点（3，2），∴，

∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0,

综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.

方法二  由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0,

设直线方程为y-2=k(x-3),

令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,

由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,

∴直线l的方程为：

y-2=-（x-3）或y-2= (x-3),

即x+y-5=0或2x-3y=0.

（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为，

则所求直线的倾斜角为2. 

∵tan=3,∴tan2==-.

又直线经过点A（-1，-3），

因此所求直线方程为y+3=- (x+1),

即3x+4y+15=0.

例4 （12分）过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：

（1）△AOB面积最小时l的方程；

（2）|PA|·|PB|最小时l的方程.

解  方法一  设直线的方程为(a＞2,b＞1),

由已知可得.                                                            2分

（1）∵2≤=1，∴ab≥8.                                                

∴S△AOB=ab≥4.                                                             4分

当且仅当==,即a=4,b=2时，S△AOB取最小值4，此时直线l的方程为=1,即x+2y-4=0. 6分

（2）由+=1,得ab-a-2b=0,                                                    

变形得(a-2)(b-1)=2,

|PA|·|PB|

=·

=

≥.                                                            10分

当且仅当a-2=1,b-1=2,

即a=3,b=3时，|PA|·|PB|取最小值4.

此时直线l的方程为x+y-3=0.                                                    12分

方法二  设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k＜0),

则l与x轴、y轴正半轴分别交于

A、B（0，1-2k）.

（1）S△AOB=（1-2k）

=×

≥（4+4）=4.

当且仅当-4k=-,即k=-时取最小值，此时直线l的方程为y-1=- (x-2),即x+2y-4=0.        6分

·

（2）|PA|·|PB|=

=≥4,

当且仅当=4k2,即k=-1时取得最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.            12分

1.设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 证明 ∵A、B、C三点共线，∴kAB=kAC， 

∴，化简得a2+ab+b2=a2+ac+c2， 

∴b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0， 

∵a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0.

2.（2009·宜昌调研）若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值为            （    ） 

 A.                 B.                  C.                     D. 

答案 D  

3.（1）求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程；

（2）过点A（8，6）引三条直线l1,l2,l3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l2的方程是y=x,求直线l1,l3的方程.

解  （1）①当直线l在x、y轴上的截距都为零时，

设所求的直线方程为y=kx,

将（-5，2）代入y=kx中，

得k=-，此时，直线方程为y=-x,

即2x+5y=0.

②当横截距、纵截距都不是零时，

设所求直线方程为=1，

将（-5，2）代入所设方程，

解得a=-，

此时，直线方程为x+2y+1=0.

综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.

（2）设直线l2的倾斜角为,则tan=.

于是tan==,

tan2=,

所以所求直线l1的方程为y-6= (x-8),

即x-3y+10=0,l3的方程为y-6= (x-8),

即24x-7y-150=0.

4.直线l经过点P（3，2）且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，△OAB的面积为12，求直线l的方程.

解  方法一  设直线l的方程为（a＞0,b＞0）,

∴A(a,0),B(0,b),

∴解得

∴所求的直线方程为=1,

即2x+3y-12=0.

方法二  设直线l的方程为y-2=k(x-3),

令y=0,得直线l在x轴上的截距a=3-,

令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3k.

∴(2-3k)=24.解得k=-.

∴所求直线方程为y-2=- (x-3).

即2x+3y-12=0.

一、选择题

1.直线xcos+y-1=0 (∈R)的倾斜角的范围是                                （     ）

A.                                     B.                  

C.                                     D. 

答案 D  

2.已知直线l过点（a,1)，（a+1,tan +1),则                                    （     ） 

 A.一定是直线l的倾斜角 

 B.一定不是直线l的倾斜角 

 C.不一定是直线l的倾斜角 

 D.180°-一定是直线l的倾斜角 

答案 C  

3.已知直线l经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（      ）

A.                                     B.                  

C.                                     D. 

答案  B

4.过点（1，3）作直线l，若经过点（a，0）和（0，b），且a∈N*，b∈N*，则可作出的l的条数为（    ） A.1                    B.2                      C.3                     D.4 

答案 B  

5.经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（    ） 

 A.x+2y-6=0                                    B.2x+y-6=0 

 C.x-2y+7=0                                    D.x-2y-7=0 

答案 B  

6.若点A（2，-3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，则相异两点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是                                                        （     ） 

 A.2x-3y+1=0                                        B.3x-2y+1=0 

 C.2x-3y-1=0                                         D.3x-2y-1=0 

答案 A  

二、填空题

7.（2008·浙江理，11）已知a＞0,若平面内三点A（1，-a），B（2，a2），C（3，a3）共线，则a=          .

答案  1+

8.已知两点A（-1，-5），B（3，-2），若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是        .

答案  

三、解答题

9.已知线段PQ两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，求m的取值范围. 

解  方法一  直线x+my+m=0恒过A（0，-1）点.

kAP==-2，kAQ==，

则-≥或-≤-2，

∴-≤m≤且m≠0.

又∵m=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点，

∴所求m的取值范围是-≤m≤.

方法二  过P、Q两点的直线方程为

y-1=(x+1),即y=x+,

代入x+my+m=0,

整理，得x=-.

由已知-1≤-≤2, 

解得-≤m≤.

10.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

（1）过定点A（-3，4）；（2）斜率为.

解  （1）设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是--3，3k+4，

由已知，得（3k+4）（+3）=±6，

解得k1=-或k2=-.

直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.

（2）设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,

由已知，得|-6b·b|=6，∴b=±1.

∴直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.

11.已知两点A（-1，2），B（m，3）.

（1）求直线AB的方程；

（2）已知实数m∈，求直线AB的倾斜角的取值范围.

解  （1）当m=-1时，直线AB的方程为x=-1,

当m≠-1时，直线AB的方程为y-2= (x+1).

（2）①当m=-1时， =;

②当m≠-1时，m+1∈，

∴k=∈（-∞，-］∪，

∴∈.

综合①②知，直线AB的倾斜角∈.

12.过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l1：2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程.

解  方法一  设点A（x，y）在l1上，

由题意知，∴点B（6-x，-y），

解方程组，

得，∴k=.

∴所求的直线方程为y=8(x-3),

即8x-y-24=0.

方法二  设所求的直线方程为y=k(x-3),

则,解得,

由,解得.

∵P(3,0)是线段AB的中点，

∴yA+yB=0，即+=0，

∴k2-8k=0，解得k=0或k=8.

又∵当k=0时，xA=1,xB=-3,

此时,∴k=0舍去，

∴所求的直线方程为y=8(x-3),

即8x-y-24=0.

§7.2两直线的位置关系

1.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么实数a等于                （    ） 

A.-3                B.-6                C.-                    D. 

答案 B  

2.已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为,那么m的值为                 （    ） 

A.-或-3                                B. 

C.-或3                                D.或-3 

答案 C 

3.已知过点A（-2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y=1平行，则m的值为（    ） 

 A.0                 B.-8               C.2                        D.10 

答案 B  

4.已知直线l1：y=2x+3，直线l2与l1关于直线y=x对称，直线l3⊥l2，则l3的斜率为        （     ） 

 A.              B.-                    C.-2                     D.2 

答案 C  

5.（2009·岳阳模拟）若直线l经过点（a-2，-1）和（-a-2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-的直线垂直，则实数a的值为      .

