教师：***
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
3、 4、
5、
[例1] 已知，求的前n项和.
解：由
由等比数列求和公式得 （利用常用公式）
＝＝＝1－
[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.
解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）
∴ ＝
＝＝
∴ 当 ，即n＝8时，
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：………………………①
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积
设………………………. ② （设制错位）
①－②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
[例4] 求数列前n项的和.
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………② （设制错位）
①－②得 （错位相减）
∴
19．（2014•濮阳二模）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13
（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．
| 考点： | 等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和． |
| 专题： | 计算题；压轴题． |
| 分析： | （Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{an}、{bn}的通项公式． （Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和Sn． |
| 解答： | 解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0且 解得d=2，q=2． 所以an=1+（n﹣1）d=2n﹣1，bn=qn﹣1=2n﹣1． （Ⅱ）．，①，② ②﹣①得，===． |
| 点评： | 本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和． |
（Ⅰ）求an与bn；
（Ⅱ）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
| 考点： | 等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和． |
| 专题： | 综合题；等差数列与等比数列． |
| 分析： | （1）根据b2+S2=12，{bn}的公比，建立方程组，即可求出an与bn； （2）由an=3n，bn=3n﹣1，知cn=an•bn=n•3n，由此利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Tn． |
| 解答： | 解：（1）∵在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn， 等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，． ∴b2=b1q=q，，（3分） 解方程组得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6（5分） ∴an=3+3（n﹣1）=3n，bn=3n﹣1．（7分） （2）∵an=3n，bn=3n﹣1， ∴cn=an•bn=n•3n， ∴数列{cn}的前n项和 Tn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n， ∴3Tn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1， ∴﹣2Tn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1 =﹣n×3n+1 =﹣n×3n+1， ∴Tn=×3n+1﹣． |
| 点评： | 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和错位相减法的合理运用． |
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.
[例5] 求证：
证明： 设………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
（反序）
又由可得
…………..…….. ②
①+②得 （反序相加）
∴
[例6] 求的值
解：设…………. ①
将①式右边反序得
…………..② （反序）
又因为
①+②得 （反序相加）
＝
∴ S＝
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例7] 求数列的前n项和：，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得
（分组）
当a＝1时，＝ （分组求和）
当时，＝
[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设
∴ ＝
将其每一项拆开再重新组合得
Sn＝ （分组）
＝
＝ （分组求和）
＝
27．已知等比数列{an}满足a2=2，且2a3+a4=a5，an＞0．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=（﹣1）n3an+2n+1，数列{bn}的前项和为Tn，求Tn．
| 考点： | 等比数列的前n项和；数列的求和． |
| 专题： | 计算题；等差数列与等比数列． |
| 分析： | （Ⅰ）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则，解方程可求a1，q结合等比数列的通项公式即可求解 （Ⅱ）由bn=（﹣1）n3an+2n+1=﹣3•（﹣2）n﹣1+2n+1，利用分组求和，结合等比与等差数列的求和公式即可求解 |
| 解答： | （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则…（2分） 整理得q2﹣q﹣2=0，即q=﹣1或q=2， ∵an＞0， ∴q=2．代入可得a1=1 ∴．…（6分） （Ⅱ）∵bn=（﹣1）n3an+2n+1=﹣3•（﹣2）n﹣1+2n+1，…（9分） ∴Tn=﹣3[1﹣2+4﹣8+…+（﹣2）n﹣1]+（3+5+…+2n+1） =﹣3×=（﹣2）n+n2++2n﹣1．…（12分） |
| 点评： | 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，分组求和方法的应用，属于数列知识的简单综合 |
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
(6)
[例9] 求数列的前n项和.
解：设 （裂项）
则 （裂项求和）
＝
＝
[例10] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
解： ∵
∴ （裂项）
∴ 数列{bn}的前n项和
（裂项求和）
＝ ＝
[例11] 求证：
解：设
∵ （裂项）
∴ （裂项求和）
＝
＝＝＝
∴ 原等式成立
如：是公差为的等差数列，求
解：由
∴
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ （找特殊性质项）
∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）
＝ 0
[例13] 数列{an}：，求S2002.
解：设S2002＝
由可得
……
∵ （找特殊性质项）
∴ S2002＝ （合并求和）
＝
＝
＝
＝5
[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若的值.
解：设
由等比数列的性质 （找特殊性质项）
和对数的运算性质 得
（合并求和）
＝
＝
＝10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
[例15] 求之和.
解：由于 （找通项及特征）
∴
＝ （分组求和）
＝
＝
＝
[例16] 已知数列{an}：的值.
解：∵ （找通项及特征）
＝ （设制分组）
＝ （裂项）
∴ （分组、裂项求和）
＝
＝
说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。下载本文