答案  -

例1 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,

（1）试判断l1与l2是否平行；

（2）l1⊥l2时，求a的值.

解  （1）方法一  当a=1时，l1:x+2y+6=0,

l2:x=0,l1不平行于l2;

当a=0时，l1:y=-3,

l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;                                                        

当a≠1且a≠0时，两直线可化为

l1:y=--3,l2:y=-(a+1),

l1∥l2，解得a=-1,                                                  

综上可知，a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.                                           

方法二  由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0，

由A1C2-A2C1≠0，得a(a2-1)-1×6≠0,                                                    

∴l1∥l2                                        

a=-1,                                                         

故当a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.                                        

（2）方法一  当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,

l1与l2不垂直，故a=1不成立.                                                        当a≠1时，l1:y=-x-3,

l2:y=-(a+1),                                                                由·=-1a=.                                                          

方法二  由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=.                                    

例2 求过两直线l1:x+y+1=0,l2:5x-y-1=0的交点，且与直线3x+2y+1=0的夹角为的直线方程. 

解 设所求直线方程为x+y+1+ (5x-y-1)=0, 

即(1+5)x+(1-)y+1-=0. 

因为所求直线与直线3x+2y+1=0的夹角为, 

所以tan=

解得=-. 

∴所求直线方程为x+5y+5=0. 

又直线l2:5x-y-1=0与直线3x+2y+1=0的夹角满足tan=

∴=，故直线l2也是符合条件的一解. 

综上所述，所求直线方程为 

x+5y+5=0或5x-y-1=0. 

例3 （12分）已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.

解  方法一  若直线l的斜率不存在，

则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是

A（3，-4），B（3，-9），

截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.                                            4分

若直线l的斜率存在时，

则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,

分别与直线l1,l2的方程联立，

由,

解得A.                                                            8分

由,解得B, 

由两点间的距离公式，得

+=25，

解得k=0,即所求直线方程为y=1.                                                    10分

综上可知，直线l的方程为x=3或y=1.                                                12分

方法二  设直线l与l1,l2分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+y1+1=0,x2+y2+6=0,

两式相减，得(x1-x2)+(y1-y2)=5                    ①                                 6分

又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25                            ②

联立①②可得或,                                            10分

由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°，

故所求的直线方程为x=3或y=1.                                                    12分

例4 求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.

解  方法一  由

知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），

∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2),

即kx-y+2k-1=0.

在直线l上任取一点（1，2），

由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，

由点到直线的距离公式得

=，

解得k= (k=2舍去)，

∴直线l2的方程为x-2y=0.

方法二  设所求直线上一点P（x,y）,

则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.

由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点

P2在直线l上.

∴，变形得,

代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,

整理得x-2y=0.

所以所求直线方程为x-2y=0.

1.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时，l1与l2:

（1）相交？（2）平行？（3）垂直？  

解  当m=-5时，显然，l1与l2相交；

当m≠-5时，易得两直线l1和l2的斜率分别为

k1=-，k2=-，

它们在y轴上的截距分别为b1=，b2=.

（1）由k1≠k2,得-≠-，

m≠-7且m≠-1.

∴当m≠-7且m≠-1时，l1与l2相交.

（2）由,得，m=-7.

∴当m=-7时，l1与l2平行.

（3）由k1k2=-1,

得-·=-1，m=-.

∴当m=-时，l1与l2垂直.

2.某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为,tan=.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）？ 

解 如图所示，建立平面直角坐标系， 

则A（200，0），B（0，220），C（0，300）. 

直线l的方程为y=(x-200)tan,则y=. 

设点P的坐标为（x,y），则P（x,）(x＞200). 

由经过两点的直线的斜率公式 

kPC=, 

kPB=. 

由直线PC到直线PB的角的公式得 

 tan∠BPC=

= (x＞200). 

要使tan∠BPC达到最大，只需x+-288达到最小，由均值不等式 

x+-288≥2-288, 

当且仅当x=时上式取得等号. 

故当x=320时，tan∠BPC最大. 

这时，点P的纵坐标y为y==60. 

由此实际问题知0＜∠BPC＜,所以tan∠BPC最大时，∠BPC最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大.

3.已知三条直线l1：2x-y+a=0（a＞0）,直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是.

(1)求a的值；

(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:

①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶.若能,求P点坐标;若不能,说明理由.

解  (1)l2即为2x-y-=0,

∴l1与l2的距离d=,

∴=,∴=,

∵a＞0,∴a=3.

(2)假设存在这样的P点.

设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x-y+C=0上，

且=，即C=或C=，

∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0；

若P点满足条件③，由点到直线的距离公式=×，

即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，

∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0；

由于P点在第一象限，∴3x0+2=0不满足题意.

联立方程，

解得(舍去).

由解得

∴假设成立，点P即为同时满足三个条件的点.

4.光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.

解  方法一  由

得

∴反射点M的坐标为（-1,2）.

又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设P关于直线l的对称点，由P⊥l可知,

kPP′=-=.

而PP′的中点Q的坐标为,

Q点在l上，∴3·-2·+7=0.

由得

根据直线的两点式方程可得l的方程为

29x-2y+33=0.

方法二  设直线x-2y+5=0上任意一点P（x0,y0）关于直线l的对称点为P′(x,y),

则,

又PP′的中点Q在l上，

∴3×-2×+7=0,

由

可得P点的坐标为

x0=，y0=，

代入方程x-2y+5=0中，

化简得29x-2y+33=0,

即为所求反射光线所在的直线方程.

一、选择题

1.（2008·全国Ⅱ文）原点到直线x+2y-5=0的距离为                                （    ）

A.1                B.                C.2                    D. 

答案  D

2.A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为                                                                    （    ）

A.2x-y-1=0                                  B.x+y-5=0                

C.2x+y-7=0                                  D.2y-x-4=0

答案  B

3.已知直线l1的方向向量a=(1,3),直线l2的方向向量b=(-1,k),若直线l2经过点（0，5），且l1⊥l2，则直线l2的方程为                                                                （     ）

A.x+3y-5=0                                  B.x+3y-15=0                

C.x-3y+5=0                                  D.x-3y+15=0

答案  B

4.已知三条直线l1:y=x-1,l2:y=1,l3:x+y+1=0,l1与l2的夹角为,l2与l3的夹角为，则+的值为（   ） A.75°              B.105°              C.165°                D.195°  

答案 B  

5.曲线f（x，y）=0关于直线x-y-2=0对称的曲线方程是                                （   ） 

 A.f(y+2,x)=0                              B.f(x-2,y)=0 

 C.f(y+2,x-2)=0                              D.f(y-2,x+2)=0 

答案 C

6.设△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B，∠C的平分线方程分别为x=0，y=x，则直线BC的方程是（   ）

A.y=2x+5                                   B.y=2x+3

C.y=3x+5                                    D.y=-x+ 

答案 A

二、填空题

7.设直线l经过点A（-1，1），则当点B（2，-1）与直线l的距离最远时，直线l的方程为        . 

答案  3x-2y+5=0

8.直线2x+3y-6=0关于点M（1，-1）对称的直线方程是       .

答案  2x+3y+8=0

三、解答题

9.已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值，使得： 

（1）l1与l2相交；（2）l1⊥l2;(3)l1∥l2;(4)l1,l2重合. 

解（1）由已知1×3≠m(m-2), 

即m2-2m-3≠0, 

解得m≠-1且m≠3. 

故当m≠-1且m≠3时，l1与l2相交. 

（2）当1·（m-2）+m·3=0，

即m=时，l1⊥l2. 

（3）当=≠,

即m=-1时，l1∥l2. 

（4）当==， 

即m=3时，l1与l2重合. 

10.已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、C、D按逆时针方向排列）.

解  设所求点D的坐标为（x，y），如图所示，由于kAB=3，kBC=0，

∴kAB·kBC=0≠-1，

即AB与BC不垂直，故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.

（1）若CD是直角梯形的直角边，则BC⊥CD，AD⊥CD，

∵kBC=0，∴CD的斜率不存在，从而有x=3.

又kAD=kBC，∴ =0，即y=3.

此时AB与CD不平行.

故所求点D的坐标为（3，3）.

（2）若AD是直角梯形的直角边，

则AD⊥AB，AD⊥CD，

kAD=，kCD=.

由于AD⊥AB，∴·3=-1.

又AB∥CD，∴ =3.

解上述两式可得

此时AD与BC不平行.

故所求点D的坐标为,

综上可知，使ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为（3，3）或.

11.一条光线经过P（2，3）点，射在直线l:x+y+1=0上，反射后穿过Q（1，1）.

（1）求光线的入射方程；

（2）求这条光线从P到Q的长度.

解  （1）设点为关于直线l的对称点且交l于M点，∵kl=-1，∴kQQ′=1.

∴所在直线方程为y-1=1·（x-1）

即x-y=0.

由

解得l与QQ′的交点M的坐标为.

又∵M为QQ′的中点，

由此得.

解之得∴（-2，-2）.

设入射线与l交点N，且P，N，共线.

则P（2，3），（-2，-2），得入射线方程为

，即5x-4y+2=0.

(2)∵l是QQ′的垂直平分线，因而|NQ|=.

∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=

==,

即这条光线从P到Q的长度是.

12.已知直线l经过两条直线l1:x+2y=0与l2:3x-4y-10=0的交点，且与直线l3:5x-2y+3=0的夹角为,求直线l的方程. 

解 由

解得l1和l2的交点坐标为（2，-1）. 

设所求直线l的方程为y+1=k(x-2). 

又,由l与l3的夹角为

得tan=, 

即1=或k=. 

故所求的直线l的方程为 

y+1=- (x-2)或y+1= (x-2), 

即7x+3y-11=0或3x-7y-13=0.

§7.3 简单的线性规划

基础自测

1.已知点A（1，-1），B（5，-3），C（4，-5），则表示△ABC的边界及其内部的约束条件是        . 

答案   

2.（2008·天津理，2）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=5x+y的最大值为（    ）   

A.2                  B.3                     C.4                 D.5 

答案 D  

3.若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是               （    ） 

  A.m<-5或m＞10                                B.m=-5或m=10 

  C.-5＜m＜10                                D.-5≤m≤10 

答案 C  

4.（2008·北京理，5）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是                （    ） 

 A.0                     B.1                     C.                 D.9 

答案 B  

5.（2008·福建理，8）若实数x、y满足则的取值范围是                （    ） 

 A.（0，1）                B.（0，1］            C.（1，+∞）            D.［1，+∞） 

答案 C  

例1 画出不等式组表示的平面区域,并回答下列问题: 

(1)指出x,y的取值范围; 

(2)平面区域内有多少个整点? 

解 (1)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合.x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合, x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合. 

_______________________________________________________________________________________________________________________________则U_____________________________________________________________________________________________________________________________.                           ______________________________________________________________________________________________________________________所以,不等式组.

表示的平面区域如图所示. 

结合图中可行域得

x,y［-3,8］. 

(2)由图形及不等式组知

当x=3时,-3≤y≤8,有12个整点; 

当x=2时,-2≤y≤7,有10个整点; 

当x=1时,-1≤y≤6,有8个整点; 

当x=0时，0≤y≤5，有6个整点； 

当x=-1时,1≤y≤4,有4个整点; 

当x=-2时,2≤y≤3,有2个整点; 

∴平面区域内的整点共有 

2+4+6+8+10+12=42(个). 

例2 （2008·湖南理，3）已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是        （    ） 

 A.2                 B.5                 C.6                 D.8 

答案 C 

例3 （12分）某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品

1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？ 

解 设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，                    1分 

则线性约束条件为                                                4分 

目标函数为z=7x+12y,                                                         6分 

作出可行域如图，                                                             8分 

作出一组平行直线7x+12y=t,当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的交点A（20，24）时，利润最大.                                                                 10分 

即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，zmax=7×20+12×24=428（万元）. 

答 每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大.                     12分 

1.（2008·浙江理，17）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于        . 

答案  1 

2.（2008·全国Ⅰ理，13）若x，y满足约束条件则z=2x-y的最大值为        . 

答案  9

3.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？ 

解 依题意设每星期生产x把椅子，y张书桌， 

那么利润p=15x+20y. 

其中x,y满足条件.

 即点（x,y）的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x+8y=8 000 (即AB)，2x+y=1 300(即BC)，x=0(即OA)和y=0(即OC）. 

对于某一个确定的=满足=15x+20y,且点（x,y)属于

解x,y就是一个能获得元利润的生产方案. 

对于不同的p,p=15x+20y表示一组斜率为-的平行线，且p越大，相应的直线位置越高；p越小，相应的直线位置越低.按题意，要求p的最大值，需把直线p=15x＋20y尽量地往上平移，又考虑到x，y的允许范围， 

当直线通过B点时，处在这组平行线的最高位置，此时p取最大值. 

由,得B（200，900）， 

当x=200,y=900时，p取最大值， 

即pmax=15×200+20×900=21 000, 

即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元.  

一、选择题 

1.（2008·全国Ⅱ理，5）设变量x,y满足约束条件:则z=x-3y的最小值为          （     ） 

 A.-2                    B.-4                 C.-6                     D.-8 

答案 D

2.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是               (      ) 

 A.a≥                                     B.0＜a≤1 

 C.1≤a≤                                       D.0＜a≤1或a≥ 

答案 D  

3.已知平面区域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则m等于                （      ） 

 A.-2             B.-1                 C.1                    D.4 

答案 C  

4.（2008·山东理，12）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M,使函数y=ax（a＞0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是                                        （     ） 

 A.［1,3］             B.［2,］            C.［2,9］             D.［,9］ 

答案 C  

5.（2009·武汉模拟）如果实数x，y满足目标函数z=kx+y的最大值为12，最小值为3，那么实数k的值为                                                    （     ） 

 A.2                B.-2                 C.                 D.不存在 

答案 A 

6.（2007·江苏，10）在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为                                        （     ） 

 A.2                B.1                    C.                     D. 

答案 B  

二、填空题

7.（2008·安徽理，15）若A为不等式组，表示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为          . 

答案  

8.设集合A={(x,y)|y≥|x-2|,x≥0},B={(x,y)|y≤-x+b},A∩B≠. 

(1)b的取值范围是       ； 

（2）若(x,y)∈A∩B,且x+2y的最大值为9,则b的值是        . 

答案 （1）［2,+∞) （2）  

三、解答题

9.已知实数x、y满足，试求z=的最大值和最小值. 

解  由于z==， 

所以z的几何意义是点（x,y）与点M（-1，-1）连线的斜率，因此的最值就是点（x，y）与点

M（-1，-1）连线的斜率的最值， 

结合图可知：直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即zmax=kMB=3，此时x=0，y=2； 

zmin=kMC=，此时x=1，y=0.

10.已知变量x,y满足的约束条件为若目标函数z=ax+y(其中a＞0)仅在点（3，0）处取得最大值，求a的取值范围. 

解 依据约束条件，画出可行域. 

∵直线x+2y-3=0的斜率k1=-,目标函数z=ax+y (a＞0)对应直线的斜率k2=-a,若符合题意，则须k1＞k2,即-＞-a,得a＞.

11.两种大小不同的钢板可按下表截成A,B,C三种规格成品: 

解 设需要第一种钢板x张，第二种钢板y张，钢板总数为z张，z=x+y, 

约束条件为： 

作出可行域如图所示： 

令z=0，作出基准直线l:y=-x,平行移动直线l发现在可行域内，经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A可使z取最小，由于都不是整数，而最优解（x,y）中，x,y必须都是整数，可行域内点A不是最优解； 

通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与A点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和C（4，8），它们都是最优解. 

答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种： 

第一种截法是截第一种钢板3张，第二种钢板9张； 

第二种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张； 

两种方法都最少要截两种钢板共12张.

12.在R上可导的函数f(x)= x3+ax2+2bx+c,当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取得极小值,求点(a,b)对应的区域的面积以及的取值范围.

解 函数f(x)的导数为f′(x)=x2+ax+2b,当x∈(0,1)时,f(x)取得极大值,当x∈(1,2)时,f(x)取得极小值,则方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数f′(x)=x2+ax+2b的图象与方程x2+ax+2b=0根的分布之间的关系可以得到

在aOb平面内作出满足约束条件的点(a,b)对应的区域为△ABD(不包括边界),

如图阴影部分,其中点A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0), 

△ABD的面积为 

S△ABD=|BD|×h= (h为点A到a轴的距离). 

点C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为, 

显然 (kCA,kCB), 

即

§7.4 曲线与方程

基础自测

1.已知坐标满足方程F(x，y)=0的点都在曲线C上，那么                            （     ） 

 A.曲线C上的点的坐标都适合方程F（x，y）=0 

 B.凡坐标不适合F（x，y）=0的点都不在C上 

 C.不在C上的点的坐标有些适合F（x，y）=0，有些不适合F（x，y）=0 

 D.不在C上的点的坐标必不适合F（x，y）=0 

答案 D  

2.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是                        （     ） 

 A.椭圆                                            B.AB所在的直线 

 C.线段AB                                         D.无轨迹 

答案 C  

3.动点P到两坐标轴的距离之和等于2，则点P的轨迹所围成的图形面积是            （     ） 

 A.2                     B.4                     C.8                     D.不存在 

答案 C  

4.（2008·北京理，4）若点P到直线x=-1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（     ） A.圆                                         B.椭圆

 C.双曲线                                     D.抛物线 

答案 D  

5.已知直线l的方程是f（x，y）=0，点M（x0，y0）不在l上，则方程f（x，y）-f（x0，y0）=0表示的曲线是                                                                       （     ） 

 A.直线l                                            B.与l垂直的一条直线 

 C.与l平行的一条直线                                D.与l平行的两条直线 

答案 C  

例1 如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程. 

解 设点M的坐标为（x,y）,

∵M是线段AB的中点， 

∴A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）. 

∴=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）. 

由已知·=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0， 

即x+2y-5=0. 

∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0. 

例2（5分）在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B,C且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是                                                （     ） 

 A. =1 (y≠0)                            B. =1 (x≠0) 

 C. =1（y≠0）的左支                      D. =1（y≠0)的右支 

答案 D  

例3 如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，

且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程. 

解 设AB的中点为R，坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x，y）， 

则在Rt△ABP中，

|AR|=|PR|， 

又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有 

 Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（）. 

又|AR|=|PR|=， 

所以有（x1-4）2+=36-（）. 

即-4x1-10=0. 

因为R为PQ的中点， 

所以x1=，y1=. 

代入方程-4x1-10=0，得 

·-10=0. 

整理得x2+y2=56. 

这就是Q点的轨迹方程. 

1.已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足||||+·=0，求动点P（x，y）的轨迹方程. 

解 由题意： =（4，0），=（x+2,y）, 

 =（x-2,y）,

∵||||+·=0， 

∴·+（x-2）·4+y·0=0， 

两边平方，化简得y2=-8x.

2.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 

解 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得 

|MC1|-|AC1|=|MA|， 

|MC2|-|BC2|=|MB|. 

因为|MA|=|MB|， 

所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2. 

这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.

根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，到C1的距离小），这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为x2-=1 (x≤-1).

3.（2009·宜昌模拟）设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且=2，⊥，当点P

在y轴上运动时，求点N的轨迹方程. 

解 设M（x0，0），P（0，y0），N（x，y）， 

由=2得（x-x0，y）=2（-x0，y0）， 

∴即

∵⊥,=(x0,-y0), =(1,-y0), 

∴(x0,-y0)·（1，-y0）=0,∴x0+=0. 

∴-x+=0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.

一、选择题 

1.方程x2+y2=1 (xy＜0)的曲线形状是                                            （     ） 

答案 C

2.已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于                                                                    （     ） 

 A.                 B.4                    C.8                 D.9 

答案 B  

3.长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动， =2，则点C的轨迹是（     ） 

 A.线段                 B.圆                     C.椭圆                 D.双曲线 

答案 C  

4.平面直角坐标系中，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足=λ1+λ2（O为原点），其中λ1，λ2∈R，且λ1+λ2=1，则点C的轨迹是                                （     ） 

 A.直线                   B.椭圆                 C.圆                    D.双曲线 

答案 A  

5.（2008·成都质检）F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从任一焦点向△F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为                                    （     ） 

 A.圆                 B.椭圆                 C.双曲线              D.抛物线 

答案 A 

6.（2008·潍坊模拟）一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一个定点，点A是圆周上一动点，把

纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨

迹为                                                                （     ） 

A.椭圆                 B.双曲线                 C.抛物线                 D.圆 

答案 A  

二、填空题 

7.已知△ABC的顶点B（0，0），C（5，0），AB边上的中线长|CD|=3，则顶点A的轨迹方程为      . 

答案  (x-10)2+y2=36 (y≠0)  

8.平面上有三点A（-2，y），B（0，），C（x，y），若⊥，则动点C的轨迹方程为        . 

答案  y2=8x 

三、解答题 

9.如图所示，已知点C的坐标是（2，2），过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的

直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程. 

解 方法一（参数法）：设M的坐标为（x,y）. 

若直线CA与x轴垂直，则可得到M的坐标为（1，1）. 

若直线CA不与x轴垂直，设直线CA的斜率为k，则直线CB的斜率为-，故直线CA方程为：y=k(x-2)+2,

令y=0得x=2-,则A点坐标为. 

CB的方程为：y=- (x-2)+2,令x=0,得y=2+， 

则B点坐标为，由中点坐标公式得M点的坐标为

                                           ①

消去参数k得到x+y-2=0 (x≠1), 

点M（1，1）在直线x+y-2=0上， 

综上所述，所求轨迹方程为x+y-2=0. 

方法二 （直接法）设M（x，y），依题意A点坐标为（2x,0）,B点坐标为（0，2y）. 

∵|MA|=|MC|，∴化简得x+y-2=0. 

方法三 （定义法）依题意|MA|=|MC|=|MO|, 

即:|MC|=|MO|,所以动点M是线段OC的中垂线，故由点斜式方程得到：x+y-2=0.

10.如图所示，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|=2a（a＞0）,|CD|=2b (b＞0)，动点P满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.求动点P的轨迹方程. 

解 以O为坐标原点，直线AB、CD分别为x轴、y轴建立直角坐标系， 

则A（-a，0），B（a，0），C（0，-b），D（0，b）, 

设P（x，y），由题意知|PA|·|PB|=|PC|·|PD|， 

∴· 

=·, 

化简得x2-y2=. 

故动点P的轨迹方程为x2-y2=.

11.已知两条直线l1:2x-3y+2=0和l2:3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都动）与l1、l2都相交，且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24,求圆心的轨迹方程. 

解 设动圆的圆心为M(x,y),半径为r,点M到直线l1,l2的距离分别为d1和d2. 

由弦心距、半径、半弦长间的关系得， 

即 

消去r得动点M满足的几何关系为=25, 

即=25. 

化简得（x+1）2-y2=65. 

此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程.

12.已知椭圆=1上任意一点P，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且=2，点M的轨迹为曲线E. 

（1）求曲线E的方程； 

（2）若过定点F（0，2）的直线l交曲线E于不同的两点G，H（点G在点F，H之间），且满足=2，求直线l的方程. 

解 （1）设M（x,y）,P(x0,y0), 

∵=2，∴ 

将其代入椭圆方程得=1 

得曲线E的方程为： +y2=1.  

(2)设G（x1，y1）、H（x2，y2）， 

∵=2，∴x2=2x1                                                    ① 

依题意，当直线l斜率不存在时，G（0，1），H（0，-1），不满足=2.故设直线l:y=kx+2,代入曲线E的方程并整理得（1+2k2）x2+8kx+6=0,                                         （*） 

∴x1+x2=-,x1·x2=                                                     ② 

联立①②解得k=±,此时（*）中Δ＞0. 

所以直线l的方程为：y=±x+2.

§7.5圆的方程

基础自测

1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是                              （      ） 

 A.a＜-2或a＞                                B.-＜a＜0 

 C.-2＜a＜0                                 D.-2＜a＜ 

答案 D  

2.（2009·河南新郑模拟）圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a、b∈R）对称，则ab的取值范围是                                                                      （      ） 

 A.                B.                C.             D. 

答案 A 

3.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是                （      ） 

 A.（x-3）2+(y+1)2=4                             B.(x+3)2+(y-1)2=4 

 C.（x-1）2+(y-1)2=4                             D.(x+1)2+(y+1)2=4 

答案 C  

4.以点（2，-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为                         （      ） 

 A.(x-2)2+(y+1)2=3                            B.(x+2)2+(y-1)2=3 

 C.(x-2)2+(y+1)2=9                                 D.(x+2)2+(y-1)2=9 

答案 C  

5.（2009·宜昌模拟）直线y=ax+b通过第一、三、四象限，则圆（x+a）2+(y+b)2=r2 (r＞0)的圆心位于（    ） A.第一象限                                     B.第二象限 

 C.第三象限                                    D.第四象限 

答案 B  

例1  已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（    ） A.x2+y2-2x-3=0                                     B.x2+y2+4x=0 

 C.x2+y2+2x-3=0                                    D.x2+y2-4x=0 

答案 D  

例2  已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径. 

解 方法一  将x=3-2y, 

代入方程x2+y2+x-6y+m=0, 

得5y2-20y+12+m=0. 

设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件： 

y1+y2=4,y1y2=

∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0. 

而x1=3-2y1,x2=3-2y2. 

∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2. 

∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为,半径r=. 

方法二 如图所示，设弦PQ中点为M， 

∵O1M⊥PQ，∴. 

∴O1M的方程为:y-3=2, 

即：y=2x+4. 

由方程组 

解得M的坐标为（-1，2）. 

则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2. 

∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上. 

∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2. 

在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2. 

∴(3-2)2+5= 

∴m=3.∴半径为,圆心为. 

方法三 设过P、Q的圆系方程为 

x2+y2+x-6y+m+ (x+2y-3)=0. 

由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上. 

∴m-3=0，即m=3. 

∴圆的方程可化为 

x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0 

即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0. 

∴圆心M，又圆在PQ上. 

∴-+2（3-）-3=0，

∴=1，∴m=3. 

∴圆心为，半径为. 

例3 （12分）已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. 

（1）求y-x的最大值和最小值； 

（2）求x2+y2的最大值和最小值. 

解 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b=-2±.                                      5分

所以y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.                                      6分

（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.                                                               8分 

又圆心到原点的距离为=2， 

所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4， 

x2+y2的最小值是（2-）2=7-4.                                              12分 

1.（2008·山东文，11）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是                                                         (      ) 

  A.（x-3）2+(y-)2=1                                B.(x-2)2+(y-1)2=1 

  C.(x-1)2+(y-3)2=1                                D. +(y-1)2=1 

答案 B  

2.已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R). 

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交； 

（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程. 

（1）证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0, 

即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点. 

两方程联立，解得交点为（3，1）， 

又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,

∴点（3，1）在圆内部， 

∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交. 

（2）解 从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得

|AB|=2=

此时，kt=-,从而kt=-=2. 

∴l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.

3.已知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点. 

（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值； 

（2）求x-2y的最大值和最小值； 

（3）求的最大值和最小值. 

解 （1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为 

d=. 

∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为 

d+r=+1=，最小值为d-r=-1=. 

（2）设t=x-2y,  

则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点. 

∴≤1.∴--2≤t≤-2， 

∴tmax=-2，tmin=-2-. 

（3）设k=， 

则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点， 

∴≤1.∴≤k≤, 

∴kmax=，kmin=.

一、选择题 

1.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为                                （     ） 

 A.2                B.                 C.1                 D. 

答案 D  

2.两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆（x-1）2+(y-1)2=4的内部，则实数a的取值范围是（     ） 

 A.-＜a＜1                             B.a＞1或a＜- 

 C.-≤a＜1                             D.a≥1或a≤- 

答案 A  

3.已知A（-2，0），B（0，2），C是圆x2+y2-2x=0上任意一点，则△ABC面积的最大值是（      ） 

 A.3+                 B.3-                     C.6                 D.4 

答案 A  

4.圆心在抛物线y2=2x上且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是           （      ） 

 A.x2+y2-x-2y-=0                                 B.x2+y2+x-2y+1=0 

 C.x2+y2-x-2y+1=0                                  D.x2+y2-x-2y+=0 

答案 D  

5.若直线2ax-by+2=0 (a＞0,b＞0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则的最小值是（      ） 

 A.                     B.2                        C.4                 D. 

答案 C  

6.从原点O向圆：x2+y2-6x+=0作两条切线，切点分别为P、Q，则圆C上两切点P、Q间的劣弧长为（      ） A.                 B.                         C.                 D. 

答案 B  

二、填空题 

7.（2008·四川理，14）已知直线l：x-y+4=0与圆C：（x-1）2+（y-1）2=2，则C上各点到l距离的最小值为         . 

答案   

8.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为          . 

答案  （x+2）2+ 

三、解答题 

9.根据下列条件求圆的方程： 

（1）经过坐标原点和点P（1,1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上； 

（2）已知一圆过P（4,-2）、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程. 

解 （1）显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为： 

,即x+y-1=0. 

解方程组得圆心C的坐标为（4，-3）. 

又圆的半径r=|OC|=5, 

所以所求圆的方程为（x-4）2+(y+3)2=25. 

（2）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0                                ① 

将P、Q点的坐标分别代入①得：  

令x=0，由①得y2+Ey+F=0                                       ④ 

由已知|y1-y2|=4，其中y1、y2是方程④的两根， 

所以（y1-y2）2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48                                ⑤ 

解②、③、⑤组成的方程组得 

D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4， 

故所求圆的方程为 

x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.

10.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值. 

解  将圆方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为C（1，1），半径r=1,如图，由于四边形PACB的面积等于 Rt△PAC面积的2倍，所以SPACB=2××|PA|×r=. 

∴要使四边形PACB面积最小,只需|PC|最小. 

当点P恰为圆心C在直线3x+4y+8=0上的正射影时, 

|PC|最小,由点到直线的距离公式,得 

|PC|min==3, 

故四边形PACB面积的最小值为2.

11.已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点. 

(1)求线段AP中点的轨迹方程; 

(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程. 

解 (1)设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y). 

∵P点在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4. 

故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. 

(2)设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中, 

|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连结ON,则ON⊥PQ, 

所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 

所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 

故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.

12.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上. 

(1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程; 

(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个,若存在,请求出来;若不存在,请说明理由. 

解  (1)依题意,可设动圆C的方程为 

(x-a)2+(y-b)2=25, 

其中圆心(a,b)满足a-b+10=0. 

又∵动圆过点(-5,0), 

故(-5-a)2+(0-b)2=25.

解方程组 

可得或

故所求圆C的方程为 

(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25. 

(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=. 

当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x2+y2=r2相外切的圆； 

当r满足r+5＞d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2+y2=r2相外切； 

当r满足r+5=d,即r=5-5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2+y2=r2相外切.

§7.6 直线、圆的位置关系

基础自测

1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则P（a，b）                                （     ） 

 A.在圆上                                         B.在圆外 

 C.在圆内                                         D.以上都有可能 

答案 B  

2.（2009·岳阳模拟）若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围

是                                                                （     ） 

 A.-3＜a＜7                                         B.-6＜a＜4 

 C.-7＜a＜3                                     D.-21＜a＜19 

答案 B  

3.两圆x2+y2-6x+16y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为                        （     ） 

 A.1                      B.2                    C.3                 D.4 

答案 B  

4.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+有两个不同的交点，则k的取值范围是        （     ） 

 A.                 B.             C.             D. 

答案 A  

5.(2008·重庆理，15)直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0 (a＜3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为          . 

答案   x-y+1=0 

例1 已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（m∈R）.  

（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上； 

（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离； 

（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. 

（1）证明 配方得：（x-3m）2+［y-（m-1）］2=25， 

设圆心为（x，y），则消去m得 

l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上. 

（2）解 设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0， 

则圆心到直线l1的距离为 

d=. 

∵圆的半径为r=5， 

∴当d＜r，即-5-3＜b＜5-3时，直线与圆相交； 

当d=r,即b=±5-3时，直线与圆相切； 

当d＞r，即b＜-5-3或b＞5-3时，直线与圆相离. 

（3）证明  对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=， 

弦长=2且r和d均为常量. 

∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. 

例2  从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程. 

解 方法一  如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则kAB=,根据光的反射定律，

反射光线的斜率k反=. 

∴反射光线所在直线的方程为 

y= (x-b), 

即3x-(b+3)y-3b=0. 

∵已知圆x2+y2-4x-4y+7=0的圆心为C（2,2）， 

半径为1, 

∴=1,解得b1=-,b2=1. 

∴kAB=-或kAB=-. 

∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0. 

方法二 已知圆C：x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1：(x-2)2+(y+2)2=1，其圆心C1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切. 

设l的方程为y-3=k(x+3),则=1, 

即12k2+25k+12=0. 

∴k1=-，k2=-. 

则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0. 

方法三  设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切. 

∴消去b得=1. 

即12k2+25k+12=0,∴k1=-,k2=-. 

则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0. 

例3  已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含？ 

解 对于圆C1与圆C2的方程，经配方后 

C1:(x-m)2+(y+2)2=9; C2:(x+1)2+(y-m)2=4. 

(1)如果C1与C2外切，则有=3+2. 

(m+1)2+(m+2)2=25. 

m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2. 

（2）如果C1与C2内含，则有＜3-2. 

(m+1)2+(m+2)2＜1,m2+3m+2＜0, 

得-2＜m＜-1, 

∴当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切； 

当-2＜m＜-1时，圆C1与圆C2内含. 

例4（12分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0. 

（1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；

（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程. 

解  （1）方法一  如图所示，AB=4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=2，圆x2+y2+4x-12y+24=0可化为（x+2）2+（y-6）2=16，圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4， 

在Rt△ACD中，可得CD=2.                                         2分 

设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,

即kx-y+5=0. 

由点C到直线AB的距离公式： =2，得k=.

此时直线l的方程为3x-4y+20=0.                                     4分 

又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0.                             6分 

则y2-12y+24=0,∴y1=6+2,y2=6-2, 

∴y2-y1=4,故x=0满足题意. 

∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.                                     8分 

方法二 设所求直线的斜率为k，则直线的方程为 

y-5=kx,即y=kx+5, 

联立直线与圆的方程 

消去y得（1+k2）x2+(4-2k)x-11=0                                    ①    2分 

设方程①的两根为x1,x2, 

由根与系数的关系得                                ②  4分 

由弦长公式得|x1-x2|= 

将②式代入，解得k=， 

此时直线的方程为3x-4y+20=0.                                        6分 

又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0. 

∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.                                    8分 

（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x,y）, 

则CD⊥PD，即·=0，                                        10分 

（x+2,y-6）·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为 

x2+y2+2x-11y+30=0.                                                     12分 

1.m为何值时，直线2x-y+m=0与圆x2+y2=5. 

（1）无公共点； 

（2）截得的弦长为2； 

（3）交点处两条半径互相垂直. 

解 （1）由已知，圆心为O（0，0），半径r=, 

圆心到直线2x-y+m=0的距离 

d=

∵直线与圆无公共点，∴d＞r,即, 

∴m＞5或m＜-5. 

故当m＞5或m＜-5时，直线与圆无公共点. 

（2）如图所示，由平面几何垂径定理知 

r2-d2=12，即5-=1. 

得m=±2, 

∴当m=±2时，直线被圆截得的弦长为2. 

（3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直， 

∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形， 

∴d=r，即=·， 

解得m=±. 

故当m=±时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直.

2.从圆C：x2+y2-4x-6y+12=0外一点P（a，b）向圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO| （O为原点）.

求|PT|的最小值及此时P的坐标. 

解 已知圆C的方程为

(x-2)2+(y-3)2=1， 

∴圆心C的坐标为（2，3）， 

半径r=1. 

如图所示，连结PC，CT， 

由平面几何知， 

PT2=PC2-CT2

=（a-2）2+（b-3）2-1. 

由已知，PT=PO，∴PT2=PO2， 

即（a-2）2+（b-3）2-1=a2+b2. 

化简得2a+3b-6=0. 

得PT2=a2+b2=（13a2-24a+36）. 

当a=时， 

PTmin=

|PT|的最小值为，

此时点P的坐标是.

3.求过点P（4，-1）且与圆C：x2+y2+2x-6y+5=0切于点M（1，2）的圆的方程. 

解 方法一 设所求圆的圆心为A（m,n)，半径为r, 

则A,M,C三点共线，且有|MA|=|AP|=r， 

因为圆C：x2+y2+2x-6y+5=0的圆心为C（-1，3）， 

则,

解得m=3,n=1,r=, 

所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5. 

方法二  因为圆C：x2+y2+2x-6y+5=0过点M（1，2）的切线方程为2x-y=0, 

所以设所求圆A的方程为 

x2+y2+2x-6y+5+ (2x-y)=0, 

因为点P（4，-1）在圆上，所以代入圆A的方程， 

解得=-4, 

所以所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0.

4.圆x2+y2=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点. 

（1）当=时,求AB的长； 

（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程. 

解 （1）当=时，kAB=-1， 

直线AB的方程为y-2=-（x+1），

即x+y-1=0. 

故圆心（0，0）到AB的距离

d=, 

从而弦长|AB|=2. 

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=-2，y1+y2=4. 

由

两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0， 

即-2（x1-x2）+4（y1-y2）=0， 

∴kAB=. 

∴直线l的方程为y-2=（x+1），

即x-2y+5=0.

一、选择题 

1.（2008·辽宁理，3）圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是            （     ） 

 A.                                 B. 

 C.                                 D. 

答案 C  

2.（2008·重庆理，3）圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系是              （     ） 

 A.相离                 B.相交                 C.外切                 D.内切 

答案 B  

3.已知圆C：（x-a）2+(y-2)2=4 (a＞0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2时，则a

等于                                                                    （     ）   A.                 B.2-               C. -1             D. +1 

答案 C  

4.（2008·全国Ⅰ文，10）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则                     (      ) A.a2+b2≤1                B.a2+b2≥1              C.≤1             D.≥1 

答案 D  

5.能够使得圆x2+y2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为     （      ） 

 A.2                  B.                      C.3                   D.3 

答案 C  

6.（2008·湖北理，9）过点A（11，2）作圆x2+y2+2x-4y-1=0的弦，其中弦长为整数的共有（     ） A.16条                B.17条               C.32条                 D.34条 

答案 C  

二、填空题 

7.设直线ax-y+3=0与圆（x-1）2+(y-2)2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=        . 

答案  0 

8.（2008·湖南文，14）将圆x2+y2=1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是           ；若过点（3，0）的直线l和圆C相切，则直线l的斜率是              . 

答案  （x-1）2+y2=1  或- 

三、解答题 

9.已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程. 

解  ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等， 

∴切线的斜率是±1或过原点. 

切线不过原点时，设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得

2x2-2（b-3）x+（b2-4b+3）=0或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0, 

由于相切，则方程有等根，∴Δ1=0， 

即［2(b-3)］2-4×2×（b2-4b+3)=-b2+2b+3=0, 

∴b=3或-1, 

 Δ2=0, 

即［2(c-1)］2-4×2×(c2-4c+3)=-c2+6c-5=0. 

∴c=5或1, 

当切线过原点时，设切线为y=kx,即kx-y=0. 

由,得k=2±. 

∴y=(2±)x, 

故所求切线方程为： 

x+y-3=0，x+y+1=0，x-y+5=0，x-y+1=0,y=(2±)x.

10.已知曲线C：x2+y2-4ax+2ay-20+20a=0. 

（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点； 

（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上； 

（3）若曲线C与x轴相切，求a的值. 

（1）证明  曲线C的方程可变形为 

(x2+y2-20)+(-4x+2y+20)a=0， 

由解得 

点（4，-2）满足C的方程，故曲线C过定点（4，-2）. 

（2）证明  原方程配方得(x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2, 

∵a≠2时，5(a-2)2＞0, 

∴C的方程表示圆心是（2a,-a),半径是|a-2|的圆. 

设圆心坐标为（x,y），则有

消去a得y=-x,故圆心必在直线y=-x上. 

（3）解 由题意得|a-2|=|a|,解得a=

11.已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由. 

解 假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m,圆C化为（x-1）2+(y+2)2=9,圆心C（1，-2），则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-(x-1)的交点即N,以AB为直径的圆经过原点，

∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|=， 

∴|AN|=. 

又|ON|= 

由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1. 

∴存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1.

12.设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·=0. 

（1）求m的值； 

（2）求直线PQ的方程. 

解 （1）曲线方程为（x+1）2+(y-3)2=9表示圆心为 

（-1，3），半径为3的圆. 

∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称， 

∴圆心（-1，3）在直线上，代入得m=-1. 

（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直， 

∴设P（x1，y1）、Q(x2，y2)，PQ方程为y=-x+b. 

将直线y=-x+b代入圆的方程， 

得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0. 

 Δ=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)＞0, 

得2-3＜b＜2+3. 

由根与系数的关系得 

x1+x2=-(4-b),x1·x2=. 

y1·y2=b2-b(x1+x2)+x1·x2=+4b. 

∵·=0， 

∴x1x2+y1y2=0，即b2-6b+1+4b=0, 

解得b=1 (2-3,2+3), 

∴所求的直线方程为y=-x+1.

章末检测七

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.（2008·福建文，2）“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的                （    ）

A.充分而不必要条件                             B.必要而不充分条件 

C.充要条件                                           D.既不充分也不必要条件 

答案  C

2.过点（-1，3）且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为                                 （    ）

A.x-2y+7=0                                        B.2x+y-1=0 

C.x-2y-5=0                                        D.2x+y-5=0

答案  A

3.（2008·安徽理，8）若过点A（4，0）的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为                                                                    (     )

A.                                B. 

C.                            D. 

答案  C

4.过点M（2，1）的直线l与x轴，y轴分别交于P、Q两点且|MP|=|MQ|，则l的方程是       (     )

A.x-2y+3=0                                B.2x-y-3=0 

C.2x+y-5=0                                D.x+2y-4=0 

答案  D

5.直线x-2y-3=0与圆C：(x-2)2+(y+3)2=9交于E、F两点，则△ECF的面积为              (     )

A.                B.                     C.                D. 

答案  C

6.若a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与bx-sinB·y+c=0的

置关系是                                                                (      )

A.平行                 B.重合                  C.垂直                 D.相交但不垂直 

答案  C

7.已知直线l1:bx-2y+2=0和l2:2x+6y+c=0相交于点（1，m），且l1到l2的角为，则b、c、m的值分别

为                                                                    （     ） 

 A.1, ,-11                             B.,1,-11 

 C.1,-11,                                D.-11, ,1 

答案  C  

8.已知A（-3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（     ）A.(-1,0)                 B.(1,0)            C.                 D. 

答案 B  

9.设x,y满足约束条件,则z=x+y的最小值是                                （     ）A.0                     B.1                 C.                 D.9 

答案 A 

10.不等式组所表示的平面区域的面积是                                    （     ）A.30                     B.15               C.12                 D.8 

答案 B 

11.如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+(y+2)2=1上，那么|PQ|的最小值为（     ） 

 A. -1                 B. -1             C.2-1                D. -1 

答案 A  

12.过点C（6，-8）作圆x2+y2=25的切线于切点A、B，那么C到两切点A、B连线的距离为（     ） 

 A.15                     B.1                     C.                 D.5 

答案 C  

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 

13.设直线2x+3y+1=0和x2+y2-2x-3=0相交于点A、B，则弦AB所在直线的垂直平分线方程是            .   答案  3x-2y-3=0 

14.在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M=，区域N={（x，y）|t≤x≤t+1，0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f（t）表示，则f（t）的表达式为            . 

答案  f(t)=-t2+t+ 

15.已知点P（m,n）位于第一象限，且在直线x+y-1=0上，则使不等式≥a恒成立的实数a的取值范围是           . 

答案  （-∞，9］ 

16.（2008·上海扬浦测试）若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相切，则实数ab的取值范围是             . 

答案  

三、解答题(本大题共6小题，共74分)

17.（12分）过点M（0，1）作直线，使它被直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M平分，求此直线方程.

解  方法一  过点M且与x轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是和(0,8)，显然不满足中点是点M（0，1）的条件.

故可设所求直线方程为y=kx+1,与已知两直线l1,l2分别交于A、B两点，联立方程组

                                                          ①

                                                        ②

由①解得xA=,由②解得xB=.    

∵点M平分线段AB，

∴xA+xB=2xM，即+=0.

解得k=-，故所求直线方程为x+4y-4=0.

方法二  设所求直线与已知直线l1,l2分别交于A、B两点.

∵点B在直线l2:2x+y-8=0上，

故可设B（t,8-2t）,M(0,1)是AB的中点.

由中点坐标公式得A(-t,2t-6).

∵A点在直线l1:x-3y+10=0上，

∴（-t）-3（2t-6）+10=0，解得t=4.

∴B（4，0），A（-4，2），故所求直线方程为x+4y-4=0.

18.（12分）已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.

（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；

（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；

（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.

解  （1）（x-1)2+(y-2)2=5-m,∴m＜5.

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

则x1=4-2y1，x2=4-2y2，

则x1x2=16-8（y1+y2）+4y1y2

∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0

∴16-8（y1+y2）+5y1y2=0                                            ①

由

得5y2-16y+m+8=0

∴y1+y2=,y1y2=,代入①得，m=.

（3）以MN为直径的圆的方程为

（x-x1）(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0

∴所求圆的方程为x2+y2-x-y=0.

19.（12分）A、B、C三城市分别有某种机器10台、10台、8台，支援D市18台、E市10台.从A市调一台机器到D、E两市的运费分别为200元和800元；从B市调一台机器到D、E两市的运费分别为300元和700元；从C市调一台机器到D、E两市的运费分别为400元和500元. 

（1）若从A、B两市各调x台到D市，当三市28台机器全部调运完毕后，求总运费P（x）关于x的函数表达式，并求P（x）的最大值和最小值； 

（2）若从A市调x台到D市，从B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用x、y表示总运费P，并求P的最大值和最小值. 

解 （1）机器调运方案如下表： 

又由0≤x≤10,0≤18-2x≤8,得定义域5≤x≤9， 

所以P(x)max=P(5)=13 200(元）, 

P（x）min=P（9）=10 000（元）， 

（2）机器调运方案如下表： 

在xOy平面内作出上述不等式的可行域（如图中阴影部分）.其中l1:x+y=18,l2:x+y=10.可见，当x=10,y=8时，Pmin=9 800;当x=0,y=10时，Pmax=14 200.

20.（12分）已知圆M：x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0与圆N：x2+y2+2x+2y-2=0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心的轨迹方程，并求其中半径最小时圆M的方程. 

解  由圆M的方程知M（m，n）.又由方程组 

得直线AB的方程为2(m+1)x+2(n+1)y-m2-1=0. 

又AB平分圆N的圆周， 

所以圆N的圆心N（-1，-1）在直线AB上. 

∴2（m+1）（-1）+2（n+1）（-1）-m2-1=0. 

∴m2+2m+2n+5=0，即（m+1）2=-2（n+2）.                                （*） 

∴（x+1）2=-2（y+2）即为点M的轨迹方程. 

又由题意可知当圆M的半径最小时，点M到AB的距离最小，即MN最小.

d=

由（*）可知n≤-2,∴d≥1. 

即最小值为1,此时m=-1，n=-2， 

故此时圆M的方程为(x+1)2+(y+2)2=5. 

21.（12分）将一块直角三角板ABO置于平面直角坐标系中（如图所示）.已知AB=OB=1，AB⊥OB，点P 是三角板内一点.现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角板锯成△AMN.问应如何确定直线MN的斜率，可使锯成的△AMN的面积最大？ 

解 由题意可知B（1，0），A（1，1）， 

kOP=，kPB=-， 

∴kMN∈，lAO：y=x；lAB：x=1. 

设lMN：y=kx+b， 

∵直线MN过P 

∴b=k，∴y=kx+. 

∴M,N 

S△AMN=× 

设t=1-k∈. 

S△AMN=在t∈时，函数单调递增. 

∴当t=，即k=-时，S△AMN(max)=.

22.（14分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-y=4相切. 

（1）求圆O的方程； 

（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求·取值范围. 

解  （1）依题设,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离，即r==2. 

所以圆O的方程为x2+y2=4. 

（2）不妨设A（x1,0）,B(x2,0),且x1＜x2,由x2=4, 

得A(-2,0),B(2,0). 

设P（x,y），由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列， 

得·=x2+y2, 

即x2-y2=2. 

所以·=(-2-x,-y)·(2-x,-y) 

=x2-4+y2=2(y2-1). 

由于点P在圆O内，故 

由此得0≤y2＜1. 

所以·的取值范围为［-2，0）.下载本文